1/10《平行線的有關(guān)證明》專題專練專題一定義與命題一、知識要點(diǎn)1.定義：對術(shù)語和名稱的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義.如“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離的定義.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題，每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).命題一般寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論.3.真命題、假命題與反例真命題：正確的命題稱為真命題.假命題：不正確的命題稱為假命題.反例：要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一二例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這個例子稱為反例.4.公理、定理、證明公理：人們公認(rèn)的真命題稱為公理.定理：經(jīng)過證明了的真命題稱為定理.證明：推理的過程稱為證明.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及命題的概念和命題的結(jié)構(gòu)形式、判斷命題的真假等.多以選擇題的形式出現(xiàn)，以判斷真假命題類型題為主要考點(diǎn).三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例來理解命題的定義，體會尋找命題的題設(shè)和結(jié)論的常用方法將命題改寫成“如果……，那么……”的形式，能舉反例說明一個命題是假命題，能利用推理的方法證明一個命題是真命題等.四、典例分析例1判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是真命題還是假命題？（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（2）作線段AB=CD；（3）你今天上數(shù)學(xué)課了嗎？（4）熊貓沒有翅膀；（5）對于角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.解析：判斷一個句子是否為命題需抓住兩點(diǎn)：（1）命題必須是一個完整的語句，且是陳述句，不是疑問句、祈使句；（2）要對事情作出判斷.根據(jù)這兩條可知（2）、（3）不是命題，（1）、（4）、（5）是命題，且都是真命題.例2寫出下列命題的條件和結(jié)論.（1）如果一個三角形中有兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形.（2）對頂角相等.解析：（1）命題一般寫成“如果A，那么B”的形式，A部分為條件，B部分為結(jié)論，所以（1）中的條件“一個三角形中有兩條邊相等”，結(jié)論為“這個三角形是等腰三角形”.（2）對于命題本身不含“如果”，“那么”詞語，此時需將其改寫成“如果……，那么……”的形式，再找條件和結(jié)論，便不易錯，所以（2）中可改成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，故條件為“兩個角是對頂角”，結(jié)論為“這兩個角相等”.專題練習(xí)一1.把“垂線段最短”改寫成“如果……，那么……”的形式是________.2.下列語句中，不是命題的是（）A.直角都相等B.如果ab=0，那么a=0C.不是對頂角的兩個角相等D.連接兩點(diǎn)A、B3.下列命題中，是真命題是是（）A.互補(bǔ)的兩角若相等，則此兩角都是直角B.直線是平角C.不相交的兩條直線叫平行線D.和為180°的兩個角叫鄰補(bǔ)角4.下列命題中，是真命題的是（）（1）所有菱形都相似；（2）任意兩個等邊三角形都相似；（3）任意兩個等腰三角形都相似；（4）有一個角相等的兩個直角三角形相似；（5）同位角相等.A.0個B.1個C.2個D.3個5.判斷下列命題的真假，若是假命題，請舉出反例：（1）若|a|=|b|，則a=b；（2）兩個銳角之和一定是鈍角；（3）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).專題二平行線的判定和性質(zhì)一、知識要點(diǎn)1.平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行.2.平行線的判定定理1：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.3.平行線的判定定理2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.平行線的性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等.4.平行線的性質(zhì)定理1：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.平行線的性質(zhì)定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).注意：對于平行線的判定與性質(zhì)，一定不要混淆它們的條件和結(jié)論，平行線的條件是由角的數(shù)量關(guān)系來確定直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行線的位置關(guān)系來確定角的數(shù)量關(guān)系.對平行線的判定而言，“兩直線平行”是結(jié)論，對平行線的性質(zhì)而言，“兩直線平行”是條件.因此，不能隨便說“同位角相等”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及：（1）與兩直線平行條件有關(guān)的開放題、探究題等；（2）運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或說理，解決生活中的一些實(shí)際問題等.在中考中多以填空題或選擇題形式出現(xiàn)難度不大，但非常重要，在大題中，經(jīng)常用到.三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)理解并熟記兩直線平行的判定和性質(zhì)，注意平行線的判定和性質(zhì)的區(qū)別，同時也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶骄啃詥栴}的訓(xùn)練.例1如圖1，在△AFD和△BEC中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，有下面4個論斷：①AD=CB；②BE=DF；③∠B=∠D；④AD//BC.請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并證明.ABABCDEF圖1解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.求證：AD//BC.證明：因?yàn)锳D=CB，∠B=∠D，BE=DF，所以△ADF≌△CBE.所以∠A=∠C，所以AD//BC.ABABMEFCNGD12圖2例2如圖2，AB//CD，EF分別交AB，CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G.求：∠1的度數(shù).分析：由AB//CD，得∠1=∠2，所以要求∠1的度數(shù)，可求∠2的度數(shù).由條件知，而∠BMF與∠EMB是鄰補(bǔ)角，所以∠BMF=180°-50°=130°.于是可求得∠2的度數(shù)，進(jìn)而得出∠1的度數(shù).解：因?yàn)锳B//CD，所以∠1=∠2.又因?yàn)椤螮MB=50°，所以∠BMF=180°-50°=130°.因?yàn)镸G平分∠BNF，所以所以∠1=65°.點(diǎn)評：根據(jù)平行條件求角的度數(shù)，一般借助平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）解決問題.專題練習(xí)二1.如圖3，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是_____.2.如圖2，直線，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.7070°31°圖3圖43.如圖5，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F.求證：EC//DF.4.如圖6，AB//EF，求證：∠BCF=∠B+∠F.AACAABEDFBCFEBCED圖5圖7圖65.如圖7，若要能使得AB//ED，∠B、∠C、∠D應(yīng)滿足什么條件？專題三三角形內(nèi)角和定理一、知識要點(diǎn)1.探究三角形內(nèi)角和定理時，將三角形的三個內(nèi)角“湊”在一起，拼成一個平角，從而得到三角形的內(nèi)角和等于180°，這里體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想.三角形內(nèi)角和定理的證明方法較多，除了轉(zhuǎn)化為平角證明外，還可以利用“構(gòu)造周角”的方法以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的方法解析證明.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要是利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)或判斷三角形的形狀.單獨(dú)命題時以填空、選擇題為主，但大多出現(xiàn)在綜合題中.三、溫馨提示：復(fù)習(xí)時，應(yīng)理解并熟記三角形內(nèi)角和定理.四、典例分析例1在△ABC中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)，并判斷△ABC的形狀？分析：利用隱含條件：三角形的三個內(nèi)角和等于180°.構(gòu)造方程求解.解：因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC為銳角三角形.ABABCD1圖1例2如圖1，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求證：AB//CD.分析：要證明AB//CD,根據(jù)圖形可知，只需證明∠A=64°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證明.或證明∠DCB+∠B=180°，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行也可證明.為此需利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A或∠1的度數(shù).證明：在△ABC中，∠1+∠A+∠B=180°，又∠B=42°，∠A+10°=∠1，所以（∠A+10°）+∠A+42°=180°.即2∠A+52°=180°，所以∠A=64°.又因?yàn)椤螪CA=64°，所以∠DCA=∠A.所以AB//CD.點(diǎn)評：證明兩直線平行，借助于內(nèi)錯角相等，在推導(dǎo)內(nèi)錯角相等時，用到了三角形的內(nèi)角和定理.專題練習(xí)三1.在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，則這個三角形是一個_________三角形.2.小華到工廠去進(jìn)行社會實(shí)踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖2所示的零件，工人師傅告訴他：AB//CD，∠BAE=35°，∠AEC=80°，小華馬上運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識得出了∠ECD的度數(shù)，聰明的你一定知道∠ECD=_________.AABCDE圖2ABCD圖3BCDE圖4A3.若等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)是_________.4.如圖3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù).5.如圖4，已知AB//DE，求證：∠B+∠C+∠E=360°.專題四關(guān)注三角形的外角一、知識要點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的兩個推論是：推論1三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論2三角形的一個外角等于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.關(guān)于三角形外角的重要結(jié)論是三角形內(nèi)角和定理的推論.第一個推論反映了一個外角與它不相鄰的兩個的相等關(guān)系，應(yīng)用在證明或計(jì)算內(nèi)角與外角的大小問題中；第二個推論反映了一個外角與它不相鄰的內(nèi)角的不等關(guān)系，用于證明和三角形有關(guān)的角的不等關(guān)系問題中.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及：（1）利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”求角的度數(shù)；（2）利用“三角形的一個外角大于任何與它不相鄰的內(nèi)角”來證明兩角的不等關(guān)系.在中考中可以單獨(dú)命題，但大多數(shù)出現(xiàn)在綜合題中.三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)理解并熟記三角形的內(nèi)角和定理的兩個推論，并多練習(xí)利用它們解決有關(guān)的證明問題或計(jì)算問題的題目.4圖14圖1132例1如圖1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.分析：觀察圖形可知，欲求∠3的度數(shù)，可先求∠4的度數(shù)，這只要利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可.解：因?yàn)椤?=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.點(diǎn)評：求角的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，因此，只要知道了其中的兩個角的度數(shù)，就可以求出另一個角的度數(shù).例2如圖2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接BP、CP.求證：∠BPC>∠BAC.分析：要求證明∠BPC>∠BAC，通常有兩種方法：一是找到第三個角，利用不等式的傳遞性得證；二是將∠BPC和∠BAC都分成兩個角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立來證明.證法一：如圖2（1）所示，延長BP交AC于點(diǎn)D.由于∠BPC是△DPC的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP是△ABD的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.AAACPDBPC1234（1）（2）圖2B證法二：如圖2（2）所示，連接AP并延長AP.因?yàn)椤?是△ABP的外角，所以∠1>∠3.因?yàn)椤?是△APC的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因?yàn)椤?+∠2=∠BPC，∠3+∠4=∠BAC，所以∠BPC>∠BAC.點(diǎn)評：要證角的不等關(guān)系，一般地將大角轉(zhuǎn)化為某三角形的外角，將小角轉(zhuǎn)化為某三角形的內(nèi)角.解決本題的關(guān)鍵是通過添加輔助線以達(dá)到此目的.BCBC圖31.如圖3，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______.2.下列語句中，正確的是（）A.三角形的外角大于它的內(nèi)角B.三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角的和C.三角形的一個內(nèi)角小于和它不相鄰的外角D.三角形的外角和等于180°3.已知如圖4所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠B=40°，∠DAE=70°，則∠ACD=（）A.150°B.110°C.80°D.30°AABCD圖4ABCP圖54.如圖5，△ABC中，∠A=40°，BP、CP是△ABC的外角平分線，則∠P的度數(shù)為（）A.50°B.60°C.70°D.80°5.△ABC中，一個內(nèi)角的大小是50°，∠A=∠B，那么∠C的外角是多少度？

參考答案專題練習(xí)一1.如果一條線段是垂線段，那么這條線段最短；2.D3.C4.C5.（1）假命題.反例：如|2|=|-2|，但2≠-2；（2）假命題.反例：如兩個銳角分別為20°、30°，但它們的和50°是銳角；（3）是真命題.專題練習(xí)二1.40°；2.C；3.因?yàn)锽D平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以，由因?yàn)椤螦BC=∠ACB，所以∠DBF=∠ECB，又因?yàn)椤螪BF=∠F，所以∠ECB=∠F，所以EC//DF.4.過點(diǎn)C作CP//AB，因?yàn)锳B//EF，所以CP//EF.易得∠BCP=∠B，∠FCP=∠F，所以∠BCP+∠FCP=∠B+∠F，即∠BCF=∠B+∠F.5.∠ABC=∠C+∠D.證明略.專題練習(xí)三1.直角三角形；2.45°；3.80°、20°或