第08講函數(shù)與方程(精講）目錄TOC\o"12"\h\u第08講函數(shù)與方程(精講） 1第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 21、函數(shù)的零點(diǎn) 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 3高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 5高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù) 6高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系 7高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和 8高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù) 9高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn) 10第四部分：新文化（定義）題 11第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 12①函數(shù)與方程的思想 12②數(shù)形結(jié)合的思想 13③分類討論的思想 14溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．5、高頻考點(diǎn)技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；③函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；④函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).第二部分：高考真題回歸1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·浙江衢州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知均為上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程有實(shí)數(shù)解的區(qū)間是（

）0123A． B． C． D．例題4．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

） B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的解在內(nèi)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（

）123456A．在區(qū)間上不一定單調(diào)B．在區(qū)間內(nèi)可能存在零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點(diǎn)D．至少有個(gè)零點(diǎn)高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典型例題例題1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例題4．（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.練透核心考點(diǎn)1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·北京大興·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程，且有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是_______．例題4．（2023秋·四川成都·高一中和中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（且）是奇函數(shù)，且.(1)求，的值及的定義域；(2)設(shè)函數(shù)有零點(diǎn)，求常數(shù)的取值范圍；練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的可能取值為（

）．A． B． C．4 D．62．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且是方程的兩實(shí)數(shù)根，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（

）．A． B．C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為、、，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，且m，n是方程的兩個(gè)根（m＜n），則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a(chǎn)＜m＜b＜n3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，（），則函數(shù)所有零點(diǎn)的和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____.例題4．（2023春·河北衡水·高一校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為，則的取值范圍是__________.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．62．（多選）（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍是 B．C． D．3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________．4．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，，則______．高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．例題4．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，且，則__________.練透核心考點(diǎn)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若關(guān)于的方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)，，則______．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是______．高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰谟枚址ㄇ蠛瘮?shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，若某一步將零點(diǎn)所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點(diǎn)位于區(qū)間（

）A． B．C． D．例題3．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）某同學(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

） B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．2．（多選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，經(jīng)過(guò)兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為_(kāi)__________.第四部分：新文化（定義）題1．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）.A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中學(xué)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問(wèn)題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為10尺，則在第（

）天墻才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達(dá)110個(gè)，為數(shù)學(xué)家中之最．對(duì)于高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，表示實(shí)數(shù)的非負(fù)純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是___________．5．（2022秋·山東·高一統(tǒng)考期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：，．①若函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_____；②若函數(shù)，則方程所有的解為_(kāi)_____．第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①函數(shù)與方程的思想1．（2023秋·河北石家莊·高一石家莊一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)與的零點(diǎn)分別為a，b，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若直線與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2020秋·安徽合肥·高三長(zhǎng)豐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若正實(shí)數(shù)是方程的根，則___________．②數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的方程有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則____