2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——統(tǒng)計推斷與假設(shè)檢驗的誤區(qū)與糾正試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。請將正確選項字母填涂在答題卡相應(yīng)位置。）1.在進行假設(shè)檢驗時，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.置信區(qū)間錯誤D.標(biāo)準(zhǔn)誤差錯誤2.樣本量的大小對假設(shè)檢驗的效力有直接影響，樣本量過小可能會導(dǎo)致（）。A.檢驗效力降低B.檢驗效力提高C.檢驗結(jié)果更準(zhǔn)確D.檢驗結(jié)果更模糊3.在進行單樣本t檢驗時，如果樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，但樣本量較大（如n>30），通常可以認為（）。A.檢驗結(jié)果無效B.檢驗結(jié)果仍然有效C.需要使用非參數(shù)檢驗D.需要增加樣本量4.在進行雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，應(yīng)該使用（）。A.配對樣本t檢驗B.獨立樣本t檢驗C.Welch'st檢驗D.Mann-WhitneyU檢驗5.在進行卡方檢驗時，如果期望頻數(shù)太低，可能會導(dǎo)致（）。A.檢驗效力降低B.檢驗效力提高C.檢驗結(jié)果更準(zhǔn)確D.檢驗結(jié)果更模糊6.在進行方差分析時，如果假設(shè)被拒絕，說明（）。A.至少有一個組別的均值與其他組別有顯著差異B.所有組別的均值都與其他組別有顯著差異C.所有組別的均值都沒有顯著差異D.樣本量太小，無法得出結(jié)論7.在進行回歸分析時，如果自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系，應(yīng)該使用（）。A.線性回歸分析B.多項式回歸分析C.對數(shù)回歸分析D.邏輯回歸分析8.在進行相關(guān)分析時，如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為1，說明（）。A.兩個變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個變量之間存在負相關(guān)關(guān)系C.兩個變量之間存在完全線性關(guān)系D.兩個變量之間不存在任何關(guān)系9.在進行假設(shè)檢驗時，如果p值小于顯著性水平α，說明（）。A.原假設(shè)被拒絕B.原假設(shè)被接受C.樣本量太小，無法得出結(jié)論D.檢驗結(jié)果無效10.在進行假設(shè)檢驗時，如果p值大于顯著性水平α，說明（）。A.原假設(shè)被拒絕B.原假設(shè)被接受C.樣本量太大，無法得出結(jié)論D.檢驗結(jié)果無效11.在進行單樣本t檢驗時，如果樣本均值與總體均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明（）。A.原假設(shè)被拒絕B.原假設(shè)被接受C.樣本量太小，無法得出結(jié)論D.檢驗結(jié)果無效12.在進行雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明（）。A.原假設(shè)被拒絕B.原假設(shè)被接受C.樣本量太小，無法得出結(jié)論D.檢驗結(jié)果無效13.在進行卡方檢驗時，如果p值小于顯著性水平α，說明（）。A.期望頻數(shù)與觀測頻數(shù)之間存在顯著差異B.期望頻數(shù)與觀測頻數(shù)之間不存在顯著差異C.樣本量太小，無法得出結(jié)論D.檢驗結(jié)果無效14.在進行方差分析時，如果p值小于顯著性水平α，說明（）。A.至少有一個組別的均值與其他組別有顯著差異B.所有組別的均值都與其他組別有顯著差異C.所有組別的均值都沒有顯著差異D.樣本量太小，無法得出結(jié)論15.在進行回歸分析時，如果回歸系數(shù)為負，說明（）。A.自變量與因變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.自變量與因變量之間存在負相關(guān)關(guān)系C.自變量與因變量之間不存在任何關(guān)系D.回歸模型不合適16.在進行相關(guān)分析時，如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為0，說明（）。A.兩個變量之間存在正相關(guān)關(guān)系B.兩個變量之間存在負相關(guān)關(guān)系C.兩個變量之間不存在任何關(guān)系D.相關(guān)分析不合適17.在進行假設(shè)檢驗時，如果顯著性水平α設(shè)定得太高，可能會導(dǎo)致（）。A.第一類錯誤增加B.第二類錯誤增加C.檢驗效力降低D.檢驗效力提高18.在進行假設(shè)檢驗時，如果顯著性水平α設(shè)定得太低，可能會導(dǎo)致（）。A.第一類錯誤增加B.第二類錯誤增加C.檢驗效力降低D.檢驗效力提高19.在進行單樣本t檢驗時，如果樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，但樣本量較大（如n>30），通常可以認為（）。A.檢驗結(jié)果無效B.檢驗結(jié)果仍然有效C.需要使用非參數(shù)檢驗D.需要增加樣本量20.在進行雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，應(yīng)該使用（）。A.配對樣本t檢驗B.獨立樣本t檢驗C.Welch'st檢驗D.Mann-WhitneyU檢驗二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。2.解釋什么是第一類錯誤和第二類錯誤，并說明它們之間的關(guān)系。3.在進行假設(shè)檢驗時，為什么需要設(shè)定顯著性水平α？4.簡述單樣本t檢驗和雙樣本t檢驗的區(qū)別。5.在進行回歸分析時，如何判斷回歸模型是否合適？三、論述題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.你在上一堂課的例子里展示了兩個班級學(xué)生的考試成績，用到了獨立樣本t檢驗。假設(shè)你發(fā)現(xiàn)其中一個班級的樣本量較?。ū热鏽=15），而另一個班級的樣本量較大（比如n=40）。請詳細說明在這種情況下，你對這兩個班級的考試成績進行獨立樣本t檢驗時需要注意哪些問題，以及這些問題的具體影響是什么。同時，談?wù)勅绻麡颖玖坎町惡艽?，你可能會考慮哪些替代方法或者如何調(diào)整你的檢驗策略。在我的教學(xué)過程中，經(jīng)常遇到同學(xué)們對樣本量大小這個變量理解得不夠深入。就像我之前舉的那個例子，兩個班級的考試成績比較，一個班才15個學(xué)生，另一個班有40個學(xué)生，這差距可不小啊。這時候，我們直接用獨立樣本t檢驗行不行呢？我覺得得先冷靜分析一下。樣本量小，比如那個15人的班級，數(shù)據(jù)波動可能會比較大，均值估計的穩(wěn)定性就不如樣本量大的班級。這就像用三個雞蛋和三十個雞蛋去稱重，三十個雞蛋的重量讀數(shù)肯定更準(zhǔn)一些，對吧？所以，當(dāng)樣本量較小時，t統(tǒng)計量的值可能會更容易受到極端值的影響，檢驗的效力——也就是我們正確拒絕錯誤原假設(shè)的能力——可能會下降。這意味著，即使兩個班級的真正成績確實有差異，我們可能因為樣本量太小而檢測不出來。另一方面，樣本量大的班級，數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定，均值估計得也準(zhǔn)，這會使得t統(tǒng)計量更可靠。大的樣本量通常能提供更強的證據(jù)來支持或反對原假設(shè)。但是，樣本量過大也有可能檢測出一些微不足道的差異，也就是所謂的“假陽性”風(fēng)險增加，雖然我們通過設(shè)定顯著性水平α來控制這個風(fēng)險。在比較兩個班級時，如果樣本量差異懸殊，可能會出現(xiàn)一種情況，就是較大樣本量的班級幾乎總是能提供統(tǒng)計上的顯著結(jié)果，即使差異非常小。這可能會讓結(jié)果顯得過于“顯著”，而忽略了差異的實際意義。那么，面對這么大的樣本量差異，除了直接進行獨立樣本t檢驗并密切關(guān)注結(jié)果的穩(wěn)健性外，我們還能考慮什么呢？首先，可以考慮使用Welch'st檢驗，這個檢驗對兩組方差的齊性要求不那么嚴(yán)格，特別適合方差不齊且樣本量差異較大的情況。其次，我們可以從效應(yīng)量（effectsize）的角度來解讀結(jié)果。效應(yīng)量告訴我們差異有多大，而不是僅僅告訴你差異是否“統(tǒng)計上顯著”。一個大的效應(yīng)量說明即使樣本量小，差異也可能是實際存在的，而不僅僅是個例。最后，我們也可以考慮合并樣本，如果兩個班級的總體分布相似，合并后的樣本量增大，可能會得到更穩(wěn)定和更具代表性的結(jié)論。當(dāng)然，合并樣本的前提是這種方法符合研究目的和數(shù)據(jù)特性。所以，面對樣本量差異大的情況，不能簡單地套用公式，得結(jié)合實際情況，靈活調(diào)整策略，才能讓我們的分析結(jié)果既可靠又有意義。2.你在課堂上提到，在進行卡方檢驗時，如果期望頻數(shù)過低，檢驗結(jié)果可能會不可靠。請結(jié)合具體例子，詳細解釋什么是期望頻數(shù)，為什么它過低會導(dǎo)致問題，以及在實際操作中，當(dāng)遇到期望頻數(shù)過低的情況時，你通常會建議學(xué)生采取哪些補救措施。講到卡方檢驗，尤其是卡方擬合優(yōu)度檢驗或者卡方獨立性檢驗時，期望頻數(shù)這個概念確實挺重要的。什么是期望頻數(shù)呢？簡單來說，它就是我們在假設(shè)原假設(shè)成立的情況下，根據(jù)各分類的理論概率計算出來的理論頻數(shù)。舉個例子，假設(shè)我們想檢驗一個骰子是否均勻，也就是六個面出現(xiàn)的概率都是1/6。我們擲了60次，得到的結(jié)果是：1點出現(xiàn)了10次，2點出現(xiàn)了8次，3點出現(xiàn)了12次，4點出現(xiàn)了9次，5點出現(xiàn)了7次，6點出現(xiàn)了14次。那么，如果骰子真的均勻，我們預(yù)期的各點出現(xiàn)的次數(shù)，也就是期望頻數(shù)，就是60次乘以1/6，也就是10次。這個10次，就是理論值。為什么期望頻數(shù)過低會出現(xiàn)問題呢？卡方檢驗的計算公式是Σ((觀測頻數(shù)-期望頻數(shù))^2/期望頻數(shù))，你看這個分母，就是期望頻數(shù)。當(dāng)期望頻數(shù)非常小的時候，比如小于5，那么這個分母就很小，即使觀測頻數(shù)和期望頻數(shù)之間只有一點點小的差異，計算出來的卡方值也會變得很大。這就像我們用很精密的天平稱很重的物體和很輕的物體，稱重的誤差對輕物體的影響要大得多。期望頻數(shù)太小，意味著我們的理論預(yù)期非常精確，任何微小的偏差都會被放大，導(dǎo)致我們輕易地就拒絕了原假設(shè)，也就是更容易犯第一類錯誤。而且，當(dāng)期望頻數(shù)過小時，卡方分布的近似效果就不好，我們基于卡方分布計算出的p值可能就不太準(zhǔn)確了，檢驗結(jié)果的可信度就降低了。這就像我們用尺子量很長的距離和很短的距離，量短的距離時，尺子的誤差相對更明顯。那么，在實際操作中，遇到期望頻數(shù)過低的情況，我通常會建議學(xué)生采取以下幾種補救措施。第一種，也是最直接的，就是增加樣本量。樣本量越大，各組的期望頻數(shù)通常也會隨之增大。只要增大到足夠高的水平（一般建議不小于5），卡方檢驗的結(jié)果就相對可靠了。但這要求我們有更多的數(shù)據(jù)支持。第二種方法，是合并類別?；氐侥莻€骰子的例子，如果我們發(fā)現(xiàn)某個點出現(xiàn)的次數(shù)非常少，比如只有2次，而其他點都比較多，我們可以考慮把出現(xiàn)次數(shù)少的幾個點合并起來，形成一個新的“其他”類別。比如把2點、3點和4點合并，5點和6點合并。合并后，新類別的期望頻數(shù)就會變大。當(dāng)然，合并類別時要注意，不能合并那些在理論上預(yù)期差異很大的類別，否則會丟失信息，影響檢驗的效力。第三種方法，是使用費舍爾精確檢驗（Fisher'sexacttest）。這種方法不依賴于卡方分布的近似，特別適用于2x2列聯(lián)表，當(dāng)2x2列聯(lián)表中至少有一個期望頻數(shù)小于5時。費舍爾精確檢驗可以給出精確的p值，而不受樣本量和期望頻數(shù)的影響。雖然費舍爾精確檢驗主要用于2x2表，但對于期望頻數(shù)過低的問題，它是一種非常有效的工具。所以，面對期望頻數(shù)過低這個棘手的問題，不能慌，得根據(jù)具體情況，靈活運用增加樣本量、合并類別或者使用精確檢驗等方法，才能保證我們的統(tǒng)計分析結(jié)果經(jīng)得起推敲。3.假設(shè)你正在教一個關(guān)于回歸分析的課程，有學(xué)生問：“老師，我們做了線性回歸，得到了回歸系數(shù)，也計算了R平方，那我們怎么就知道這個模型真的有用，能幫我們預(yù)測呢？”請結(jié)合你在課堂上講過的內(nèi)容，詳細解釋R平方的意義，并說明僅憑R平方一個指標(biāo)，是否足夠判斷一個回歸模型的好壞或者是否適用，為什么？如果你需要進一步判斷模型是否“有用”，你還會關(guān)注哪些其他的統(tǒng)計量和信息？這個問題問得非常好，也是很多同學(xué)在學(xué)習(xí)回歸分析時都會有的困惑。我們確實花了挺多時間講線性回歸，畫散點圖，找直線，算系數(shù)，算R平方，那R平方到底是個啥意思呢？簡單來說，R平方，也就是決定系數(shù)，它告訴你這個回歸模型能解釋的因變量Y的變異有多少比例。想象一下，我們有一堆數(shù)據(jù)點，它們在散點圖上并不完全在一條直線上，而是有點散亂。R平方就是衡量這些數(shù)據(jù)點圍繞回歸線的散布程度。如果R平方等于1，說明所有數(shù)據(jù)點都完美地落在回歸線上，模型解釋了Y所有的變異，擬合得非常好。如果R平方等于0，說明回歸線對Y的變異一點解釋力都沒有，Y的變異完全是隨機產(chǎn)生的，回歸模型毫無用處。在我們的實際數(shù)據(jù)中，R平方通常在0和1之間。R平方越接近1，說明我們的模型解釋了Y變異的比例越大，模型的擬合效果就越好。比如，R平方等于0.75，就說明模型解釋了因變量75%的變異，剩下的25%是模型無法解釋的，可能是其他未包含在模型中的因素，或者是隨機誤差造成的。但是，僅憑R平方一個指標(biāo)，就判斷一個回歸模型的好壞或者是否適用，是不是就足夠了呢？我的看法是，這得打個問號。R平方只是告訴了我們模型能解釋多少“變異”，但它沒告訴我們這個變異本身有多大意義。比如，假設(shè)我們預(yù)測的是一個人每天睡眠的小時數(shù)，我們用年齡來預(yù)測。我們可能會得到一個很高的R平方，比如0.85。這意味著年齡解釋了睡眠小時數(shù)變異的85%。但是，如果實際上睡眠小時數(shù)本身的變動范圍就很小，比如大多數(shù)成年人都睡7-9小時，那么即使R平方很高，這個模型對實際預(yù)測睡眠小時數(shù)有多大幫助呢？可能幫助不大。再比如，如果我們要預(yù)測的是房價，用房屋面積來預(yù)測，可能會得到一個中等偏高的R平方。這個R平方說明面積解釋了房價變異的一部分，看起來模型還不錯。但如果房價受很多其他因素影響，比如地段、裝修、市場大環(huán)境等，那么僅憑面積一個因素，即使R平方不低，也不能完全準(zhǔn)確地預(yù)測房價，模型的實用性就有限了。所以，R平方高不一定代表模型就“有用”，關(guān)鍵還要看這個“變異”本身是否有實際意義，以及模型是否包含了所有重要的預(yù)測變量。另外，R平方也不能告訴我們模型是否“好”，因為它會隨著你加入模型中的自變量數(shù)量增加而單調(diào)遞增，即使這些新增的自變量對預(yù)測并沒有實際幫助。一個包含了太多不相關(guān)變量的模型，R平方可能會很高，但模型的解釋力和預(yù)測力反而會下降。這就引出了另一個重要的統(tǒng)計量——調(diào)整后的R平方（AdjustedRsquare）。調(diào)整后的R平方考慮了模型中自變量的數(shù)量，只有在加入新的自變量確實能顯著提高模型解釋力時，調(diào)整后的R平方才會增加。所以，當(dāng)比較包含不同數(shù)量自變量的模型時，調(diào)整后的R平方通常比R平方更可靠。除了R平方和調(diào)整后的R平方，我還經(jīng)常會關(guān)注其他幾個方面來判斷模型是否“有用”。首先是回歸系數(shù)的顯著性，也就是t檢驗的p值。我們需要檢查每個自變量的回歸系數(shù)是否顯著不為零，只有那些顯著的自變量，我們才認為它們對因變量有真正的預(yù)測作用。如果大部分自變量的系數(shù)都不顯著，那這個模型的意義就不大了。其次是殘差分析，我們要檢查模型的殘差（也就是觀測值與模型預(yù)測值之間的差異）是否滿足線性回歸的基本假設(shè)，比如殘差分布是否近似正態(tài)分布、殘差與預(yù)測值之間是否存在線性關(guān)系（沒有模式）、方差是否恒定（同方差性）等。如果殘差不滿足這些假設(shè)，模型的結(jié)果可能就不可靠。最后，我也會考慮模型的診斷圖，比如Q-Q圖、殘差與預(yù)測值散點圖等，這些圖能直觀地展示殘差的各種特性。綜合來看，判斷一個回歸模型是否“有用”，不能只看R平方，需要結(jié)合模型的解釋力、自變量的顯著性、殘差的分析以及模型診斷圖等多方面的信息，進行綜合評估。四、計算題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.某研究人員想探究一種新教學(xué)方法對學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響。他隨機選取了50名學(xué)生，將他們隨機分配到實驗組（25人）和控制組（25人）。實驗組采用新教學(xué)方法，控制組采用傳統(tǒng)教學(xué)方法。一段時間后，研究人員對兩組學(xué)生的考試成績進行了獨立樣本t檢驗，得到的結(jié)果如下：實驗組均值為80，標(biāo)準(zhǔn)差為8；控制組均值為75，標(biāo)準(zhǔn)差為10。假設(shè)兩組樣本量相等，檢驗的顯著性水平α=0.05。請問：（1）請寫出檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）計算檢驗的t統(tǒng)計量值。（3）查t分布表，確定檢驗的臨界值，并說明是雙側(cè)檢驗還是單側(cè)檢驗。（4）根據(jù)計算得到的t統(tǒng)計量值和臨界值，做出統(tǒng)計決策，并解釋你的決策依據(jù)。（5）如果根據(jù)專業(yè)知識，研究人員預(yù)期新教學(xué)方法的效果更好，那么在α=0.05的水平下，檢驗的結(jié)果是否支持這一預(yù)期？這個研究題目挺實際的，想看看新教學(xué)方法到底行不行。我們得一步步來分析這些數(shù)據(jù)。首先，實驗組和控制組各有25人，總共有50個學(xué)生參與了這個研究。我們想知道新教學(xué)方法（實驗組）是不是真的比傳統(tǒng)教學(xué)方法（控制組）能讓學(xué)生考得更好。（1）好，首先得寫清楚原假設(shè)和備擇假設(shè)。我們想知道新方法是否更好，但為了進行統(tǒng)計檢驗，得有個假設(shè)，也就是原假設(shè)，我們假設(shè)它是不好的，或者沒有區(qū)別。所以，原假設(shè)（H0）就是：實驗組的均值（μ1）等于控制組的均值（μ2），也就是μ1=μ2。備擇假設(shè)（H1）就是：實驗組的均值大于控制組的均值，因為我們預(yù)期新方法效果更好。所以備擇假設(shè)是μ1>μ2。這是一個單側(cè)檢驗，因為我們只關(guān)心新方法是不是比老方法好，不關(guān)心是不是差。（2）接下來，計算t統(tǒng)計量值。公式是t=(X?1-X?2)/sqrt((s1^2/n1)+(s2^2/n2))。這里X?1和X?2是兩組的均值，s1和s2是兩組的標(biāo)準(zhǔn)差，n1和n2是兩組的樣本量。帶入數(shù)據(jù)：X?1=80,X?2=75,s1=8,s2=10,n1=25,n2=25。計算過程是：t=(80-75)/sqrt((8^2/25)+(10^2/25))=5/sqrt((64/25)+(100/25))=5/sqrt(164/25)=5/sqrt(6.56)=5/2.5623≈1.953。所以，t統(tǒng)計量的值大約是1.953。（3）現(xiàn)在查t分布表。因為我們知道自由度（df）的計算公式是df=(s1^2/n1+s2^2/n2)^2/((s1^2/n1)^2/(n1-1)+(s2^2/n2)^2/(n2-1))。帶入數(shù)據(jù)：df=(64/25+100/25)^2/((64/25)^2/24+(100/25)^2/24)=(164/25)^2/(4096/600+4000/600)=(6.56)^2/(6.8267+6.6667)=43.0384/13.4934≈3.197。因為自由度必須是整數(shù)，我們通常取最接近的整數(shù)值，這里是16（雖然嚴(yán)格來說更接近17，但有時查表會取16）。在α=0.05的水平下，對于單側(cè)檢驗，查t分布表，臨界值t0.05,16≈1.746。所以臨界值是1.746。我們用的是雙側(cè)檢驗還是單側(cè)檢驗？我們之前確定的是單側(cè)檢驗，因為我們預(yù)期新方法更好，只關(guān)心它是不是顯著地大于老方法。（4）好了，現(xiàn)在做統(tǒng)計決策。我們把計算出的t值（1.953）和臨界值（1.746）比一比。因為這是單側(cè)檢驗，如果t統(tǒng)計量值大于臨界值，我們就拒絕原假設(shè)。1.953>1.746，對吧？所以，我們拒絕原假設(shè)H0。決策依據(jù)就是計算出的t值超出了在α=0.05水平下單側(cè)檢驗的臨界值。（5）最后一個問題，這個結(jié)果是不是支持新教學(xué)方法效果更好的預(yù)期？因為我們拒絕了原假設(shè)，也就是說，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明實驗組的均值（新方法組）顯著大于控制組的均值（傳統(tǒng)方法組）。t值1.953是大于臨界值1.746的，這說明新方法組（80分）顯著高于老方法組（75分）。所以，是的，根據(jù)α=0.05的水平，檢驗的結(jié)果是支持研究人員預(yù)期的，新教學(xué)方法確實比傳統(tǒng)教學(xué)方法效果更好。2.某醫(yī)生想研究一種降壓藥對高血壓患者收縮壓的影響。他隨機選取了30名高血壓患者，讓他們服用該降壓藥一段時間（比如一個月），然后測量他們的收縮壓。服藥前后的收縮壓數(shù)據(jù)如下表所示（單位：mmHg）：患者編號:123456789101112131415161718192021222324252627282930服藥前收縮壓:160158162165157160166168154161159163156164157160165158162159157160166164157161155162158160服藥后收縮壓:150155155160150155155155150155145155150155145150155150155145150145155150145155150155145150請使用配對樣本t檢驗，檢驗該降壓藥是否顯著降低了患者的收縮壓（α=0.05）。要求：（1）計算服藥前后收縮壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。（2）計算配對差值（服藥后收縮壓-服藥前收縮壓）及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。（3）計算檢驗的t統(tǒng)計量值。（4）查t分布表，確定檢驗的臨界值，并說明是雙側(cè)檢驗還是單側(cè)檢驗。（5）根據(jù)計算得到的t統(tǒng)計量值和臨界值，做出統(tǒng)計決策，并解釋你的決策依據(jù)。（6）根據(jù)你的分析結(jié)果，對該降壓藥的效果做出初步評價。這個降壓藥的研究也挺實際的，看看藥是不是真有效。我們得用配對樣本t檢驗，因為每個患者服藥前后的血壓是在同一個人身上測量的，數(shù)據(jù)是配對的。不能簡單用獨立樣本t檢驗，那樣會丟失配對信息，結(jié)果可能不太準(zhǔn)確。（1）首先，得計算服藥前后收縮壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。這里一共有30個患者。服藥前的收縮壓數(shù)據(jù)是：160,158,162,165,157,160,166,168,154,161,159,163,156,164,157,160,165,158,162,159,157,160,166,164,157,161,155,162,158,160。計算均值：Σx=4800，均值X?=4800/30=160。計算標(biāo)準(zhǔn)差：Σ(x-X?)2=840，方差s2=840/29≈29.0345，標(biāo)準(zhǔn)差s≈sqrt(29.0345)≈5.387。服藥后的收縮壓數(shù)據(jù)是：150,155,155,160,150,155,155,155,150,155,145,155,150,155,145,150,155,150,155,145,150,145,155,150,145,155,150,155,145,150。計算均值：Σy=4650，均值?=4650/30=155。計算標(biāo)準(zhǔn)差：Σ(y-?)2=600，方差s2=600/29≈20.6949，標(biāo)準(zhǔn)差s≈sqrt(20.6949)≈4.549。所以，服藥前均值160，標(biāo)準(zhǔn)差約5.387；服藥后均值155，標(biāo)準(zhǔn)差約4.549。（2）接下來，計算配對差值。就是每個患者服藥后的血壓減去服藥前的血壓。差值d=y-x。計算所有差值：0,-3,-7,-5,-7,-5,-11,-13,-4,-6,-14,-8,-4,-9,-12,-10,-10,-2,-7,-14,-3,-15,-11,-10,-12,-6,-6,-7,-5,-10。計算差值的均值：Σd=-135，差值均值d?=-135/30=-4.5。計算差值的標(biāo)準(zhǔn)差：Σ(d-d?)2=945，方差s_d2=945/29≈32.5862，標(biāo)準(zhǔn)差s_d≈sqrt(32.5862)≈5.708。所以，差值的均值是-4.5，標(biāo)準(zhǔn)差約5.708。（3）現(xiàn)在計算檢驗的t統(tǒng)計量值。公式是t=d?/(s_d/sqrt(n))。帶入數(shù)據(jù)：d?=-4.5，s_d≈5.708，n=30。t=-4.5/(5.708/sqrt(30))=-4.5/(5.708/5.477)=-4.5/1.0425≈-4.316。（4）查t分布表。自由度df=n-1=30-1=29。在α=0.05的水平下，對于單側(cè)檢驗（因為我們預(yù)期降壓藥會降低血壓，即差值為負），查t分布表，臨界值t0.05,29≈-1.699。所以臨界值是-1.699。我們用的是單側(cè)檢驗還是雙側(cè)檢驗？還是單側(cè)檢驗，因為我們關(guān)心的是血壓是否降低，即差值是否顯著小于0。（5）做出統(tǒng)計決策。比較計算出的t值（-4.316）和臨界值（-1.699）。因為這是單側(cè)檢驗，如果t統(tǒng)計量值小于臨界值，我們就拒絕原假設(shè)。-4.316<-1.699，對吧？所以，我們拒絕原假設(shè)H0。決策依據(jù)就是計算出的t值低于了在α=0.05水平下單側(cè)檢驗的臨界值。（6）最后，對降壓藥的效果做初步評價。因為我們拒絕了原假設(shè)，這意味著有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明服藥前后收縮壓的差值顯著小于0。t值-4.316小于臨界值-1.699，這說明降壓藥確實顯著降低了患者的收縮壓。差值的均值是-4.5mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差是約5.708mmHg，雖然均值是負的，但標(biāo)準(zhǔn)差也不小，說明降壓效果可能有個體差異，不是所有患者降得都一樣多。但總的來說，統(tǒng)計檢驗的結(jié)果是支持該降壓藥具有顯著降壓效果的。這是一個好消息，當(dāng)然，最終用藥還得結(jié)合更多因素考慮。五、分析題（本大題共1小題，共20分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.你在課堂上展示了一個關(guān)于吸煙習(xí)慣與肺癌發(fā)病率關(guān)系的回歸分析案例。數(shù)據(jù)如下表所示（虛擬數(shù)據(jù)）：煙草攝入量（包/年）:0510152025303540肺癌發(fā)病率（每10萬人）:10254575110150190230280該回歸分析得到了回歸方程：肺癌發(fā)病率=5+6.5*煙草攝入量。同時，相關(guān)系數(shù)R=0.98，調(diào)整后的R平方R2adj=0.97，回歸系數(shù)的t檢驗p值<0.001。請結(jié)合你學(xué)過的統(tǒng)計知識，對這個回歸分析結(jié)果進行批判性分析。你需要考慮但不限于以下方面：（1）解釋回歸方程中系數(shù)的意義。（2）評價該回歸模型的整體擬合優(yōu)度。（3）檢驗回歸系數(shù)的顯著性，并解釋其統(tǒng)計學(xué)意義。（4）指出該分析中可能存在的潛在問題或局限性。（5）基于你的分析，對該回歸分析結(jié)果做出整體評價，并說明其在實際應(yīng)用中的意義和需要注意的事項。這個吸煙和肺癌的例子，數(shù)據(jù)雖然看著簡單，但能很好地說明回歸分析的一些關(guān)鍵點。我們得仔細看看這個分析結(jié)果。（1）首先，解釋回歸方程中系數(shù)的意義。這個方程是肺癌發(fā)病率=5+6.5*煙草攝入量。常數(shù)項5是什么意思呢？理論上，當(dāng)煙草攝入量為0時（不吸煙），肺癌發(fā)病率是5每10萬人。但是，這10萬人的基數(shù)是怎么來的？如果這是指一個特定年齡段的人群，那么這個基數(shù)可能不等于一般人群的基數(shù)。更重要的是，煙草攝入量為0是一個極端情況，可能不在我們數(shù)據(jù)的有效范圍內(nèi)，用線性回歸去預(yù)測0攝入量時的發(fā)病率，外推性可能不太好。系數(shù)6.5呢？它代表煙草攝入量每增加一包/年，肺癌發(fā)病率平均增加6.5每10萬人。這個系數(shù)是正的，符合我們的一般認知，就是吸煙越多，肺癌風(fēng)險越高。6.5的數(shù)值大小，也反映了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間的強度，看起來關(guān)聯(lián)挺強的。（2）評價模型的整體擬合優(yōu)度?？碦平方和調(diào)整后的R平方。R平方是0.98，調(diào)整后的R平方是0.97。這兩個數(shù)值都非常高，接近1。R平方=0.98說明模型解釋了肺癌發(fā)病率變異的98%，擬合得非常好。調(diào)整后的R平方=0.97也很高，說明即使考慮了自變量數(shù)量，模型依然解釋了97%的變異。這說明煙草攝入量這個自變量，幾乎能完全解釋肺癌發(fā)病率的變化，模型擬合得非常緊密。散點圖看起來也像是一條非常陡峭的直線，所以R平方高是符合直觀的。（3）檢驗回歸系數(shù)的顯著性?？磘檢驗的p值，小于0.001。這個p值非常小，遠小于我們通常用的顯著性水平α=0.05。這意味著，回歸系數(shù)6.5顯著不為0的可能性非常非常小。換句話說，煙草攝入量與肺癌發(fā)病率之間有統(tǒng)計學(xué)上顯著的線性關(guān)系。p值小于0.001，說明這種關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計上是極其顯著的，幾乎不可能是偶然發(fā)生的。所以，我們可以非常有信心地說，煙草攝入量對肺癌發(fā)病率有顯著的預(yù)測作用。（4）指出分析中可能存在的潛在問題或局限性。盡管模型看起來很完美，但實際分析中要小心。第一個，也是最關(guān)鍵的，是數(shù)據(jù)來源和代表性。這些數(shù)據(jù)是虛擬的，但如果是真實數(shù)據(jù)，要考慮它們是否來自一個有代表性的大樣本人群。樣本量是多少？9個數(shù)據(jù)點，樣本量太小了，線性回歸對樣本量是有要求的，樣本量小，模型的穩(wěn)定性和外推性會受影響。第二個，是線性關(guān)系假設(shè)。R平方和系數(shù)的意義都基于線性關(guān)系。我們看看散點圖，數(shù)據(jù)點確實很接近一條直線，但有沒有可能存在輕微的非線性關(guān)系呢？如果存在，用線性模型可能就不夠準(zhǔn)確了。第三個，是因果關(guān)系問題。統(tǒng)計顯著不等于因果關(guān)系。雖然這個例子中我們有很強的理論依據(jù)相信吸煙導(dǎo)致肺癌，但統(tǒng)計模型本身只能揭示變量間的關(guān)聯(lián)性。第四個，是遺漏變量偏差。模型只包含了煙草攝入量一個自變量，但肺癌發(fā)病率還可能受年齡、性別、遺傳、空氣污染、職業(yè)暴露等多種因素影響。如果這些因素被忽略了，它們的影響可能會“泄露”到煙草攝入量的系數(shù)中，導(dǎo)致系數(shù)估計不準(zhǔn)確。第五個，是數(shù)據(jù)分布假設(shè)。線性回歸還假設(shè)殘差（實際值和預(yù)測值之差）是近似正態(tài)分布的，方差恒定（同方差性）。我們沒看到殘差圖，但樣本量小的時候，很難準(zhǔn)確判斷這些假設(shè)是否滿足。（5）基于分析，對結(jié)果做整體評價和實際意義。總的來說，這個虛擬的回歸分析結(jié)果看起來很“理想”：模型擬合極好（R2adj=0.97），系數(shù)非常顯著（p<0.001），系數(shù)本身也有明確的解釋意義（每增加一包/年，發(fā)病率增加6.5/10萬）。它清晰地揭示了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間強烈的正線性關(guān)系。如果這是真實數(shù)據(jù)，并且研究設(shè)計合理，這個結(jié)果在公共衛(wèi)生領(lǐng)域意義重大。它為吸煙是肺癌重要危險因素提供了強有力的統(tǒng)計學(xué)證據(jù)?；谶@個結(jié)果，可以制定更有效的控?zé)熣?，提醒公眾吸煙的危害。但是，在實際應(yīng)用和解讀時，必須牢記前面提到的局限性。不能因為這個模型擬合得很好，就完全依賴它來做所有預(yù)測。要意識到樣本量小的風(fēng)險，要考慮其他可能的影響因素，要警惕過度外推的可能性。最好能結(jié)合其他研究方法（比如隊列研究、病例對照研究）和專業(yè)知識，綜合評估吸煙與肺癌的關(guān)系。這個分析結(jié)果是個很好的起點，但不是終點，需要更全面地看待問題。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為第一類錯誤，也稱為“棄真錯誤”。這是我們在設(shè)定顯著性水平時就決定要承擔(dān)的風(fēng)險。2.A解析：樣本量的大小直接影響樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤，樣本量越小，標(biāo)準(zhǔn)誤會越大，這意味著均值估計的變異性更大，我們越難區(qū)分真實的均值差異和由抽樣誤差引起的差異，從而檢驗效力降低，即正確拒絕錯誤原假設(shè)的能力下降。3.B解析：當(dāng)樣本量較大（如n>30）時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，即使原始數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。因此，即使原始數(shù)據(jù)分布未知或不正態(tài)，單樣本t檢驗仍然可以使用，因為t統(tǒng)計量會趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，檢驗結(jié)果仍然有效。4.C解析：當(dāng)進行雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，使用Welch'st檢驗更為合適。Welch'st檢驗不要求兩組方差相等，它通過一個穩(wěn)健的公式來估計共同方差，從而得到更準(zhǔn)確的檢驗結(jié)果。5.A解析：在卡方檢驗中，如果期望頻數(shù)過低（通常指小于5），會導(dǎo)致卡方統(tǒng)計量的值不穩(wěn)定，容易受到抽樣誤差的影響，從而使得檢驗結(jié)果不可靠。此時，可以考慮使用費舍爾精確檢驗或其他非參數(shù)檢驗方法。6.A解析：在方差分析中，如果假設(shè)被拒絕，說明至少有一個組別的均值與其他組別存在顯著差異。但這并不意味著所有組別的均值都與其他組別有顯著差異，可能只有部分組別之間存在差異。7.B解析：如果自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系，線性回歸模型的擬合效果會不好，預(yù)測能力也會下降。此時，可以考慮使用多項式回歸、指數(shù)回歸或其他非線性回歸模型來更好地捕捉變量之間的關(guān)系。8.C解析：如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為1，說明這兩個變量之間存在完全線性關(guān)系，即一個變量的變化可以完美地由另一個變量線性預(yù)測。9.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不一致，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)。10.B解析：在假設(shè)檢驗中，如果p值大于顯著性水平α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)沒有顯著差異，沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)，因此原假設(shè)被接受。11.B解析：在單樣本t檢驗中，如果樣本均值與總體均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明這種差異在統(tǒng)計上并不顯著，可能是由于抽樣誤差導(dǎo)致的，因此我們不能拒絕原假設(shè)。12.B解析：在雙樣本t檢驗中，如果兩個樣本的均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明這種差異在統(tǒng)計上并不顯著，可能是由于抽樣誤差或樣本量不足導(dǎo)致的，因此我們不能拒絕原假設(shè)。13.A解析：在卡方檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，說明期望頻數(shù)與觀測頻數(shù)之間存在顯著差異，即實際觀測結(jié)果與理論預(yù)期不符。14.A解析：在方差分析中，如果p值小于顯著性水平α，說明至少有一個組別的均值與其他組別有顯著差異，即組間差異超過了隨機誤差的范圍。15.B解析：在回歸分析中，如果回歸系數(shù)為負，說明自變量與因變量之間存在負相關(guān)關(guān)系，即自變量增加時，因變量傾向于減少。16.C解析：在相關(guān)分析中，如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為0，說明這兩個變量之間不存在線性關(guān)系，即一個變量的變化不能由另一個變量線性預(yù)測。17.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果顯著性水平α設(shè)定得太高，意味著我們更容易接受原假設(shè)，因此第一類錯誤（棄真錯誤）的概率增加。18.B解析：在假設(shè)檢驗中，如果顯著性水平α設(shè)定得太低，意味著我們更難接受原假設(shè)，因此第二類錯誤（取偽錯誤）的概率增加。19.B解析：在單樣本t檢驗中，如果樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，但樣本量較大（如n>30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，因此t檢驗仍然可以使用，檢驗結(jié)果仍然有效。20.C解析：在雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，使用Welch'st檢驗更為合適。Welch'st檢驗不要求兩組方差相等，它通過一個穩(wěn)健的公式來估計共同方差，從而得到更準(zhǔn)確的檢驗結(jié)果。二、簡答題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗的基本步驟包括：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇顯著性水平α；確定檢驗統(tǒng)計量；計算檢驗統(tǒng)計量的值；根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和臨界值做出統(tǒng)計決策；根據(jù)統(tǒng)計決策解釋結(jié)果的實際意義。解析：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)是假設(shè)檢驗的第一步，原假設(shè)通常是研究者想要挑戰(zhàn)的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要支持的假設(shè)。選擇顯著性水平α是確定我們愿意承擔(dān)的第一類錯誤（棄真錯誤）的概率。確定檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)研究問題和數(shù)據(jù)類型選擇合適的統(tǒng)計量，如t統(tǒng)計量、卡方統(tǒng)計量等。計算檢驗統(tǒng)計量的值是將樣本數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計量公式得到的數(shù)值。根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和臨界值做出統(tǒng)計決策，如果檢驗統(tǒng)計量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)；如果檢驗統(tǒng)計量的值落在接受域內(nèi)，則不能拒絕原假設(shè)。根據(jù)統(tǒng)計決策解釋結(jié)果的實際意義，說明檢驗結(jié)果對研究問題的回答。2.答案：第一類錯誤是指在原假設(shè)為真的情況下，檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，也稱為“棄真錯誤”。第二類錯誤是指在原假設(shè)為假的情況下，檢驗結(jié)果卻接受了原假設(shè)，也稱為“取偽錯誤”。這兩類錯誤是相互排斥的，即如果犯了一個錯誤，就不可能犯另一個錯誤。它們之間的關(guān)系是：顯著性水平α是犯第一類錯誤的概率，1-β是犯第二類錯誤的概率，其中β是第二類錯誤的概率。通常情況下，我們通過控制α的大小來間接控制犯第一類錯誤的概率，但α減小會導(dǎo)致β增大，反之亦然。因此，在假設(shè)檢驗中，我們需要根據(jù)研究問題和實際情況來平衡兩類錯誤。3.答案：在假設(shè)檢驗中，需要設(shè)定顯著性水平α，因為它是我們愿意承擔(dān)的第一類錯誤（棄真錯誤）的概率。設(shè)定顯著性水平α的意義在于，它提供了一個標(biāo)準(zhǔn)，用于判斷檢驗結(jié)果是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。如果p值小于α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不一致，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)；如果p值大于α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)沒有顯著差異，沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)。通過設(shè)定顯著性水平α，我們可以控制犯第一類錯誤的概率，從而保證檢驗結(jié)果的可靠性。4.答案：單樣本t檢驗是用于檢驗一個樣本的均值與某個已知總體均值是否存在顯著差異的假設(shè)檢驗方法。它適用于樣本量較?。ㄍǔＰ∮?0）且總體方差未知的情況。雙樣本t檢驗是用于檢驗兩個獨立樣本的均值是否存在顯著差異的假設(shè)檢驗方法。它適用于兩個樣本量都較?。ㄍǔＰ∮?0）且兩個總體方差未知的情況。兩者的主要區(qū)別在于研究對象的多少和樣本的獨立性。單樣本t檢驗只涉及一個樣本，而雙樣本t檢驗涉及兩個樣本。此外，單樣本t檢驗要求樣本來自的總體服從正態(tài)分布，而雙樣本t檢驗對樣本的分布沒有特定要求。5.答案：在進行回歸分析時，判斷回歸模型是否合適，需要綜合考慮多個方面。首先，要檢查模型的擬合優(yōu)度，如R平方和調(diào)整后的R平方，它們反映了模型對數(shù)據(jù)變異的解釋程度。其次，要檢驗回歸系數(shù)的顯著性，即檢驗每個自變量對因變量的影響是否顯著。這通常通過t檢驗或F檢驗來完成。如果某個自變量的系數(shù)不顯著，說明它對因變量的影響在統(tǒng)計上并不重要。此外，還要檢查模型的殘差，即實際值與預(yù)測值之差。殘差應(yīng)該滿足正態(tài)分布、方差恒定、與自變量無關(guān)等假設(shè)?？梢酝ㄟ^殘差圖、Q-Q圖等進行檢查。最后，要考慮模型的解釋力和預(yù)測力。模型應(yīng)該能夠解釋因變量的主要變異，并且能夠?qū)π碌臄?shù)據(jù)進行準(zhǔn)確的預(yù)測。如果模型只包含了重要的自變量，并且擬合得很好，那么模型就可能是合適的。但是，如果模型包含了太多不重要的自變量，或者擬合得不好，那么模型可能就不合適。三、論述題答案及解析1.答案：當(dāng)樣本量較小時，比如那個15人的班級，數(shù)據(jù)波動可能會比較大，均值估計的穩(wěn)定性就不如樣本量大的班級。這就像我們用三個雞蛋和三十個雞蛋去稱重，三十個雞蛋的重量讀數(shù)肯定更準(zhǔn)一些，對吧？所以，當(dāng)樣本量較小時，t統(tǒng)計量的值可能會更容易受到極端值的影響，檢驗的效力——也就是我們正確拒絕錯誤原假設(shè)的能力——可能會下降。這意味著，即使兩個班級的真正成績確實有差異，我們可能因為樣本量太小而檢測不出來。另一方面，樣本量大的班級，數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定，均值估計得也準(zhǔn)，這會使得t統(tǒng)計量更可靠。大的樣本量通常能提供更強的證據(jù)來支持或反對原假設(shè)。但是，樣本量過大也有可能檢測出一些微不足道的差異，也就是所謂的“假陽性”風(fēng)險增加，雖然我們通過設(shè)定顯著性水平α來控制這個風(fēng)險。在比較兩個班級時，如果樣本量差異懸殊，可能會出現(xiàn)一種情況，就是較大樣本量的班級幾乎總是能提供統(tǒng)計上的顯著結(jié)果，即使差異非常小。這可能會讓結(jié)果顯得過于“顯著”，而忽略了差異的實際意義?；貧w系數(shù)的意義就是每增加一個單位的煙草攝入量（包/年），肺癌發(fā)病率會平均增加6.5每10萬人。這個系數(shù)是正的，符合我們的一般認知，就是吸煙越多，肺癌風(fēng)險越高。6.5的數(shù)值大小，也反映了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間的強度，看起來關(guān)聯(lián)挺強的。評價模型的整體擬合優(yōu)度。看R平方和調(diào)整后的R平方。R平方是0.98，調(diào)整后的R平方是0.97。這兩個數(shù)值都非常高，接近1。R平方=0.98說明模型解釋了肺癌發(fā)病率變異的98%，擬合得非常好。調(diào)整后的R平方=0.97也很高，說明即使考慮了自變量數(shù)量，模型依然解釋了97%的變異。這說明煙草攝入量這個自變量，幾乎能完全解釋肺癌發(fā)病率的變化，模型擬合得非常緊密。散點圖看起來也像是一條非常陡峭的直線，所以R平方高是符合直觀的。檢驗回歸系數(shù)的顯著性?？磘檢驗的p值，小于0.001。這個p值非常小，遠小于我們通常用的顯著性水平α=0.05。這意味著，回歸系數(shù)6.5顯著不為0的可能性非常非常小。換句話說，煙草攝入量與肺癌發(fā)病率之間有統(tǒng)計學(xué)上顯著的線性關(guān)系。p值小于0.001，說明這種關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計上是極其顯著的，幾乎不可能是偶然發(fā)生的。所以，我們可以非常有信心地說，煙草攝入量對肺癌發(fā)病率有顯著的預(yù)測作用。指出該分析中可能存在的潛在問題或局限性。盡管模型看起來很完美，但實際分析中要小心。第一個，也是最關(guān)鍵的，是數(shù)據(jù)來源和代表性。這些數(shù)據(jù)是虛擬的，但如果是真實數(shù)據(jù)，要考慮它們是否來自一個有代表性的大樣本人群。樣本量是多少？9個數(shù)據(jù)點，樣本量太小了，線性回歸對樣本量是有要求的，樣本量小，模型的穩(wěn)定性和外推性會受影響。第二個，是線性關(guān)系假設(shè)。R平方和系數(shù)的意義都基于線性關(guān)系。我們看看散點圖，數(shù)據(jù)點確實很接近一條直線，但有沒有可能存在輕微的非線性關(guān)系呢？如果存在，用線性模型可能就不夠準(zhǔn)確了。第三個，是因果關(guān)系問題。統(tǒng)計顯著不等于因果關(guān)系。雖然這個例子中我們有很強的理論依據(jù)相信吸煙導(dǎo)致肺癌，但統(tǒng)計模型本身只能揭示變量間的關(guān)聯(lián)性。第四個，是遺漏變量偏差。模型只包含了煙草攝入量一個自變量，但肺癌發(fā)病率還可能受年齡、性別、遺傳、空氣污染、職業(yè)暴露等多種因素影響。如果這些因素被忽略了，它們的影響可能會“泄露”到煙草攝入量的系數(shù)中，導(dǎo)致系數(shù)估計不準(zhǔn)確。第五個，是數(shù)據(jù)分布假設(shè)。線性回歸還假設(shè)殘差（實際值和預(yù)測值之差）是近似正態(tài)分布的，方差恒定（同方差性）。我們沒看到殘差圖，但樣本量小的時候，很難準(zhǔn)確判斷這些假設(shè)是否滿足?；谀愕姆治?，對該回歸分析結(jié)果做出整體評價，并說明其在實際應(yīng)用中的意義和需要注意的事項?？偟膩碚f，這個虛擬的回歸分析結(jié)果看起來很“理想”：模型擬合極好（R2adj=0.97），系數(shù)非常顯著（p<0.001），系數(shù)本身也有明確的解釋意義（每增加一包/年，發(fā)病率增加6.5/10萬）。它清晰地揭示了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間強烈的正線性關(guān)系。如果這是真實數(shù)據(jù)，并且研究設(shè)計合理，這個結(jié)果在公共衛(wèi)生領(lǐng)域意義重大。它為吸煙是肺癌重要危險因素提供了強有力的統(tǒng)計學(xué)證據(jù)。基于這個結(jié)果，可以制定更有效的控?zé)熣?，提醒公眾吸煙的危害。但是，在實際應(yīng)用和解讀時，必須牢記前面提到的局限性。不能因為這個模型擬合得很好，就完全依賴它來做所有預(yù)測。要意識到樣本量小的風(fēng)險，要考慮其他可能的影響因素，要警惕過度外推的可能性。最好能結(jié)合其他研究方法（比如隊列研究、病例對照研究）和專業(yè)知識，綜合評估吸煙與肺癌的關(guān)系。這個分析結(jié)果是個很好的起點，但不是終點，需要更全面地看待問題。四、計算題答案及解析1.答案：（1）服藥前后收縮壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：服藥前：均值160，標(biāo)準(zhǔn)差約5.387；服藥后：均值155，標(biāo)準(zhǔn)差約4.549。（2）配對差值（服藥后收縮壓-服藥前收縮壓）及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差：差值均值-4.5，標(biāo)準(zhǔn)差約5.708。（3）檢驗的t統(tǒng)計量值：-4.316。（4）檢驗的臨界值：-1.699。（5）統(tǒng)計決策：拒絕原假設(shè)。（6）對降壓藥的效果初步評價：該降壓藥顯著降低了患者的收縮壓。解析：（1）計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差。服藥前收縮壓均值是4800/30=160，標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(840/29)≈5.387。服藥后收縮壓均值是4650/30=155，標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(600/29)≈4.549。（2）計算配對差值及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。差值d=y-x，計算所有差值，均值d?=Σd/30=-135/30=-4.5。標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(945/29)≈5.708。（3）計算t統(tǒng)計量值。t=d?/(s_d/sqrt(n))=-4.5/(5.708/sqrt(30))≈-4.316。（4）查t分布表。df=n-1=29，α=0.05，單側(cè)檢驗，臨界值t0.05,29≈-1.699。（5）因為t統(tǒng)計量值-4.316小于臨界值-1.699，所以拒絕原假設(shè)H0。（6）分析結(jié)果評價。t檢驗的結(jié)果是支持該降壓藥具有顯著降壓效果的。差值的均值是-4.5mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差是約5.708mmHg，雖然均值是負的，但標(biāo)準(zhǔn)差也不小，說明降壓效果可能有個體差異，不是所有患者降得都一樣多。但總的來說，統(tǒng)計檢驗的結(jié)果是支持該降壓藥具有顯著降壓效果的。這是一個好消息，當(dāng)然，最終用藥還得結(jié)合更多因素考慮。2.答案：（1）服藥前后收縮壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：服藥前：均值160，標(biāo)準(zhǔn)差約5.387；服藥后：均值155，標(biāo)準(zhǔn)差約4.549。（2）配對差值（服藥后收縮壓-服藥前收縮壓）及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差：差值均值-4.5，標(biāo)準(zhǔn)差約5.708。（3）檢驗的t統(tǒng)計量值：-4.316。（4）檢驗的臨界值：-1.699。（5）統(tǒng)計決策：拒絕原假設(shè)。（6）對降壓藥的效果初步評價：該降壓藥顯著降低了患者的收縮壓。解析：（1）計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差。服藥前收縮壓均值是4800/30=160，標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(840/29)≈5.387。服藥后收縮壓均值是4650/30=155，標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(600/29)≈4.549。（2）計算配對差值及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。差值d=y-x，計算所有差值，均值d?=Σd/30=-135/30=-4.5。標(biāo)準(zhǔn)差sqrt(945/29)≈5.708。（3）計算t統(tǒng)計量值。t=d?/(s_d/sqrt(n))=-4.5/(5.708/sqrt(30))≈-4.316。（4）查t分布表。df=n-1=29，α=0.05，單側(cè)檢驗，臨界值t0.05,29≈-1.699。（5）因為t統(tǒng)計量值-4.316小于臨界值-1.699，所以拒絕原假設(shè)H0。（6）分析結(jié)果評價。t檢驗的結(jié)果是支持該降壓藥具有顯著降壓效果的。差值的均值是-4.5mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差是約5.708mmHg，雖然均值是負的，但標(biāo)準(zhǔn)差也不小，說明降壓效果可能有個體差異，不是所有患者降得都一樣多。但總的來說，統(tǒng)計檢驗的結(jié)果是支持該降壓藥具有顯著降壓效果的。這是一個好消息，當(dāng)然，最終用藥還得結(jié)合更多因素考慮。五、分析題答案及解析1.答案：（1）回歸方程中系數(shù)的意義：系數(shù)6.5代表煙草攝入量每增加一包/年，肺癌發(fā)病率平均增加6.5每10萬人。這個系數(shù)是正的，符合我們的一般認知，就是吸煙越多，肺癌風(fēng)險越高。6.5的數(shù)值大小，也反映了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間的強度，看起來關(guān)聯(lián)挺強的。（2）模型的整體擬合優(yōu)度：R平方和調(diào)整后的R平方。R平方是0.98，調(diào)整后的R平方是0.97。這兩個數(shù)值都非常高，接近1。R平方=0.98說明模型解釋了肺癌發(fā)病率變異的98%，擬合得非常好。調(diào)整后的R平方=0.97也很高，說明即使考慮了自變量數(shù)量，模型依然解釋了97%的變異。這說明煙草攝入量這個自變量，幾乎能完全解釋肺癌發(fā)病率的變化，模型擬合得非常緊密。散點圖看起來也像是一條非常陡峭的直線，所以R平方高是符合直觀的。（3）檢驗回歸系數(shù)的顯著性：看t檢驗的p值，小于0.001。這個p值非常小，遠小于我們通常用的顯著性水平α=0.05。這意味著，回歸系數(shù)6.5顯著不為0的可能性非常非常小。換句話說，煙草攝入量與肺癌發(fā)病率之間有統(tǒng)計學(xué)上顯著的線性關(guān)系。p值小于0.001，說明這種關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計上是極其顯著的，幾乎不可能是偶然發(fā)生的。所以，我們可以非常有信心地說，煙草攝入量對肺癌發(fā)病率有顯著的預(yù)測作用。（4）分析中可能存在的潛在問題或局限性：第一個，也是最關(guān)鍵的，是數(shù)據(jù)來源和代表性。這些數(shù)據(jù)是虛擬的，但如果是真實數(shù)據(jù)，要考慮它們是否來自一個有代表性的大樣本人群。樣本量是多少？9個數(shù)據(jù)點，樣本量太小了，線性回歸對樣本量是有要求的，樣本量小，模型的穩(wěn)定性和外推性會受影響。第二個，是線性關(guān)系假設(shè)。R平方和系數(shù)的意義都基于線性關(guān)系。我們看看散點圖，數(shù)據(jù)點確實很接近一條直線，但有沒有可能存在輕微的非線性關(guān)系呢？如果存在，用線性模型可能就不夠準(zhǔn)確了。第三個，是因果關(guān)系問題。統(tǒng)計顯著不等于因果關(guān)系。雖然這個例子中我們有很強的理論依據(jù)相信吸煙導(dǎo)致肺癌，但統(tǒng)計模型本身只能揭示變量間的關(guān)聯(lián)性。第四個，是遺漏變量偏差。模型只包含了煙草攝入量一個自變量，但肺癌發(fā)病率還可能受年齡、性別、遺傳、空氣污染、職業(yè)暴露等多種因素影響。如果這些因素被忽略了，它們的影響可能會“泄露”到煙草攝入量的系數(shù)中，導(dǎo)致系數(shù)估計不準(zhǔn)確。第五個，是數(shù)據(jù)分布假設(shè)。線性回歸還假設(shè)殘差（實際值和預(yù)測值之差）是近似正態(tài)分布的，方差恒定（同方差性）。我們沒看到殘差圖，但樣本量小的時候，很難準(zhǔn)確判斷這些假設(shè)是否滿足。（5）整體評價和實際意義：總的來說，這個虛擬的回歸分析結(jié)果看起來很“理想”：模型擬合極好（R2adj=0.97），系數(shù)非常顯著（p<0.001），系數(shù)本身也有明確的解釋意義（每增加一包/年，發(fā)病率增加6.5/10萬）。它清晰地揭示了煙草攝入量和肺癌發(fā)病率之間強烈的正線性關(guān)系。如果這是真實數(shù)據(jù)，并且研究設(shè)計合理，這個結(jié)果在公共衛(wèi)生領(lǐng)域意義重大。它為吸煙是肺癌重要危險因素提供了強有力的統(tǒng)計學(xué)證據(jù)?；谶@個結(jié)果，可以制定更有效的控?zé)熣?，提醒公眾吸煙的危害。但是，在實際應(yīng)用和解讀時，必須牢記前面提到的局限性。不能因為這個模型擬合得很好，就完全依賴它來做所有預(yù)測。要意識到樣本量小的風(fēng)險，要考慮其他可能的影響因素，要警惕過度外推的可能性。最好能結(jié)合其他研究方法（比如隊列研究、病例對照研究）和專業(yè)知識，綜合評估吸煙與肺癌的關(guān)系。這個分析結(jié)果是個很好的起點，但不是終點，需要更全面地看待問題。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種情況稱為第一類錯誤，也稱為“棄真錯誤”。這是我們在設(shè)定顯著性水平時就決定要承擔(dān)的風(fēng)險。2.A解析：樣本量越小，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤會越大，這意味著均值估計的變異性更大，我們越難區(qū)分真實的均值差異和由抽樣誤差引起的差異，從而檢驗效力降低，即正確拒絕錯誤原假設(shè)的能力下降。3.B解析：當(dāng)樣本量較大（如n>30）時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，即使原始數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。因此，即使原始數(shù)據(jù)分布未知或不正態(tài)，單樣本t檢驗仍然可以使用，因為t統(tǒng)計量會趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，檢驗結(jié)果仍然有效。4.C解析：當(dāng)進行雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，使用Welch'st檢驗更為合適。Welch'st檢驗不要求兩組方差相等，它通過一個穩(wěn)健的公式來估計共同方差，從而得到更準(zhǔn)確的檢驗結(jié)果。5.A解析：在卡方檢驗中，如果期望頻數(shù)過低（通常指小于5），會導(dǎo)致卡方統(tǒng)計量的值不穩(wěn)定，容易受到抽樣誤差的影響，從而使得檢驗結(jié)果不可靠。此時，可以考慮使用費舍爾精確檢驗或其他非參數(shù)檢驗方法。6.A解析：在方差分析中，如果假設(shè)被拒絕，說明至少有一個組別的均值與其他組別存在顯著差異。但這并不意味著所有組別的均值都與其他組別有顯著差異，可能只有部分組別之間存在差異。7.B解析：如果自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系，線性回歸模型的擬合效果會不好，預(yù)測能力也會下降。此時，可以考慮使用多項式回歸、指數(shù)回歸或其他非線性回歸模型來更好地捕捉變量之間的關(guān)系。8.C解析：如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為1，說明這兩個變量之間存在完全線性關(guān)系，即一個變量的變化可以完美地由另一個變量線性預(yù)測。9.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不一致，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)。10.B解析：在假設(shè)檢驗中，如果p值大于顯著性水平α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)沒有顯著差異，沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)，因此原假設(shè)被接受。11.B解析：在單樣本t檢驗中，如果樣本均值與總體均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明這種差異在統(tǒng)計上并不顯著，可能是由于抽樣誤差導(dǎo)致的，因此我們不能拒絕原假設(shè)。12.B解析：在雙樣本t檢驗中，如果兩個樣本的均值差異很大，但p值卻大于顯著性水平α，說明這種差異在統(tǒng)計上并不顯著，可能是由于樣本量不足或者抽樣誤差較大，因此我們不能拒絕原假設(shè)。13.A解析：在卡方檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，說明期望頻數(shù)與觀測頻數(shù)之間存在顯著差異，即實際觀測結(jié)果與理論預(yù)期不符。14.A解析：在方差分析中，如果p值小于顯著性水平α，說明至少有一個組別的均值與其他組別有顯著差異，即組間差異超過了隨機誤差的范圍。15.B解析：在回歸分析中，如果回歸系數(shù)為負，說明自變量與因變量之間存在負相關(guān)關(guān)系，即自變量增加時，因變量傾向于減少。16.C解析：在相關(guān)分析中，如果兩個變量的相關(guān)系數(shù)為0，說明這兩個變量之間不存在線性關(guān)系，即一個變量的變化不能由另一個變量線性預(yù)測。17.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果顯著性水平α設(shè)定得太高，意味著我們更容易接受原假設(shè)，因此第一類錯誤（棄真錯誤）的概率增加。18.B解析：在假設(shè)檢驗中，如果顯著性水平α設(shè)定得太低，意味著我們更難接受原假設(shè)，因此第二類錯誤（取偽錯誤）的概率增加。19.B解示，如果樣本數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，但樣本量較大（如n>30），根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，因此t檢驗仍然可以使用，檢驗結(jié)果仍然有效。20.C解析：在雙樣本t檢驗時，如果兩個樣本的方差不等，使用Welch'st檢驗更為合適。Welch'st檢驗不要求兩組方差相等，它通過一個穩(wěn)健的公式來估計共同方差，從而得到更準(zhǔn)確的檢驗結(jié)果。二、簡答題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗的基本步驟包括：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇顯著性水平α；確定檢驗統(tǒng)計量；計算檢驗統(tǒng)計量的值；根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和臨界值做出統(tǒng)計決策；根據(jù)統(tǒng)計決策解釋結(jié)果的實際意義。解析：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)是假設(shè)檢驗的第一步，原假設(shè)通常是研究者想要挑戰(zhàn)的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要支持的假設(shè)。選擇顯著性水平α是確定我們愿意承擔(dān)的第一類錯誤（棄真錯誤）的概率。確定檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)研究問題和數(shù)據(jù)類型選擇合適的統(tǒng)計量，如t統(tǒng)計量、卡方統(tǒng)計量等。計算檢驗統(tǒng)計量的值是將樣本數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計量公式得到的數(shù)值。根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的值和臨界值做出統(tǒng)計決策，如果檢驗統(tǒng)計量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)；如果檢驗統(tǒng)計量的值落在接受域內(nèi)，則不能拒絕原假設(shè)。根據(jù)統(tǒng)計決策解釋結(jié)果的實際意義，說明檢驗結(jié)果對研究問題的回答。2.答案：第一類錯誤是指在原假設(shè)為真的情況下，檢驗結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，也稱為“棄真錯誤”。第二類錯誤是指在原假設(shè)為假的情況下，檢驗結(jié)果卻接受了原假設(shè)，也稱為“取偽錯誤”。這兩類錯誤是相互排斥的，即如果犯了一個錯誤，就不可能犯另一個錯誤。它們之間的關(guān)系是：顯著性水平α是犯第一類錯誤的概率，1-β是犯第二類錯誤的概率，其中β是第二類錯誤的概率。通常情況下，我們通過控制α的大小來間接控制犯第一類錯誤的概率，但α減小會導(dǎo)致β增大，反之亦然。因此，在假設(shè)檢驗中，我們需要根據(jù)研究問題和實際情況來平衡兩類錯誤。3.答案：在假設(shè)檢驗中，需要設(shè)定顯著性水平α，因為它是我們愿意承擔(dān)的第一類錯誤（棄真錯誤）的概率。設(shè)定顯著性水平α的意義在于，它提供了一個標(biāo)準(zhǔn)，用于判斷檢驗結(jié)果是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。如果p值小于α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)不一致，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)；如果p值大于α，說明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)沒有顯著差異，沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設(shè)。通過設(shè)定顯著性水平α，我們可以控制犯第一類錯誤的概率，從而保證檢驗結(jié)果的可靠性。4.答案：單樣本t檢驗是用于檢驗一個樣本的均值與某個已知總體均值是否存在顯著差異的假設(shè)檢驗方法。它適用于樣本量較?。ㄍǔＰ∮?0）且總體方差未知的情況。雙樣本t檢驗是用于檢驗兩個獨立樣本的均值是否存在顯著差異的假設(shè)檢驗方法。它適用于兩個樣本量都較?。ㄍǔＰ∮?0）且兩個總體方差未知的情況。兩者的主要區(qū)別在于研究對象的多少和樣本的獨立性。單樣本t檢驗只涉及一個樣本，而雙樣本t檢驗涉及兩個樣本。此外，單樣本t檢驗要求樣本來自的總體服從正態(tài)分布，而雙樣本t檢驗對樣本的分布沒有特定要求。5.答案：在進行回歸分析時，判斷回歸模型是否合適，需要綜合考慮多個方面。首先，要檢查模型的擬合優(yōu)度，如R平方和調(diào)整后的R平方，它們反映了模型對數(shù)據(jù)變異的解釋程度。其次，要檢驗回歸系