第1頁（共1頁）2020年04月11日278925的初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題（共1小題）1．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、AD、CD上，EG與BF交于點(diǎn)I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，則DI的最小值等于（）A．+3 B．2﹣2 C．2﹣ D．2+3二．填空題（共2小題）2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足CE2﹣AE2＝2BE2，則點(diǎn)E在運(yùn)動過程中所形成的圖形的長為．3．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2．若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為．三．解答題（共5小題）4．如圖，拋物線y＝x2+mx+n與直線y＝﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)最少？5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PA的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠AQM＝45°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．問題提出（1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形．問題探究（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝米，∠EHG＝45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．7．如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．（1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為；（2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請你求出△BNC周長的最小值；（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．8．問題探究（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD＝6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF＝90°，求此時(shí)BQ的長；問題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．

2020年04月11日278925的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）1．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、AD、CD上，EG與BF交于點(diǎn)I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，則DI的最小值等于（）A．+3 B．2﹣2 C．2﹣ D．2+3【分析】過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)O，連接OI、OD，根據(jù)HL證明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再證明∠EPF＝90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OI＝BE，由OD﹣OI≤DI，當(dāng)O、D、I共線時(shí)，DI有最小值，即可求DI的最小值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)O，連接OI、OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四邊形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI＝BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴當(dāng)O、D、I共線時(shí)，DI有最小值，∵IO＝BE＝2，∴OD＝＝2，∴ID＝2﹣2，即DI的最小值為2﹣2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，在幾何證明中常利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的最值問題．二．填空題（共2小題）2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足CE2﹣AE2＝2BE2，則點(diǎn)E在運(yùn)動過程中所形成的圖形的長為π．【分析】如圖，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCF．首先證明∠AEB＝∠BFC＝135°，推出點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是弧AB，圓心角∠AOB＝90°，利用弧長公式求出的長即可解決問題．【解答】解：如圖，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCF．則△EBF是等腰直角三角形，EF＝BE，∵CE2﹣AE2＝2BE2，AE＝CF，∴CE2＝CF2+EF2，∴∠EFC＝90°，∵∠EFB＝45°，∴∠AEB＝∠BFC＝135°，∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是弧AB，圓心角∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴點(diǎn)E在運(yùn)動過程中所形成的圖形的長＝＝π【點(diǎn)評】本題考查軌跡，弧長公式，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2．若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠APC＝120°，當(dāng)PB⊥AC時(shí)，PB長度最小，設(shè)垂足為D，此時(shí)PA＝PC，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，求出PD＝AD?tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是，當(dāng)O、P、B共線時(shí)，PB長度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：此時(shí)PA＝PC，OB⊥AC，則AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD?tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）4．如圖，拋物線y＝x2+mx+n與直線y＝﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)最少？【分析】（Ⅰ）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用勾股定理逆定理判斷出三角形ABC是直角三角形，從而得到∠ACB＝90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA＝90°．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①當(dāng)∠PAQ＝∠CAB時(shí)，△PAQ∽△CAB．此時(shí)可證得△PGA∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG＝3PG＝3x．則有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ＝∠CBA時(shí)，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE＝EN，則點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中所用的時(shí)間可表示為+＝DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，從而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN＝D′E+EN最小．此時(shí)可證到四邊形OCD′N是矩形，從而有ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+3聯(lián)立，解得：或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．如圖1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA＝90°．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG＝x．∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①如圖2①，當(dāng)∠PAQ＝∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如圖2②，當(dāng)∠PAQ＝∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，則P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，①當(dāng)∠PAQ＝∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．②當(dāng)∠PAQ＝∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易證△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，∴或，設(shè)P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝AE，即AE＝EN，∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中所用的時(shí)間為+＝DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN＝D′E+EN最?。藭r(shí)，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四邊形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．對于y＝x2﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．方法二：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，DD′交AC于點(diǎn)M，顯然DE＝D′E，作D′N⊥y軸，垂足為N，交直線AC于點(diǎn)E，如圖4，在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝AE，即AE＝EN，∴當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l(xiāng)AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴KDM×KAC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M(jìn)為DD′的中點(diǎn)，∴D′（3，1），∵EY＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如圖，5，過A作射線AF∥x軸，過D作射線DF∥y軸，DF與AC交于點(diǎn)E．∵A（0，3），C（3，0），∴l(xiāng)AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE?sin45°＝．∴當(dāng)且僅當(dāng)AF⊥DF時(shí)，DE+EF取得最小值，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動中用時(shí)最少為：t＝+＝DE+EF，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入lAC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．【點(diǎn)評】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)，難度大，準(zhǔn)確分類是解決第（Ⅱ）（1）小題的關(guān)鍵，把點(diǎn)M運(yùn)動的總時(shí)間+轉(zhuǎn)化為DE+EN是解決第（Ⅱ）（2）小題的關(guān)鍵．5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PA的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠AQM＝45°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，B的坐標(biāo)為（4，﹣），將A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，因此拋物線的解析式y(tǒng)＝；（2）設(shè)D（m，），則E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，當(dāng)m＝2時(shí)，DE有最大值為2，此時(shí)D（2，），作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'D，與對稱軸交于點(diǎn)P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此時(shí)PD+PA最??；（3）作AH⊥對稱軸于點(diǎn)H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH＝MH＝2，H（1，2）因?yàn)椤螦QM＝45°，∠AHM＝90°，所以∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H，于是QH＝HA＝HM＝2設(shè)Q（0，t），則＝2，t＝2+或2﹣，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．【解答】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐標(biāo)為（4，﹣），將A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴拋物線的解析式y(tǒng)＝；（2）設(shè)D（m，），則E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE有最大值為2，此時(shí)D（2，），作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'D，與對稱軸交于點(diǎn)P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此時(shí)PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值為；（3）作AH⊥對稱軸于點(diǎn)H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵拋物線的解析式y(tǒng)＝，∴M（1，4），∵A（3，2），∴AH＝MH＝2，H（1，2）∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，∴∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H，∴QH＝HA＝HM＝2設(shè)Q（0，t），則＝2，t＝2+或2﹣∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．6．問題提出（1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形．問題探究（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝米，∠EHG＝45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．【分析】（1）作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接AD，CD，△ACD即為所求；（2）作E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，得到此時(shí)四邊形EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，于是得到AF′＝6，AE′＝8，求出E′F′＝10，EF＝2即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到1＝∠2，推出△AEF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BG，AE＝BF，設(shè)AF＝x，則AE＝BF＝3﹣x根據(jù)勾股定理列方程得到AF＝BG＝1，BF＝AE＝2，作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG＝90°，以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG＝45°的點(diǎn)H在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G＝45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，△ADC即為所求；（2）存在，理由：作E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，則F′G＝FG，E′H＝EH，則此時(shí)四邊形EFGH的周長最小，由題意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8，∴E′F′＝10，EF＝2，∴四邊形EFGH的周長的最小值＝EF+FG+GH+HE＝EF+E′F′＝2+10，∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最小，最小值為2+10；（3）能裁得，理由：∵EF＝FG＝，∠A＝∠B＝90°，∠1+∠AFE＝∠2+∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，在△AEF與△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF＝BG，AE＝BF，設(shè)AF＝x，則AE＝BF＝3﹣x，∴x2+（3﹣x）2＝（）2，解得：x＝1，x＝2（不合題意，舍去），∴AF＝BG＝1，BF＝AE＝2，∴DE＝4，CG＝5，連接EG，作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG＝90°，以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑作⊙O，∵CE＝CG＝5，則∠EHG＝45°的點(diǎn)在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′、GH′，則∠EH′G＝45°，∵△EFG的面積是定值，EG也定值，要裁到的四邊形EFGH的面積最大，只要△EGH的面積最大，即：上一點(diǎn)到EG的距離最大，而FH'⊥EG于M，∴點(diǎn)H'到EG的距離最大，∴如圖3所示，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，∴C在線段EG的垂直平分線上，∴點(diǎn)F，O，H′，C在一條直線上，∵EG＝，∴OF＝EG＝，∵CF＝2，∴OC＝，∵OH′＝OE＝FG＝，∴OH′＜OC，∴點(diǎn)H′在矩形ABCD的內(nèi)部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，這個(gè)部件的面積＝EG?FH′＝××（+）＝5+，∴當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時(shí)，裁得了符合條件的最大部件，這個(gè)部件的面積為（5+）m2．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，存在性問題，掌握的作出輔助線利用對稱的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．（1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為24；（2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請你求出△BNC周長的最小值；（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖①，過A作AE⊥BC，可得出四邊形AECD為矩形，得到EC＝AD，BE＝BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的長，即為三角形BMC的高，求出三角形BMC面積即可；（2）如圖②，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)C′，連接C′N，C′D，C′B交AD于點(diǎn)N′，連接CN′，則BN+NC＝BN+NC′≥BC′＝BN′+CN′，可得出△BNC周長的最小值為△BN′C的周長＝BN′+CN′+BC＝BC′+BC，求出即可；（3）如圖③所示，存在點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂線PQ交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，連接BP，CP，作△BPC的外接圓O，圓O與直線PQ交于點(diǎn)N，則PB＝PC，圓心O在PN上，根據(jù)AD與BC平行，得到圓O與AD相切，根據(jù)PQ＝DC，判斷得到PQ大于BQ，可得出圓心O在BC上方，在AD上任取一點(diǎn)P′，連接P′B，P′C，P′B交圓O于點(diǎn)M，連接MC，可得∠BPC＝∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，連接OB，求出即可．【解答】解：（1）如圖①，過A作AE⊥BC，∴四邊形AECD為矩形，∴EC＝AD＝8，BE＝BC﹣EC＝12﹣8＝4，在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，BE＝4，∴AB＝2BE＝8，AE＝＝4，則S△BMC＝BC?AE＝24；故答案為：24；（2）如圖②，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)C′，連接C′N，C′D，C′B交AD于點(diǎn)N′，連接CN′，則BN+NC＝BN+NC′≥BC′＝BN′+CN′，∴△BNC周長的最小值為△BN′C的周長＝BN′+CN′+BC＝BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC＝60°，∴過點(diǎn)A作AE⊥BC，則CE＝AD＝8，∴BE＝4，AE＝BE?tan60°＝4，∴CC′＝2CD＝2AE＝8，∵BC＝12，∴BC′＝＝4，∴△BNC周長的最小值為4+12；（3）如圖③所示，存在點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂線PQ交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，連接BP，CP，作△BPC的外接圓O，圓O與直線PQ交于點(diǎn)N，則PB＝PC，圓心O在PN上，∵AD∥BC，∴圓O與AD相切于點(diǎn)P，∵PQ＝DC＝4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圓心O在弦BC的上方，在AD上任取一點(diǎn)P′，連接P′B，P′C，P′B交圓O于點(diǎn)M，連接MC，∴∠BPC＝∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，連接OB，則∠BON＝2∠BPN＝∠BPC，∵OB＝OP＝4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根據(jù)勾股定理得：OQ2+62＝（4﹣OQ）2，解得：OQ＝，∴OB＝，∴cos∠BPC＝cos∠BOQ＝＝，則此時(shí)cos∠BPC的值為．【點(diǎn)評】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．問題探究（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形△APD，并求出此時(shí)BP的長；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD＝6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF＝90°，求此時(shí)BQ的長；問題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB＝60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ長．（3）要滿足∠AMB＝60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，就可算出符合條件的DM長．【解答】解：（1）①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖①，則PA＝PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°．∵PA＝PD，AB＝DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP＝CP．∵BC＝4，∴BP＝CP＝2．②以