2025年河北省衡水市安平縣安平中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．3．已知，，則（）A． B． C． D．4．的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．635．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，若，則（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．7．把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．10．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線(xiàn)與圓相交的概率為（）A． B． C． D．11．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．12．己知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)分別在拋物線(xiàn)上，且，直線(xiàn)交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則_______．14．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.15．點(diǎn)是曲線(xiàn)（）圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____.16．某地區(qū)教育主管部門(mén)為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績(jī)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)赱250，400)內(nèi)的學(xué)生共有____人．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.18．（12分）如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）求證：平面ACD；（2）設(shè)，表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)的解析式及最大值．19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.21．（12分）已知拋物線(xiàn):，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，且.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是拋物線(xiàn)上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、、四點(diǎn)共圓，求直線(xiàn)的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類(lèi)型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題2．C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.4．B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B本小題考查二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類(lèi)討論和應(yīng)用意識(shí).5．C【解析】

如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，則，在中，，故，即.故選：.本題考查了拋物線(xiàn)中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6．C【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn),雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：C本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.7．D【解析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).8．D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.9．B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.10．D【解析】

利用直線(xiàn)與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線(xiàn)與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線(xiàn)與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.12．D【解析】

作，垂足為，過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線(xiàn)段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)?，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D本題主要考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線(xiàn)方程得切線(xiàn)斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得．【詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ)，14．【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線(xiàn)定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線(xiàn).設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過(guò)點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀(guān)想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15．1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線(xiàn)斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由切線(xiàn)方程得縱坐標(biāo)后可求得．【詳解】設(shè)，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值．本題屬于基礎(chǔ)題．16．750【解析】因?yàn)?.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1，得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.005三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，，則在上單調(diào)遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴.由（*）式得.∴，顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實(shí)數(shù)的值為.本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.18．（1）見(jiàn)解析（2），最大值．【解析】

（1）先證明，，故平面ADC．由，即得證；（2）可證明平面ABC，結(jié)合條件表示出，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圓O的直徑，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)，體積有最大值．本題考查了線(xiàn)面垂直的證明和三棱錐的體積，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19．（1）或；（2）.【解析】

（1）時(shí)，分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，分類(lèi)討論解不等式.（2）時(shí)，分類(lèi)討論去絕對(duì)值，得到解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，通過(guò)恒成立問(wèn)題，得到關(guān)于的不等式，得到的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以不等式等價(jià)于或或，解得或.所以不等式的解集為或.（2）因?yàn)?，所以，根?jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查分類(lèi)討論去絕對(duì)值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.20．（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀(guān)察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)（）,求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得，由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù)，即可得證得結(jié)論.【詳解】（1）（）.因?yàn)?，所以，令得，，且，，在上；在上；所以函?shù)在時(shí)，取最小值，當(dāng)最小值為0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，易得，所以，解得.（2）由（1）得，函數(shù)，設(shè)（），則，設(shè)（），則，，所以為減函數(shù)，所以，即，所以，即，又，所以，又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，即.本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.21．（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程并聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得到韋達(dá)定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式，由此判斷出為定值時(shí)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得，焦點(diǎn)，，則，，∴解得.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，設(shè)點(diǎn)，，顯然直線(xiàn)的斜率不為0.設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為本題考查拋物線(xiàn)方程的求解以及拋物線(xiàn)中的定值問(wèn)題，難度一般.（1）處理直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題，聯(lián)立直線(xiàn)方程借助韋達(dá)定理形式是常用方法；（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中，直線(xiàn)方程的設(shè)