第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省鞍山五十二中九年級（下）月考數學試卷（3月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A. B.ax2+bx+c=0 C.y2+3x=2 D.（x+1）2=2x22.垃圾分類功在當代，利在千秋.下列垃圾分類指引標志中，文字上方的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.廚余垃圾 B.有害垃圾

C.其他垃圾 D.可回收物3.如圖，在由大小相同的小正方形組成的網格中有一條“心形線”.數學小組為了探究隨機投放一個點恰好落在“心形線”內部的概率，進行了計算機模擬試驗，得到如下數據：試驗總次數100200300500150020003000落在“心形線”內部的次數61931652467599961503落在“心形線”內部的頻率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根據表中的數據，估計隨機投放一點落在“心形線”內部的概率為（）A.0.46 B.0.50 C.0.55 D.0.614.如圖，⊙O中，點C為弦AB中點，連接OC，OB，∠COB=58°24'，點D是上任意一點，則∠ADB度數為（）A.111°76'

B.121°36'

C.116°48'

D.148°24'5.摩拜共享單車計劃2023年第三季度（8，9，10月）連續(xù)3個月對成都投放新型摩拜單車，計劃8月投放3000臺，第三季度共投放12000臺，每月按相同的增長率投放，設增長率為x,則可列方程（）A.3000（1+x）2=12000

B.3000（1+x）+3000（1+x）2=12000

C.3000（1-x）2=12000

D.3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=120006.如圖，矩形OABC的頂點A在x軸上，點B的坐標為.固定邊OA，向左“推”矩形OABC，使點B落在y軸的點B′的位置，則點C的對應點C′的坐標為（）A.

B.

C.

D.7.下列說法正確的是（）A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨

B.“打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是必然事件

C.“彩票中獎的概率為1%”情況下買了一張彩票就能中獎是不可能事件

D.“拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近8.如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm,毛刷的一端為固定點P，另一端為點C，，毛刷繞著點P旋轉形成的圓弧交⊙O于點A，B，且A，P，B三點在同一直線上.則圖中陰影部分的周長為（）

?A.cm B.20πcm C.cm D.cm9.如圖，一次函數y1=-x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖象相交于P，Q兩點，則函數y=ax2+（b+1）x+c的圖象可能為（）A.

B.

C.

D.10.用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個作圖中，正確的作法有（）

A.1種 B.2種 C.3種 D.4種二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若關于x的方程x2-x+cosα=0有兩個相等的實數根，則銳角α為______．12.若一組勾股數的其中兩個為5和12，則第三個勾股數是______.13.如圖，兩個反比例函數和在第一象限內的圖象依次是C1和C2，設點P在C1上，PC⊥x軸于點C，交C2于點A，PD⊥y軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為______.

14.如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點，將△ACB繞點A按順時針方向旋轉得到△AEF，點E在CD的延長線上，若AC=6，BC=8，則△ADE與△BCD的面積比為______.

15.如圖，二次函數y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B左側），與y軸交于點C.點P是此函數圖象上在第一象限內的一動點，當S△PCB=3時，點P的坐標為______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

（1）解方程：.

（2）計算：.17.(本小題8分)

在“趣味化學實驗室”課上，黃老師用毛筆蘸取透明無色液體，并在白紙上書寫，立馬顯現出紅色的文字，這是酚酞溶液產生的神奇變化.酚酞是化學領域重要的酸堿指示劑，它遇堿變紅，遇酸或中性溶液不變色.現有四個完全相同且無標簽的滴瓶，里面分別裝有四種無色溶液：

（1）小明同學從中隨機拿出一瓶，選中酚酞的概率是______；

（2）張老師從四瓶無色液體中隨機選取兩瓶，并分別取一定量的溶液混合均勻，請利用畫樹狀圖或列表的方法求混合后溶液變紅的概率.

18.(本小題8分)

如圖，一次函數y=k1x+b與反比例函數圖象交于點B（-1，6）、點A，且點A的縱坐標為3.

（1）填空：一次函數解析式為______，反比例函數解析式為______；

（2）結合圖形，直接寫出時x的取值范圍；

（3）在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x軸上，CD⊥x軸于點D，CD和反比例函數的圖象交于點M，當梯形ODCA的面積為12時，求此時點M坐標.19.(本小題8分)

“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高.從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學對所在小區(qū)的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題.方案名稱滑梯安全改造測量工具測角儀、皮尺等方案設計如圖，將滑梯頂端BC拓寬為BE，使CE=1m,并將原來的滑梯CF改為EG.（圖中所有點均在同一平面內，點B，C，E在同一直線上，點A，D，F，G在同一直線上）

測量數據【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度CD=1.8m；

【步驟二】在點F處用測角儀測得∠CFD=42°；

【步驟三】在點G處用測角儀測得∠EGD=32°.解決問題調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求FG的長）（參考數據：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）20.(本小題8分)

如圖，△ABD內接于⊙O，∠ABD=45°，連接AO，點C在AB的延長線上，且∠OAC=∠ACD.

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若，，求⊙O半徑的長.21.(本小題8分)

某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數關系（其中8≤x≤15，且x為整數）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？22.(本小題12分)

綜合與實踐

【操作與發(fā)現】

（1）如圖1，矩形ABCD中，P為邊BC中點，將△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，點B的對應點為E，延長AE，PE分別交CD于點F，G.

①線段EF和CF的數量關系為______；

寫出圖中與△EFG相似的三角形：______（寫出一個即可）；

②若BC=6，EG=1，求AB的長；

【類比探究】

（2）如圖2，在（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，線段EF和CF的數量關系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，寫出線段EF和CF的數量關系，并說明理由；

【拓展應用】

（3）如圖2，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6，P為邊BC的中點，將△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，點B的對應點為E，延長AE，PE分別交CD于點F，G，若EG=1，直接寫出線段AB的長______.23.(本小題13分)

在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點A（x,y）是函數圖象上任意一點，縱坐標y與橫坐標x的差“y-x”稱為點A的“縱橫值”.函數圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數的“最優(yōu)縱橫值”.

例如：點A（1，3）在函數y=2x+1圖象上，點A的“縱橫值”為3-1=2，函數y=2x+1圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y-x=2x+1-x=x+1，當3?x?6時，x+1的最大值為6+1=7，所以函數y=2x+1（3?x?6）的“最優(yōu)縱橫值”為7.

根據定義，解答下列問題：

（1）①點B（-6，2）的“縱橫值”為______；

②函數的“最優(yōu)縱橫值”為______；

（2）若二次函數y=-x2+bx+c的頂點在直線上，且最優(yōu)縱橫值為5，求c的值；

（3）若二次函數y=-（x-h）2+k的頂點在直線y=x+9上，當-1?x?4時，二次函數的最優(yōu)縱橫值為7求h的值.

參考答案1.解：A、是分式方程，不是x的一元二次方程，故A選項不符合題意；

B、ax2+bx+c=0，a=0時，不是x的一元二次方程，故B選項不符合題意；

C、y2+3x=2中含有兩個未知數，不是x的一元二次方程，故C選項不符合題意；

D、（x+1）2=2x2，化簡得x2-2x-1=0，是x的一元二次方程，故D選項符合題意．

故選：D．

2.解：A是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，則A不符合題意；

B既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則B符合題意；

C不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則C不符合題意；

D不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則D不符合題意；

故選：B．

3.解：當試驗次數逐漸增大時，落在“心形線”內部的頻率穩(wěn)定在0.50附近，

則估計隨機投放一點落在“心形線”內部的概率為0.50．

故選：B．

4.解：延長BO交圓于E，連接DE，

∵點C為弦AB中點，

∴OC⊥AB，

∴∠BCO=90°，

∵∠COB=58°24'，

∴∠ABE=90°-∠COB=31°36′，

∴∠ADE=∠ABE=31°36′，

∵BE是圓的直徑，

∴∠BDE=90°，

∴∠ADB=∠BDE+∠ADE=121°36′．

故選：B．

5.解：由題意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=12000．

故選：D．

6.解：∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（，2），

∴OA=，AB=2，

由題意得：AB'=AB=2，四邊形OAB'C'是平行四邊形，

∴OB'==3，B'C'=OA=，

∴點C的對應點C'的坐標為（-，3）；

故選：D．

7.解：A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨錯誤，不符合題意；

B．“打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是隨機事件，不是必然事件，不符合題意；

C．“彩票中獎的概率為1%”情況下買了一張彩票就能中獎是隨機事件，不是不可能事件，不符合題意；

D．“拋一枚正方體骰子，朝上的點數為2的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近，正確，符合題意；

故選：D．

8.解：連接AB，OA，OB，OP，

∵A，P，B三點在同一直線上．

∴AB經過點P，

由題意得AB為半圓的直徑，PB=PA=CP=cm,OA=OB=20cm,

∴OP⊥AB，

在Rt△OAP中，，

∴∠AOP=45°，

∵OA=OB，OP⊥AB，

∴∠BOP=∠AOP=45°，

∴∠AOB=90°，

∴cm,

cm,

∴陰影部分的周長為cm,

故選：D．

9.解：∵一次函數y1=-x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，

∴方程ax2+（b+1）x+c=0有兩個不相等的根，

∴函數y=ax2+（b+1）x+c與x軸有兩個交點，

∵-＜0，a＞0，c>0，

∴-=--＜0

∴函數y=ax2+（b+1）x+c的對稱軸x=-＜0，

∵a＞0，開口向上，與y軸交點在正半軸．

故選：B．

10.解：（1）根據垂徑定理作圖的方法可知：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；

（2）根據直徑所對圓周角是直角的方法可知：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；

（3）根據相交兩圓的公共弦的性質可知：

CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法正確；

（4）無法證明CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，故作法不正確；

綜上所述：正確的作法有3種．

故選：C．

11.解：∵關于x的方程x2-x+cosα=0有兩個相等的實數根，

∴b2-4ac=（-）2-4×1×cosα=0，

∴cosα=，

∴α=60°．

故答案為：60°．

12.解：設第三個數是x,

分兩種情況：

①12為最大數時，x2+52=122，

解得：x=（不合題意，舍去）；

②x為最大數時，52+122=x2，

解得：x=13（負值已舍去）；

綜上所述，第三個勾股數是13．

故答案為：13．

13.解：由條件可得S△BOD=S△AOC=2，S四邊形OCPD=9，

∴S四邊形PAOB=S四邊形OCPD-S△BOD-S△AOC=5，

故答案為：5．

14.解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB===10，

∵D是斜邊AB的中點，

∴S△BCD=S△DCA，CD=BD=AD=AB=5，

∴∠ACD=∠CAD，

∵將△ACB繞點A按順時針方向旋轉得到△AEF，點E在CD的延長線上，

∴AE=AC=6，

∴∠ACD=∠CEA，

∴∠CEA=∠CAD，

∴△ACE∽△DCA，

∴=（）2=（）2=，

∴=，

∴=，

故答案為：．

15.解：令y=0，則-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

令x=0，則y=-3，

∴C（0，-3），

設直線BC的解析式為y=kx+b,

將B（3，0）和C（0，3）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=-x+3，

過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點G，

設P（t,-t2+2t+3），則G（t,-t+3），

∴PG=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t,

∵S△PCB=3，

∴PG?OB=3，即（-t2+3t）×3=3，

解得：t1=1，t2=2，

∴點P的坐標為（1，4）或（2，3），

故答案為：（1，4）或（2，3）．

16.解：（1）∵a=2，b=-2，c=1，

∴Δ=8-4×2×1=0，

則x==，即x1=x2=；

（2）原式=2-1-2+2

=1．

17.解：（1）由題意知小明同學從中隨機拿出一瓶，選中酚酞的概率是；

故答案為：．

（2）列表如下，ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能結果，其中混合后的溶液變紅色的結果有：（A，B），（B，A），共2種，

∴混合后的溶液變紅色的概率為．

18.解：（1）∵一次函數y=k1x+b與反比例函數的圖象交于點B（-1，6），

∴k2=-1×6=-6，

∴反比例函數y=-．

∵點A的縱坐標為3，

∴把y=3代入得，3=-，

∴x=-2，

∴A（-2，3），

把A、B坐標代入y=k1x+b得，

∴．

∴一次函數為y=3x+9．

故答案為：y=3x+9；y=-，

（2）由題意得，不等式的解集是一次函數y=k1x+b在反比例函數圖象上方部分對應的自變量的取值范圍．

又∵一次函數y=k1x+b與反比例函數圖象交于點A（-2，3），B（-1，6），

∴結合圖象可得，時x的取值范圍是-2＜x＜-1或x＞0；

（3）由題意，設點M的坐標為，

∵CD⊥x軸于D，

∴D（m,0），

∵AC∥OD，A（-2，3），

∴C（m,3），

∴AC=-2-m,

∴CD=3，OD=-m,

∴，即．

∴m=-5，

∴M點的坐標為（-5，）．

19.20.（1）證明：連接OD，

∵∠ABD=45°，

∴∠AOD=2∠ABD=45°，

∵∠OAC=∠ACD，

∴OA∥CD，

∴∠CDO=∠AOD=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過D作DH⊥AC于H，

∴∠DHC=90°，

∵∠DBH=45°，

∴DH=BH，

∵tanC===，

∴BH=DH=2，

設AC，OD交于E，

∵∠CDE=∠DHE=∠CHD=90°，

∴∠HDE=∠C，

∴==，

∴EH==，

∴DE==，

∵∠CAO=∠C，∠AOD=90°，

∴tan∠OAE==，

設AO=OD=3x,

∴OE=x,

∴DE=2x=，

∴OA=3x=2，

∴⊙O半徑的長為2．

21.22.解：（1）①如圖1，

連接PF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠C=∠B=90°，

∵△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，

∴∠FEC=∠AEP=∠B=90°，EP=BP，

∴∠FEC=∠C=90°，

∵點P是BC的中點，

∴CP=BP，

∴EP=CP，

∵FP=FP，

∴Rt△PCF≌Rt△PEF（HL），

∴EF=CF，

∵∠D=∠FEG=90°，∠EFG=∠ACD，

∴△EFG∽△DFA，

故答案為：EF=CF，△ADF；

②如圖2，

延長EP，交AB的延長線于H，

∵∠PBH=∠C=90°，∠BPH=∠CPG，BP=CP，

∴△BPH≌△CPG（ASA），

∴PH=PG，BH=CG，

∵EP=BP=CP=BC=3，EG=1，

∴PG=EG+EP=4，

∴PH=4，

∵CG==，

∴BH=，

∵∠PBH=∠AEP=90°，∠H=∠H，

∴△HBP∽△HEA，

∴，

∴，

∴AE=3，

∴AB=AE=3；

（2）解：如圖3，

線段EF和CF的數量關系仍然成立，理由如下：

連接CE，

∵EP=BP=CP，

∴∠PEC=∠PCE，

∵△ABP沿直線AP翻折得到△AEP，

∴∠AEP=∠B，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠B+∠PCF=