（新高考）2022屆高考考前沖刺卷數(shù)學（八）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵集合，集合，∴，故選B．2．已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為上的減函數(shù)，所以有，解得，故選A．3．若“，”是假命題，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為“，”是假命題，所以“，”是真命題，所以當時，成立；當時，則，解得，綜上：，所以a的取值范圍為，故選C．4．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過點A，B的直線為x軸，的方向為x軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點O為原點，建立平面直角坐標系．則，．設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．要使的面積最大，只需點P到AB（x軸）的距離最大時，此時面積為，故選C．5．如圖，空間四邊形中，，點M在上，且滿足，點N為的中點，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題圖，，而，，，所以，故選D．6．若函數(shù)的大致圖象如圖，則的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖可知函數(shù)定義域為，由此排除A；該函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足，對于B項：，故排除B；C和D均滿足，對于C：，當x→＋∞時，，故，∵增長的速率比增長的速率慢，∴，即圖象在x軸上方無限接近于x軸正半軸，與題意不符，故排除C；綜上，D選項正確，故選D．7．設(shè)是雙曲線的左右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，與另一條漸近線交于點，，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，分別為雙曲線的兩條漸近線，根據(jù)題意于，由的方程為，，所以，又，所以，由，所以，設(shè)交軸于，由，所以，所以，在中，，所以，所以，故選A．8．已知函數(shù)是偶函數(shù)．若將曲線向左平移個單位長度后，再向上平移個單位長度得到曲線，若關(guān)于的方程在有兩個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，解得，，則，則，向左平移個單位長度后，得到，向上平移個單位長度，得到，當時，，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性易知，在有兩個不相等實根，則且，此時，實數(shù)的取值范圍是，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某公司大力推進科技創(chuàng)新發(fā)展戰(zhàn)略，持續(xù)加大研發(fā)投入（單位：萬元），不斷提升公司的創(chuàng)新能力．2016年至2020年該公司的研發(fā)投入如下表所示：年份20162017201820192020年份編號x12345研發(fā)投入y/萬元5193m175211若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，則（）A．B．y與x正相關(guān)C．該公司平均每年增加研發(fā)投入約萬元D．預計2022年該公司的研發(fā)投入為萬元【答案】ABD【解析】因為，點在回歸直線上，，所以，故A正確；根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)及正相關(guān)的定義可知，y與x正相關(guān)，選項B正確；回歸直線方程的斜率即為該公司平均每年增加研發(fā)投入，為萬元，故C錯誤；因為2022年對應的年份編號為7，即，所以預計2022年該公司的研發(fā)投入為（萬元），D正確，故選ABD．10．已知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當或17時，取得最大值 D．【答案】BC【解析】因為，所以，兩式相減得，當時，適合上式，所以，因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，由，解得，且，所以當或17時，取得最大值，所以，故選BC．11．在中，點D滿足，當點E在線段AD上移動時，記，則（）A． B．C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】BD【解析】由，得，又點E在線段AD上移動，，，故A錯誤，B正確；，當時，有最小值，故C錯誤，D正確，故選BD．12．已知函數(shù)，若，且，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】當時，．設(shè)函數(shù)，則有，，，故是偶函數(shù)，且最小值為0．當時，，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，把的圖象向右平移一個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故可得到函數(shù)在上的圖象．又，故函數(shù)的圖象與軸的交點為．作平行于軸的直線，當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，數(shù)形結(jié)合可知，故A正確；由，得，又根據(jù)題意知，所以，即，即，所以，故B正確；令，則，，得，，因此，故C正確；又時，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D錯誤，故選ABC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．若，則_________．【答案】【解析】因為，所以，所以，故答案為．14．的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】330【解析】將看作對象甲，看作對象乙，1看作對象丙，則題設(shè)可轉(zhuǎn)化為將5個相同元素分給甲、乙、丙三個對象的問題，則要得到，則給甲1個元素，給乙1個元素，給丙3個元素，或給甲0個元素，給乙3個元素，給丙2個元素，即的系數(shù)為，故答案為330．15．在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_______．【答案】【解析】如圖，易知，，可得，又因為，所以，又，解得，，故，故答案為．16．如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進一個球形防護罩，則球形防護罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計）【答案】4，（或）【解析】∵ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，，∴△DAB為等邊三角形，，設(shè)E為BD的中點，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，，∴，設(shè)△DAB的中心為O，則OE⊥平面BCD，又E為BD的中點，△BCD為直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O為三棱錐的外接球的球心，又，故球形防護罩的表面積的最小值為．故答案為4，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前100項的和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）當時，，整理得，又，得，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，．（2）當時，，當時，，當時，，當時，，則．18．（12分）在中，角，，所對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）已知的平分線交于點，若的面積是面積的倍，且，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，又因為，且，所以，所以．（2）和中，由余弦定理得，，因為，且，所以，因為，又因為平分，所以，所以，，所以解得，，，，因為，所以，所以，即的面積為．19．（12分）如圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中點．（1）求證：AA1⊥BD；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因為C1C⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1．又AA1?平面ACC1A1，所以BD⊥AA1．（2）如圖，設(shè)AC交BD于點O，依題意，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四邊形A1OCC1為平行四邊形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1，所以A1O⊥底面ABCD．以O(shè)為原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz．則，由，得．因為E是棱BB1的中點，所以，所以，．設(shè)為平面EA1C1的法向量，則，取，得，取平面A1C1C的法向量，又由圖可知，二面角為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為θ，則，所以二面角的余弦值為．20．（12分）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．”為了進一步了解普通大眾對“碳中和”及相關(guān)舉措的認識，某機構(gòu)進行了一次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：小學生初高中生大學及大學以上在校生60歲以下的社會人士60歲及以上的社會人士不了解“碳中和”及相關(guān)措施4030805570了解“碳中和”及相關(guān)措施208015019085（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)？學生社會人士合計不了解“碳中和”及相關(guān)措施了解“碳中和”及相關(guān)措施合計附：，．k（2）經(jīng)調(diào)查后，有關(guān)部門決定加大力度宣傳“碳中和”及相關(guān)措施以便讓節(jié)能減排的想法深入人心．經(jīng)過一段時間后，計劃先隨機從社會上選10人進行調(diào)查，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定后續(xù)的相關(guān)舉措．設(shè)宣傳后不了解“碳中和”的人概率都為，每個被調(diào)查的人之間相互獨立．①記10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率為，求的最大值點；②現(xiàn)對以上的10人進行有獎答題，以①中確定的作為答錯的概率p的值．已知回答正確給價值a元的禮品，回答錯誤給價值b元的禮品，要準備的禮品大致為多少元？（用a，b表示即可）【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)；（2）①；②．【解析】（1）由題中表格數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如下：學生社會人士合計不了解“碳中和”及相關(guān)措施150125275了解“碳中和”及相關(guān)措施250275525合計400400800根據(jù)列聯(lián)表得，故沒有95%的把握認為“是否了解‘碳中和’及相關(guān)措施”與“學生”身份有關(guān)．（2）①由題得，，∴．令，得，當時，；當時，，∴當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，∴的最大值點．②本題求要準備的禮品大致為多少元，即求10個人禮品價值X的數(shù)學期望．由①知答錯的概率為，則，故要準備的禮品大致為元．21．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的左、右頂點分別A，B，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，且，．（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C存在一動點M，連接OM，過點F作直線交橢圓C于P，Q兩點，求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）根據(jù)題意可知，，．∵，，∴，解得，則，∴橢圓C的方程為．（2）由（1）得．易知直線l的斜率不為0，則可設(shè)直線l的方程為，，，，∴直線OM的方程為．則，，則．∵，，∴．（聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的值，代入）由，得，，則，，，（聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程，求出）由，得，∴，∴，∵，∴為定值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見