2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試：統(tǒng)計推斷與檢驗線性回歸試題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤的概率通常記作（）A.βB.αC.σD.μ2.以下哪種情況下，我們通常會選擇使用t檢驗而不是z檢驗？（）A.樣本量非常大B.總體標(biāo)準(zhǔn)差已知C.總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量較小D.總體分布不是正態(tài)分布3.在線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.[0,1]D.(-∞,∞)4.如果一個線性回歸模型的殘差呈現(xiàn)出明顯的系統(tǒng)性模式，那么這通常意味著（）A.模型擬合得很好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差5.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們接受了原假設(shè)，那么我們可以說（）A.原假設(shè)一定是正確的B.原假設(shè)有可能是正確的C.備擇假設(shè)一定是正確的D.備擇假設(shè)有可能是正確的6.以下哪種方法可以用來檢驗線性回歸模型中的自變量是否對因變量有顯著影響？（）A.t檢驗B.F檢驗C.χ2檢驗D.z檢驗7.在線性回歸分析中，如果某個自變量的系數(shù)估計值不顯著，那么這意味著（）A.該自變量對因變量沒有影響B(tài).該自變量對因變量有線性影響C.該自變量對因變量有非線性影響D.該自變量對因變量有交互影響8.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們拒絕了原假設(shè)，那么我們可以說（）A.原假設(shè)一定是錯誤的B.原假設(shè)有可能是錯誤的C.備擇假設(shè)一定是正確的D.備擇假設(shè)有可能是正確的9.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在高度相關(guān)性，那么這通常會導(dǎo)致（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差10.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.05，那么我們意味著（）A.我們愿意承擔(dān)5%的第一類錯誤概率B.我們愿意承擔(dān)5%的第二類錯誤概率C.我們愿意承擔(dān)95%的第一類錯誤概率D.我們愿意承擔(dān)95%的第二類錯誤概率11.在線性回歸分析中，如果因變量的方差隨著自變量的增加而增加，那么這通常意味著（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差12.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.01，那么我們意味著（）A.我們愿意承擔(dān)1%的第一類錯誤概率B.我們愿意承擔(dān)1%的第二類錯誤概率C.我們愿意承擔(dān)99%的第一類錯誤概率D.我們愿意承擔(dān)99%的第二類錯誤概率13.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在線性關(guān)系，那么這通常意味著（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差14.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們拒絕了原假設(shè)，那么我們可以說（）A.原假設(shè)一定是錯誤的B.原假設(shè)有可能是錯誤的C.備擇假設(shè)一定是正確的D.備擇假設(shè)有可能是正確的15.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在非線性關(guān)系，那么這通常會導(dǎo)致（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差16.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.10，那么我們意味著（）A.我們愿意承擔(dān)10%的第一類錯誤概率B.我們愿意承擔(dān)10%的第二類錯誤概率C.我們愿意承擔(dān)90%的第一類錯誤概率D.我們愿意承擔(dān)90%的第二類錯誤概率17.在線性回歸分析中，如果因變量的方差隨著自變量的增加而減少，那么這通常意味著（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差18.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們接受了原假設(shè)，那么我們可以說（）A.原假設(shè)一定是正確的B.原假設(shè)有可能是正確的C.備擇假設(shè)一定是正確的D.備擇假設(shè)有可能是正確的19.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在高度相關(guān)性，那么這通常會導(dǎo)致（）A.模型擬合得更好B.模型存在異方差性C.模型存在多重共線性D.數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差20.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.05，那么我們意味著（）A.我們愿意承擔(dān)5%的第一類錯誤概率B.我們愿意承擔(dān)5%的第二類錯誤概率C.我們愿意承擔(dān)95%的第一類錯誤概率D.我們愿意承擔(dān)95%的第二類錯誤概率二、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請判斷下列各題的敘述是否正確，正確的填“√”，錯誤的填“×”。）1.在假設(shè)檢驗中，如果我們拒絕了原假設(shè)，那么我們可以說原假設(shè)一定是錯誤的。（×）2.在線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是(0,1)。（×）3.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.05，那么我們意味著我們愿意承擔(dān)5%的第二類錯誤概率。（×）4.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在高度相關(guān)性，那么這通常會導(dǎo)致模型存在多重共線性。（√）5.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們接受了原假設(shè)，那么我們可以說原假設(shè)一定是正確的。（×）6.在線性回歸分析中，如果因變量的方差隨著自變量的增加而增加，那么這通常意味著模型存在異方差性。（√）7.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們選擇了顯著性水平α=0.01，那么我們意味著我們愿意承擔(dān)1%的第一類錯誤概率。（√）8.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在線性關(guān)系，那么這通常意味著模型擬合得更好。（×）9.在進行假設(shè)檢驗時，如果我們拒絕了原假設(shè)，那么我們可以說備擇假設(shè)一定是正確的。（×）10.在線性回歸分析中，如果自變量之間存在非線性關(guān)系，那么這通常會導(dǎo)致模型存在異方差性。（×）三、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請根據(jù)題目要求，簡要回答下列問題。）1.簡述假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的含義，并說明它們之間的關(guān)系。在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤是指我們拒絕了實際上為真的原假設(shè)，也稱為“棄真錯誤”。而第二類錯誤是指我們接受了實際上為假的原假設(shè)，也稱為“取偽錯誤”。這兩類錯誤之間存在著一種權(quán)衡關(guān)系，通常情況下，降低第一類錯誤的概率會增加第二類錯誤的概率，反之亦然。這種關(guān)系可以通過選擇不同的顯著性水平α來調(diào)整，但無法同時將兩類錯誤都降到最低。2.解釋線性回歸分析中判定系數(shù)R2的含義，并說明其取值范圍。判定系數(shù)R2是衡量線性回歸模型擬合優(yōu)度的一個重要指標(biāo)，它表示因變量的變異中有多少可以通過自變量來解釋。R2的取值范圍是[0,1]，其中R2=0表示自變量對因變量沒有解釋力，R2=1表示自變量可以完全解釋因變量的變異。一般來說，R2越大，模型的擬合優(yōu)度越好。3.簡述線性回歸分析中多重共線性的概念及其對模型的影響。多重共線性是指線性回歸模型中的自變量之間存在高度相關(guān)性。多重共線性會對模型的系數(shù)估計值產(chǎn)生較大影響，使得系數(shù)估計值的方差增大，導(dǎo)致參數(shù)估計的不穩(wěn)定性。在存在多重共線性的情況下，模型的系數(shù)估計值可能會出現(xiàn)與預(yù)期相反的符號，并且系數(shù)估計值的置信區(qū)間會變得較寬，從而降低了模型的預(yù)測能力。4.說明線性回歸分析中異方差性的概念及其對模型的影響。異方差性是指線性回歸模型中殘差的方差隨自變量的變化而變化。在存在異方差性的情況下，模型的殘差圖會呈現(xiàn)出明顯的系統(tǒng)性模式，例如，殘差的散點圖會呈現(xiàn)出漏斗形狀。異方差性會使得模型的系數(shù)估計值仍然是無偏的，但會降低系數(shù)估計值的效率，即系數(shù)估計值的方差增大，從而降低了模型的預(yù)測能力。5.簡述線性回歸分析中殘差分析的目的及其常用方法。殘差分析是線性回歸分析中非常重要的一步，其主要目的是通過分析殘差來檢驗?zāi)Ｐ偷募僭O(shè)是否成立。常用的殘差分析方法包括殘差圖分析、正態(tài)性檢驗、方差齊性檢驗等。通過殘差分析，我們可以判斷模型是否存在異方差性、自相關(guān)性和非正態(tài)性等問題，從而對模型進行修正和改進。四、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請根據(jù)題目要求，計算下列問題。）1.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|2||2|3||3|5||4|4||5|6|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的系數(shù)β?和β?的估計值，并解釋其含義。根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)/5=3Y?=(2+3+5+4+6)/5=4然后，計算β?的估計值：β?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(1-3)(2-4)+(2-3)(3-4)+(3-3)(5-4)+(4-3)(4-4)+(5-3)(6-4)/(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=(-2)(-2)+(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(0)+(2)(2)/4+1+0+1+4=4+1+0+0+4/10=9/10=0.9接下來，計算β?的估計值：β?=Y?-β?X?=4-0.9*3=4-2.7=1.3因此，線性回歸方程的估計值為Y=1.3+0.9X。其中，β?=0.9表示自變量X每增加一個單位，因變量Y平均增加0.9個單位；β?=1.3表示當(dāng)自變量X為0時，因變量Y的估計值為1.3。2.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|3||2|4||3|6||4|5||5|7|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的系數(shù)β?和β?的估計值，并解釋其含義。根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)/5=3Y?=(3+4+6+5+7)/5=5然后，計算β?的估計值：β?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(1-3)(3-5)+(2-3)(4-5)+(3-3)(6-5)+(4-3)(5-5)+(5-3)(7-5)/(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=(-2)(-2)+(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(0)+(2)(2)/4+1+0+1+4=4+1+0+0+4/10=9/10=0.9接下來，計算β?的估計值：β?=Y?-β?X?=5-0.9*3=5-2.7=2.3因此，線性回歸方程的估計值為Y=2.3+0.9X。其中，β?=0.9表示自變量X每增加一個單位，因變量Y平均增加0.9個單位；β?=2.3表示當(dāng)自變量X為0時，因變量Y的估計值為2.3。3.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|2||2|3||3|5||4|4||5|6|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的判定系數(shù)R2，并解釋其含義。根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)/5=3Y?=(2+3+5+4+6)/5=4然后，計算β?的估計值：β?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(1-3)(2-4)+(2-3)(3-4)+(3-3)(5-4)+(4-3)(4-4)+(5-3)(6-4)/(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=(-2)(-2)+(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(0)+(2)(2)/4+1+0+1+4=4+1+0+0+4/10=9/10=0.9接下來，計算β?的估計值：β?=Y?-β?X?=4-0.9*3=4-2.7=1.3因此，線性回歸方程的估計值為Y=1.3+0.9X。接下來，計算判定系數(shù)R2：R2=1-SSE/SST=1-Σ(Y?-??)2/Σ(Y?-Y?)2首先，計算SSE（殘差平方和）：SSE=Σ(Y?-??)2=(2-(1.3+0.9*1))2+(3-(1.3+0.9*2))2+(5-(1.3+0.9*3))2+(4-(1.3+0.9*4))2+(6-(1.3+0.9*5))2=(2-2.2)2+(3-3.1)2+(5-4.0)2+(4-4.9)2+(6-5.8)2=(-0.2)2+(-0.1)2+(1.0)2+(-0.9)2+(0.2)2=0.04+0.01+1.00+0.81+0.04=1.90然后，計算SST（總平方和）：SST=Σ(Y?-Y?)2=(2-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(4-4)2+(6-4)2=(-2)2+(-1)2+(1)2+(0)2+(2)2=4+1+1+0+4=10最后，計算R2：R2=1-SSE/SST=1-1.90/10=1-0.19=0.81因此，線性回歸方程的判定系數(shù)R2為0.81。這表示因變量Y的變異中有81%可以通過自變量X來解釋，模型的擬合優(yōu)度較好。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：在假設(shè)檢驗中，第一類錯誤的概率通常記作α，即拒絕原假設(shè)時犯錯的概率。2.C解析：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本量較小時，我們通常選擇使用t檢驗，因為t檢驗考慮了樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估計誤差。3.C解析：判定系數(shù)R2的取值范圍是[0,1]，其中R2=0表示自變量對因變量沒有解釋力，R2=1表示自變量可以完全解釋因變量的變異。4.B解析：如果殘差呈現(xiàn)出明顯的系統(tǒng)性模式，如漏斗形狀，這通常意味著模型存在異方差性，即殘差的方差隨自變量的變化而變化。5.B解析：當(dāng)我們接受了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，原假設(shè)有可能是正確的，但不能確定一定是正確的。6.B解析：F檢驗可以用來檢驗線性回歸模型中所有自變量整體上對因變量是否有顯著影響。7.A解析：如果某個自變量的系數(shù)估計值不顯著，即p值大于顯著性水平，這意味著在統(tǒng)計上不能拒絕該自變量對因變量沒有線性影響的原假設(shè)。8.B解析：當(dāng)我們拒絕了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，原假設(shè)有可能是錯誤的，但不能確定一定是錯誤的。9.C解析：自變量之間存在高度相關(guān)性會導(dǎo)致模型存在多重共線性，使得系數(shù)估計值不穩(wěn)定且難以解釋。10.A解析：選擇顯著性水平α=0.05意味著我們愿意承擔(dān)5%的第一類錯誤概率，即有5%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)。11.B解析：如果因變量的方差隨著自變量的增加而增加，這通常意味著模型存在異方差性，需要進一步處理。12.A解析：選擇顯著性水平α=0.01意味著我們愿意承擔(dān)1%的第一類錯誤概率，即有1%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)。13.A解析：如果自變量之間存在線性關(guān)系，線性回歸模型可以很好地擬合數(shù)據(jù)，模型的擬合優(yōu)度較好。14.B解析：當(dāng)我們拒絕了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，原假設(shè)有可能是錯誤的，但不能確定一定是錯誤的。15.B解析：自變量之間存在非線性關(guān)系意味著線性回歸模型可能無法很好地擬合數(shù)據(jù)，需要考慮非線性模型或其他方法。16.A解析：選擇顯著性水平α=0.10意味著我們愿意承擔(dān)10%的第一類錯誤概率，即有10%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)。17.B解析：如果因變量的方差隨著自變量的增加而減少，這通常意味著模型存在異方差性，需要進一步處理。18.B解析：當(dāng)我們接受了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，原假設(shè)有可能是正確的，但不能確定一定是正確的。19.C解析：自變量之間存在高度相關(guān)性會導(dǎo)致模型存在多重共線性，使得系數(shù)估計值不穩(wěn)定且難以解釋。20.A解析：選擇顯著性水平α=0.05意味著我們愿意承擔(dān)5%的第一類錯誤概率，即有5%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)。二、判斷題答案及解析1.×解析：在假設(shè)檢驗中，如果我們拒絕了原假設(shè)，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，但不能確定原假設(shè)一定是錯誤的，因為可能存在第二類錯誤。2.×解析：判定系數(shù)R2的取值范圍是[0,1]，而不是(0,1)。3.×解析：選擇顯著性水平α=0.05意味著我們愿意承擔(dān)5%的第一類錯誤概率，即有5%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)，而不是第二類錯誤。4.√解析：自變量之間存在高度相關(guān)性會導(dǎo)致模型存在多重共線性，使得系數(shù)估計值不穩(wěn)定且難以解釋。5.×解析：當(dāng)我們接受了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，原假設(shè)有可能是正確的，但不能確定一定是正確的。6.√解析：如果因變量的方差隨著自變量的增加而增加，這通常意味著模型存在異方差性，需要進一步處理。7.√解析：選擇顯著性水平α=0.01意味著我們愿意承擔(dān)1%的第一類錯誤概率，即有1%的概率拒絕實際上為真的原假設(shè)。8.×解析：自變量之間存在線性關(guān)系并不意味著線性回歸模型一定能夠很好地擬合數(shù)據(jù)，還需要考慮其他因素，如模型的殘差分析等。9.×解析：當(dāng)我們拒絕了原假設(shè)時，只能說明在當(dāng)前顯著性水平下有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)，但不能確定備擇假設(shè)一定是正確的，因為可能存在其他未考慮的假設(shè)。10.×解析：自變量之間存在非線性關(guān)系并不意味著線性回歸模型一定無法很好地擬合數(shù)據(jù)，可以通過殘差分析等方法判斷是否需要考慮非線性模型。三、簡答題答案及解析1.簡述假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的含義，并說明它們之間的關(guān)系。解析：第一類錯誤是指我們拒絕了實際上為真的原假設(shè)，也稱為“棄真錯誤”。第二類錯誤是指我們接受了實際上為假的原假設(shè)，也稱為“取偽錯誤”。這兩類錯誤之間存在著一種權(quán)衡關(guān)系，通常情況下，降低第一類錯誤的概率會增加第二類錯誤的概率，反之亦然。這種關(guān)系可以通過選擇不同的顯著性水平α來調(diào)整，但無法同時將兩類錯誤都降到最低。2.解釋線性回歸分析中判定系數(shù)R2的含義，并說明其取值范圍。解析：判定系數(shù)R2是衡量線性回歸模型擬合優(yōu)度的一個重要指標(biāo)，它表示因變量的變異中有多少可以通過自變量來解釋。R2的取值范圍是[0,1]，其中R2=0表示自變量對因變量沒有解釋力，R2=1表示自變量可以完全解釋因變量的變異。一般來說，R2越大，模型的擬合優(yōu)度越好。3.簡述線性回歸分析中多重共線性的概念及其對模型的影響。解析：多重共線性是指線性回歸模型中的自變量之間存在高度相關(guān)性。多重共線性會對模型的系數(shù)估計值產(chǎn)生較大影響，使得系數(shù)估計值的方差增大，導(dǎo)致參數(shù)估計的不穩(wěn)定性。在存在多重共線性的情況下，模型的系數(shù)估計值可能會出現(xiàn)與預(yù)期相反的符號，并且系數(shù)估計值的置信區(qū)間會變得較寬，從而降低了模型的預(yù)測能力。4.說明線性回歸分析中異方差性的概念及其對模型的影響。解析：異方差性是指線性回歸模型中殘差的方差隨自變量的變化而變化。在存在異方差性的情況下，模型的殘差圖會呈現(xiàn)出明顯的系統(tǒng)性模式，例如，殘差的散點圖會呈現(xiàn)出漏斗形狀。異方差性會使得模型的系數(shù)估計值仍然是無偏的，但會降低系數(shù)估計值的效率，即系數(shù)估計值的方差增大，從而降低了模型的預(yù)測能力。5.簡述線性回歸分析中殘差分析的目的及其常用方法。解析：殘差分析是線性回歸分析中非常重要的一步，其主要目的是通過分析殘差來檢驗?zāi)Ｐ偷募僭O(shè)是否成立。常用的殘差分析方法包括殘差圖分析、正態(tài)性檢驗、方差齊性檢驗等。通過殘差分析，我們可以判斷模型是否存在異方差性、自相關(guān)性和非正態(tài)性等問題，從而對模型進行修正和改進。四、計算題答案及解析1.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|2||2|3||3|5||4|4||5|6|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的系數(shù)β?和β?的估計值，并解釋其含義。解析：根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)/5=3Y?=(2+3+5+4+6)/5=4然后，計算β?的估計值：β?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(1-3)(2-4)+(2-3)(3-4)+(3-3)(5-4)+(4-3)(4-4)+(5-3)(6-4)/(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=(-2)(-2)+(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(0)+(2)(2)/4+1+0+1+4=4+1+0+0+4/10=9/10=0.9接下來，計算β?的估計值：β?=Y?-β?X?=4-0.9*3=4-2.7=1.3因此，線性回歸方程的估計值為Y=1.3+0.9X。其中，β?=0.9表示自變量X每增加一個單位，因變量Y平均增加0.9個單位；β?=1.3表示當(dāng)自變量X為0時，因變量Y的估計值為1.3。2.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|3||2|4||3|6||4|5||5|7|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的系數(shù)β?和β?的估計值，并解釋其含義。解析：根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)/5=3Y?=(3+4+6+5+7)/5=5然后，計算β?的估計值：β?=Σ(X?-X?)(Y?-Y?)/Σ(X?-X?)2=(1-3)(3-5)+(2-3)(4-5)+(3-3)(6-5)+(4-3)(5-5)+(5-3)(7-5)/(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=(-2)(-2)+(-1)(-1)+(0)(1)+(1)(0)+(2)(2)/4+1+0+1+4=4+1+0+0+4/10=9/10=0.9接下來，計算β?的估計值：β?=Y?-β?X?=5-0.9*3=5-2.7=2.3因此，線性回歸方程的估計值為Y=2.3+0.9X。其中，β?=0.9表示自變量X每增加一個單位，因變量Y平均增加0.9個單位；β?=2.3表示當(dāng)自變量X為0時，因變量Y的估計值為2.3。3.假設(shè)我們收集了一組數(shù)據(jù)，其中因變量Y和自變量X的觀測值如下表所示：|X|Y||---|---||1|2||2|3||3|5||4|4||5|6|請計算線性回歸方程Y=β?+β?X的判定系數(shù)R2，并解釋其含義。解析：根據(jù)最小二乘法，我們可以計算出線性回歸方程的系數(shù)估計值。首先，計算X和Y的均值：X?=(1+2+3+4+5)