2.5.2圓與圓的位置關(guān)系人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章

直線和圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)了解圓與圓的位置關(guān)系01掌握圓與圓的位置關(guān)系的判定方法02能利用圓與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題03知識引入如圖，兩個大小不同的圓之間，存在哪些位置關(guān)系？RO1rO2rRO1O2rRO1O2RO1O2rRO1O2rRO1O2rrRO1O2兩圓相離(外離)兩圓相切(外切)兩圓相交兩圓相切(內(nèi)切)兩圓相離(內(nèi)含)兩圓相離(內(nèi)含)知識引入位置關(guān)系公共點個數(shù)連心線|O1O2|

長外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含無一個rRO1O2rRO1O2RO1O2rRO1O2rRO1O2rrRO1O2兩個|O1O2|＞R＋r|O1O2|＝R＋r|R－r|＜|O1O2|＜R＋r|O1O2|＝|R－r|0

≤

|O1O2|＜|R－r|(同心圓：|O1O2|＝0)一個無探索新知

思

考類比運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系.因為兩個圓的交點坐標(biāo)就是兩個圓的方程的公共解，所以我們可以根據(jù)兩個圓的方程的公共解的個數(shù)判斷它們之間的關(guān)系.具體情形如下：兩圓相交?有兩組公共解；兩圓相切?有一組公共解；兩圓相離?沒有公共解.另外，根據(jù)圓的方程可以求得圓心和半徑，也可以根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系判斷兩圓之間的位置關(guān)系.典型例題例5已知圓

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓

C1與圓

C2的位置關(guān)系．分析：思路

1：圓

C1與圓

C2的位置關(guān)系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數(shù)解確定；思路

2：借助圖形，可以依據(jù)圓心距與兩半徑的和

r1＋r2或兩半徑的差的絕對值

|r1－r2|的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系．典型例題

本題只要判斷圓

C1與圓

C2是否有公共點，并不需求出公共點的坐標(biāo)，因此不必解方程④，具體求出兩個實數(shù)根.探索新知思考：畫出圓

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0①

和圓

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0②以及方程x＋2y－1＝0③

表示的直線，說說有什么發(fā)現(xiàn)？因為有方程①②組成的方程組的解(x，y)必定滿足方程③；而方程組有兩組實數(shù)解，即兩圓C1、C2有兩個公共點A、B，這兩個公共點必在方程③確定的直線上；又因為兩點確定一條直線，因此方程③表示的直線就是兩圓公共弦所在的直線.B

AxyOC1C2探索新知兩圓的公共弦問題：(1)若圓

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為

(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．典型例題

探索新知

思

考在解法1中，如果兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的Δ＝0，它說明什么？你能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)切還是外切嗎？如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切呢？當(dāng)Δ＜0時，兩圓是什么位置關(guān)系？當(dāng)Δ＝0時，方程組只有一組解，此時兩圓相切，但不能確定兩圓是內(nèi)切還是外切.若較小圓的圓心在另一個圓內(nèi)，則兩圓內(nèi)切；否則，兩圓外切.當(dāng)Δ＜0時，方程組沒有解，此時兩圓相離，但不能確定兩圓是外離還是內(nèi)含.若較小圓的圓心在另一個圓內(nèi)，則兩圓內(nèi)含；否則，兩圓外離.典型例題

分析：我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動點

M的軌跡方程，從而得到點

M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓

O方程的關(guān)系，判斷這個軌跡與圓

O的位置關(guān)系．解：如圖，以線段

AB的中點

O為原點，AB所在直線為

x軸，線段

AB的垂直平分線為

y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由

AB＝4，得

A(－2，0)，B(2，0)．xyMABO典型例題

探索新知

則點

M的軌跡方程可化為

(k2－1)x2＋(k2－1)y2－4(k2＋1)x＋4(k2－1)＝0.當(dāng)

k＝1時，方程化為

x＝0，其軌跡為

AB的垂直平分線，與圓

O相交；當(dāng)

k≠1時，方程化為

，其軌跡為以

為圓心，半徑為

的圓，此圓與圓

O相交.

當(dāng)