單位換算

（長(zhǎng)度單位）：1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米

1厘米=10毫米1米=100厘米1米=1000毫米

（面積單位）：I平方千米=100公頃1公頃=10000平方米

I平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

（體積單位）：1立方米二1000立方分米1立方分米二1000立方厘米

1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方分米二1升

（重量單位）：1噸=1000千克1千克二1000克1千克二1公斤

人民幣換算單位：1元=10角1角=10分1元=100分

時(shí)間單位換算：1世紀(jì)二100年1年=12月

大月（31天）有1/3/5/7/8/10/12月

小月（30天）有4/6/9/11月

平年2月28天，閏年2月29天。平年一年365天，閏年一年366天。

T殳的能被4整除的年份為閏年（如2012年、2016年），整百時(shí)能被400整除為閏年

（如2000年,1600年工

1日二24小時(shí)1時(shí)=60分1分=60秒1時(shí)=3600秒

方向：上北下南，左西右東。

運(yùn)算法則：有括號(hào)的先算括號(hào)，沒(méi)有括號(hào)的先算乘除再算加減，同級(jí)運(yùn)算從左往右運(yùn)

算（加減運(yùn)算是第一級(jí)，乘除運(yùn)算是第二級(jí)運(yùn)算,第二級(jí)運(yùn)算高于第一級(jí)運(yùn)算。）

常用數(shù)量關(guān)系等式

1.份數(shù)：每份數(shù)*份數(shù)=總數(shù)總數(shù)+每份數(shù)二份數(shù)總數(shù)?份數(shù)=每份數(shù)

2.1倍數(shù)x倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù):倍數(shù)=1倍數(shù)幾倍數(shù)倍數(shù)二倍數(shù)

3.速度x時(shí)間二路程路程;速度二時(shí)同路程?時(shí)間二速度

4.單價(jià)x數(shù)量=總價(jià)總價(jià)?數(shù)量=單價(jià)總價(jià)小單價(jià)二數(shù)量

5.工作效率x工作時(shí)間二工作總量工作總量+工作效率=工作時(shí)間

工作總量-工作時(shí)間=工作效率

6.力口數(shù)十力口數(shù)二不口和一1個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)

被減數(shù)一減數(shù)二差被減數(shù)一差二減數(shù)差+減數(shù)二被減數(shù)

因數(shù)x因數(shù)二積積?一個(gè)因數(shù)二另一個(gè)因數(shù)

被除數(shù)：除數(shù)二商被除數(shù)：商二除數(shù)商x除數(shù)二被除數(shù)

圖形計(jì)算公式

1.正方形（c:周長(zhǎng)S:面積a:邊長(zhǎng)）

周長(zhǎng)二邊長(zhǎng)x4（C=4a）面積二邊長(zhǎng)x邊長(zhǎng)（S=axa）

2.長(zhǎng)方形（C:周長(zhǎng)S:面積a:長(zhǎng)b:寬）

周長(zhǎng)二（長(zhǎng)+寬）x2（C=2（a+b））面積二長(zhǎng)X寬（S=axb）

3.三角形（S:面積a:底h:高）

面積二底X高+2（S=axh4-2）三角形高二面積x2+底三角形底二面積x2?高

4.正方體（V:體積S:表面積a:棱長(zhǎng)）

表面積二棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x6（S=axax6）體積二棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)（V=axaxa）

5.正方體（V:體積S:表面積a:長(zhǎng)b:寬h:高）

表面積二（長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高+寬x高）x2（S=（axb+axh+bxh）x2）

體積二長(zhǎng)x寬x高（V=axbxh）

6.平行四邊形（S:面積a:底h:高）

面積=底乂高（S=ax高）高二面積小底底=面積+高

7.梯形（S:面積a:上底b:下底h:高）

面積=（上底+下底）X高+2S=（a+b）xh-r2

8.圓形（S:面積C:周長(zhǎng)nd:直徑r:半徑）

直徑二半徑x2（d=rx2）周長(zhǎng)=HX直徑=2XTIX半徑（C=nxd=2xnxr）

面積=TIX半徑x半徑（S=irxrxr）

9.圓柱體（V:體積S:底面積r:底面半徑c:底面周長(zhǎng)h:高）

側(cè)面積二底面周長(zhǎng)X高=exh（c=2xnxr=dxn）表面積二側(cè)面積+底面積x2

體積二底面積x高（V=Sxh=Tixrxrxh）體積二側(cè)面積+2x半徑

10.圓錐（V:體積S:底面積r:底面半徑h:高）

體積二底面積x高+3（V=Sxh+3=nxrxrxh+3）

奧數(shù)常用公式

1、平均數(shù)：總數(shù)：總份數(shù)二平均數(shù)，總數(shù)：平均數(shù)二總份數(shù)，平均數(shù)x總份數(shù)二總數(shù)

2、和差問(wèn)題:（和+差）+2二大數(shù)，（和一差）+2=小數(shù)

3、和倍問(wèn)題：和:（倍數(shù)+1）=小數(shù)，小數(shù)x倍數(shù)二大數(shù)，（和一小數(shù)二大數(shù)）

4、差倍問(wèn)題：差+（倍數(shù)一1）二小數(shù),小數(shù)x倍數(shù)二大數(shù)，（差一小數(shù)二大數(shù)）

5、相遇問(wèn)題：相遇路程二速度和x相遇時(shí)間，相遇時(shí)間二相遇路程?速度和

速度和二相遇路程?相遇時(shí)間

6、追及問(wèn)題：追及距離二速度差x追及時(shí)間，追及時(shí)間=追及距離+速度差

速度差二追及路程;追及時(shí)間

7、流水問(wèn)題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度一水流速度

8、濃度問(wèn)題：溶質(zhì)的重量+溶劑的重量二溶液的重量

溶質(zhì)的重量?溶液的重量X1OO%=濃度，

溶液的重量X濃度二溶質(zhì)的重量，溶質(zhì)的重量+濃度二溶液的重量

9、利潤(rùn)與折扣問(wèn)題：利潤(rùn)=售出價(jià)一成本，利潤(rùn)率=利潤(rùn):成本*100%

=（售出價(jià)：成本一1）X100%,漲跌金額=本金x漲跌百分比

利息=本金x利率x時(shí)間,稅后^息=本金x利率x時(shí)間x（1—20%）

10、盈虧問(wèn)題：（盈+虧）?兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)

（大盈一小盈）?兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)

（大虧一小虧）?兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)

11、火車過(guò)橋：過(guò)橋E寸間二（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）+車速

火車追及：追及時(shí)間二（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）一（甲車速■乙車速）

火車相遇：相遇時(shí)間:（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）一（甲車速+乙車速）

12、行船問(wèn)題

定義：行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是

船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度；船只順?biāo)?/p>

行的速度（順?biāo)俣龋┦谴俸退僦?；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和?/p>

速之差。

船速二（順?biāo)俣?逆水速度）*2

水速二（順?biāo)俣?逆水速度）三2

13、工程問(wèn)題

定義：工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在

已知條件中常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程"、"一塊土地"、"一件

工作”等，在解題時(shí)候，常常用單位〃r表示工作總量。

數(shù)量關(guān)系：解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作,工作效率就是工作時(shí)間的倒

數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工

作時(shí)間三者之間關(guān)系列出算式。

①工作量=工作效率x工作時(shí)間

②工作時(shí)間=工作量+工作效率

③工作時(shí)間二總工作量+（甲工作效率+乙工作效率）

14、正反比例問(wèn)題

1、正比例關(guān)系：兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化，另一種輛也隨著變化，如果這兩種量

中向?qū)?yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值，即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫

做正比例關(guān)系。

2、反比例關(guān)系：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量

中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

15.按比例分配問(wèn)題

比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，各部分占總份數(shù)的幾分之幾,再用總量乘以幾分之幾即

得各部分量的值。

16、百分比問(wèn)題

1、定義：百分?jǐn)?shù)又叫百分率。是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一

種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分,而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需約分。分?jǐn)?shù)的分子、分母必須

是自然數(shù)，百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)"％〃

2、數(shù)量關(guān)系：

①百分?jǐn)?shù)二比較量?標(biāo)準(zhǔn)量

②標(biāo)準(zhǔn)量二比較量:百分?jǐn)?shù)

17、商品利潤(rùn)問(wèn)題

1、定義：在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中，銷售價(jià)格高于進(jìn)貨價(jià)的叫盈利，低于進(jìn)貨價(jià)的叫虧本，主要

包拈成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題。

2、數(shù)量關(guān)系：

①利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)

②利潤(rùn)率=（售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）=進(jìn)貨價(jià)xlOO%

③售價(jià)=進(jìn)貨價(jià)x（1+利潤(rùn)率）

④虧損二進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)

⑤虧損率二（進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)）:進(jìn)貨價(jià)xlOO%

18、存款利率問(wèn)題

1、定義：把錢存入銀行是有一定利息的,利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因

素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百

分?jǐn)?shù)；月利率是1旨存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。

2、數(shù)量關(guān)系:

①年（月）利率=利息+本金?存款年（月）數(shù)xlOO%

②利息二本金x存款年（月）數(shù)x年（月）利率

③本利和二本金+利息=本金X口十年（月）利率X存款年（月）數(shù)］

19、牛吃草問(wèn)題

1、"牛吃草"問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫〃牛頓問(wèn)題"。這類問(wèn)題的特點(diǎn)

在于要考慮草邊吃邊增加（或邊吃邊減少）這個(gè)因素。

2、數(shù)量關(guān)系：

①草總量二原有草量+草每天增加量X天數(shù)

②草總量二原有草量-草每天減少量X天數(shù)

20、方陣問(wèn)題

1、定義：將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)

或總物數(shù)，這類應(yīng)用題叫做方陣問(wèn)題。

2、數(shù)量關(guān)系：

①方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)關(guān)系：

四周人數(shù)二（每邊人數(shù)-1）x4

每邊人數(shù)二四周人數(shù)-4+1

②方陣總?cè)藬?shù)的求法:

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)二每邊人數(shù)X每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)二（外邊人數(shù)）2?（內(nèi)邊人數(shù)）2

內(nèi)邊人數(shù)二外邊人數(shù)一層數(shù)x2（實(shí)際無(wú)人）

內(nèi)層每邊人數(shù)=內(nèi)層人數(shù)+4-1（實(shí)際無(wú)人）

③若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算,則：

總?cè)藬?shù)二（每邊人數(shù)-層數(shù)）x層數(shù)x4

3、方陣問(wèn)題有實(shí)心和空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化

較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

21、時(shí)鐘問(wèn)題

1、定義：時(shí)鐘問(wèn)題就是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問(wèn)題,如兩針重合（0度1兩

針垂直（15格1兩針成一線（0格或30格\兩針夾角成60度（10格、120度（20

格）等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比。

2、數(shù)量關(guān)系：分針?biāo)俣仁菚r(shí)針的12倍

①鐘面的一周為60格，每格6°;每個(gè)數(shù)字間隔為5格，為30%

②分針每分鐘走1格，為6。；時(shí)針每分鐘走12格，為0.5。。

22、幻方問(wèn)題

1、定義：把nxn個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)

之和都相等，這樣的圖叫幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三階幻方。

2、數(shù)量關(guān)系：

每行、每列、每條對(duì)角線上的各數(shù)和都相等，這個(gè)和叫做"幻和"。

①三階幻方的幻和中間數(shù)的3倍；

②五階幻方的幻和中間數(shù)的5倍。

23、概率和頻率

1、頻率：在一次試驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總數(shù)的比值。

2、概率：某一事件所固有的性質(zhì)。

3、頻率是變化的，每次試驗(yàn)可能不同，概率是穩(wěn)定值不變。

4、在一定條件下頻率可以近似代替概率。

24、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算

1、定義

①真分?jǐn)?shù)：分子小于分母的分?jǐn)?shù)；

②假分?jǐn)?shù)：分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)；

③帶分?jǐn)?shù)：是假分?jǐn)?shù)的另一種形式，由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成；

④最簡(jiǎn)比：是最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)而且互質(zhì)；

⑤比值：是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

①分?jǐn)?shù)加減：a.同分母分?jǐn)?shù)：分母不變，分子相加減

b.異分母分?jǐn)?shù)：同分（找分母的最小公倍數(shù)）

c.帶分?jǐn)?shù)加減：整數(shù)+/■整數(shù)，分?jǐn)?shù)+/■分?jǐn)?shù)

②分?jǐn)?shù)乘除：a.乘法：分子x分子，分母x分母，能約分的先在過(guò)程中約分

b.除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘以它的倒數(shù)

3、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化

①分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：用分子除以分母；

②小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：小數(shù)數(shù)字不變，有幾位小數(shù)分母就添幾個(gè)"0",最后化簡(jiǎn)；

③小數(shù)與百分?jǐn)?shù)互換：小數(shù)點(diǎn)左右移動(dòng)兩位；

④分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)互化：通過(guò)將分母化為100轉(zhuǎn)換。

4、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算中的技巧

①運(yùn)算順序：先括號(hào)，再乘除，最后加減

②減變加不變，除變乘不變：當(dāng)括號(hào)前面是或""時(shí)，添去括號(hào)時(shí)，括號(hào)里

面一定要變號(hào)。

25、小數(shù)和分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換問(wèn)題

1、小數(shù)轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)

①純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：循環(huán)節(jié)是幾位就用幾個(gè)"9”作為分母；循環(huán)節(jié)作為分子；

再化簡(jiǎn)。

②混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù):分母:前幾位是"9",位數(shù)與循環(huán)節(jié)相同；后幾位是"0",

位數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)位相同。分子：不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)連成的數(shù)減去不循環(huán)部

分組成的數(shù)。

2、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)

①分母只含有2或5的因數(shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以化為有限小數(shù)。

②分母含有2或5以外的因數(shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以化為混循環(huán)小數(shù)。

③分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)（不包括2和5）,可以化為純循環(huán)小數(shù)。

26、圖形相關(guān)問(wèn)題

一、公式：

2

1、三角形面積：S=3底X高

2、圓面積：S二或'

-JCR-H

3、圓錐體積：V=3

4、正方體、長(zhǎng)方體有：6個(gè)面、12條棱、8個(gè)角。

5、勾股定理：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

27、排列組合

1、定義

①排列從n個(gè)不同元素中取出m(mwn介元素進(jìn)行排序所有排列的個(gè)數(shù)用A(n,m)

或表示。

A"'=n(n-\)(n-2)???(n-m+1)=----:——

(〃-m)l

規(guī)定0!=l(n!=n(n-l)(n-2)...l,例如6!=6x5x4x3x2xl)

②組合：從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素，不考慮排序。所有組合的個(gè)數(shù)用

廠_/'二〃！

C(n;m)或C"表示?！奔蛹觕(n,m)=C(n,n-m%(n>m)

2、基本計(jì)數(shù)原理

①加法原理：做T牛事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有ml種不同的方

法,在第二類辦法中有m2種不同的方法......在第n類辦法中有mn種不同的方法，

那么完成這件事共有N=ml+m2+m3+...+mn種不同方法。

②乘法原理：做T牛事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有ml種不同的方法,

做第二步有m2種不同的方法.....做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共

有N=mlxm2xm3x...xmn種不同的方法。

28、等差數(shù)列

1、定義：一個(gè)數(shù)列中，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都相等,這樣的數(shù)

列叫做等差數(shù)列。相鄰兩項(xiàng)的差叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差。

項(xiàng)數(shù)二（末項(xiàng)-首項(xiàng)）?公差+1

首項(xiàng)二末項(xiàng)?（項(xiàng)數(shù)-1）X公差

末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）X公差

和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2

2、相關(guān)公式：

（I+〃）xn

①1+2+3+....+n=2

〃x（〃+l）x（2〃+1）

②1+4+9+16+......+?2=6

奧數(shù)中的植樹問(wèn)題

1、非封閉線路上的植樹問(wèn)題，主要可以分為以下三種情形：

（1）如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：

株數(shù)二段數(shù)+1=全長(zhǎng)?株距+1，全長(zhǎng)二株距x（株數(shù)一1）,株距二全長(zhǎng)X株數(shù)一1）

(2)如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：

株數(shù)二段數(shù)二全長(zhǎng)：株距，全長(zhǎng)二株距x株數(shù),株距二全長(zhǎng)?株數(shù)

(3)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹，那么：

株數(shù)二段數(shù)一1二全長(zhǎng)：株距一1,全長(zhǎng)二株距x(株數(shù)+1),株距=全長(zhǎng)二(株數(shù)+1)

2、封閉線路上的植樹問(wèn)題

株數(shù)二段數(shù)二全長(zhǎng)?株距,全長(zhǎng)二株距x株數(shù),株距二全長(zhǎng)?株數(shù)

奧數(shù)中的方程

1、定義：把題目中的未知數(shù)用X代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的方程，通過(guò)

解方程得到答案。

2、數(shù)量關(guān)系：方程兩邊數(shù)量相等。

3、解方程的基本方法：利用等式的基本性質(zhì)，在方程兩邊同加，同減，同乘，同除來(lái)

解得未知數(shù)的值。

4、解題過(guò)程可以概括為"審、設(shè)、歹人解、驗(yàn)、答"六字法

①審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問(wèn)題中的等量關(guān)系是什

么。

②設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為X。

③列：根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。

④解：求出所列方程的解。

⑤驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否正確，是否符合題意。

⑥答：回答題目所問(wèn)，也就是寫出答問(wèn)的話。

在列方程解應(yīng)用題是，一般設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語(yǔ)。必須檢驗(yàn)。

注意：設(shè)未知數(shù)時(shí)要在X后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名

稱，求出的X值也不帶單位名稱，在答語(yǔ)中要寫出單位名稱。

奧數(shù)中的常用數(shù)據(jù)及規(guī)律

1、圓周率常取數(shù)據(jù)：3.14x1=3.143.14x5=15.73.14x9=28.26

2、常用特殊的乘積：25x3=7525x4=10025x8=200

125x3=375125x4=500125x8=1000625x16=10000

37x3=111

3、常用平方數(shù)：112=121122=144132=169142=196152=225

162=256172=289182=324192=361202=400

252=625352=1225452=2025552=3025652=4225

4、關(guān)于常用分?jǐn)?shù)與4激的互化:

113i2

2=0.54=0.254=0.755=0.25=0.4

34

5=0.65=0.88=0.125

3571

8=0.3753=0.6258=0.87520=0.05

37911

20=0.1520=0.3520=0.4520=0.55

1234

25=0.0425=0.0825=0.1225=0.16

6

25=0.24

5、吊用以內(nèi)數(shù)

13=123=833=2743=6453=125

63=21673:34383=51293=729

基本概念

第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

-概念

（一）整數(shù)

I整數(shù)的意義：自緘和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)：

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。

一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3計(jì)數(shù)單位：

一（個(gè)1十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億……都是計(jì)數(shù)單位。

每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4數(shù)位：

計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來(lái)，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除：

整數(shù)a除以整數(shù)b(b^O),除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或

者說(shuō)b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b(bw0)整除，a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的約數(shù)(或a的因

數(shù)X倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是它本身。例如：

10的約數(shù)有1、2、5、10,其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是10。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、

12......其中最小的倍數(shù)是3,沒(méi)有最大的倍數(shù)。

個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2

整除。。

個(gè)位上是。或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除,例如：12、108、204

都能被3整除。

一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、

404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

Y數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：

1168.4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個(gè)數(shù)，如果只有I和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)

數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、

67、71、73、79、83、89、97。

一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、

12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約

數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和L

每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),叫做

這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3x5這和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大

公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其

中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何I自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互反。

兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)

這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是L

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小

公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18......

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18......是2、3的公倍數(shù)，6是

它們的最小公倍數(shù)。。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。

（二）小數(shù)

1小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份......得到的十分之幾、百分之幾、千分之

幾……可以用小數(shù)表示。

T立小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)

左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分

之一”和整數(shù)部分的最彳氐單位"一"之間的進(jìn)率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù).例如：41.7、253、

0.23都是有限小數(shù)。

無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。例如：4.33......

3.1415926......

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限，這樣的小數(shù)叫做

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。例如：口

循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)

叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555......0.0333......12.109109......

一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例

如：3.99……的循環(huán)節(jié)是"9”,0.5454……的循環(huán)節(jié)是"54"。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……

0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……

0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)

節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)

點(diǎn)。例如：3.777……簡(jiǎn)寫作0.5302302……簡(jiǎn)寫作。

（三）分?jǐn)?shù)

1分?jǐn)?shù)的意義

把單位"1"平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位"1"平

均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位"1，，平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于

1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

3約分和通分

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù),叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

(四)百分?jǐn)?shù)

1表示一個(gè)數(shù)是另一人數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分

數(shù)通常用"%"來(lái)表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

二方法

(-)數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法

去讀，再在后面加一個(gè)”億"或"萬(wàn)"字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來(lái)，其它數(shù)位連續(xù)有

幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在

那個(gè)數(shù)位上寫0。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作"點(diǎn)"，小

數(shù)部分從左向右順次讀出每T立數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來(lái)寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下

角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀"分之"然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)

的讀法來(lái)讀。

6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來(lái)寫。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)

的讀法來(lái)讀。

8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式,而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)"％”

（二）數(shù)的改寫

一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用"萬(wàn)"或"億"作單位的數(shù)。

有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬(wàn)或億為

單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把1254300000改寫成以萬(wàn)做單位的數(shù)是

125430萬(wàn)；改寫成以億做單位的數(shù)12.543億。

2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù),用

一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示。例如：1302490015省略億后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如

果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省

略345900萬(wàn)后面的尾數(shù)約是35萬(wàn)。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。贺暗纸徽麛?shù)的大小，位數(shù)多的那人數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高

位,最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下T立，哪一位上的數(shù)大那

個(gè)數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分一整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相

同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)

就大……

3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)匕徽大；分子相同的數(shù)，分母小的

分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的,先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)去

掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能

化成有限小數(shù)的，T殳保留三位小數(shù)。

3.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能

化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移