乙卷立體幾何題目及答案一、選擇題（共40分）1.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,0,0)，點B(0,1,0)，點C(0,0,1)，點D(1,1,1)。下列哪個點與點D的距離最近？A.AB.BC.CD.D答案：D2.（10分）若直線l與平面α垂直，且直線l與平面α的交點為P，則下列哪個說法是正確的？A.直線l與平面α內(nèi)的任意直線垂直B.直線l與平面α內(nèi)的任意直線平行C.直線l與平面α內(nèi)的任意直線相交D.直線l與平面α內(nèi)的任意直線異面答案：A3.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為棱CC1的中點，則下列哪個說法是正確的？A.AE⊥B1EB.AE∥B1EC.AE與B1E相交D.AE與B1E異面答案：A4.（10分）若直線m與平面α平行，直線n與平面α相交，且直線m與直線n相交，則下列哪個說法是正確的？A.直線m與直線n平行B.直線m與直線n相交C.直線m與直線n異面D.直線m與直線n垂直答案：C二、填空題（共30分）1.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，若點P(2,-3,4)，點Q(-1,2,-5)，則向量PQ的模長為____。答案：\sqrt{61}2.（10分）若直線l與平面α的夾角為45°，則直線l與平面α內(nèi)任意直線的夾角范圍為____。答案：[0°,90°]3.（5分）在正四面體ABCD中，若AB=BC=CD=DA=a，則四面體的體積為____。答案：\frac{\sqrt{2}}{12}a^34.（5分）若三棱錐P-ABC的體積為V，底面三角形ABC的面積為S，高為h，則下列哪個等式是正確的？A.V=\frac{1}{3}ShB.V=\frac{1}{3}S\cdothC.V=\frac{1}{2}ShD.V=\frac{1}{2}S\cdoth答案：B三、解答題（共30分）1.（15分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，點E為棱CC1的中點，點F為棱DD1的中點。求證：平面AEF⊥平面BDD1B1。證明：1.連接AE，EF，AF，BE，BF。2.由于E為CC1的中點，F(xiàn)為DD1的中點，所以AE=AF=BE=BF=\frac{\sqrt{2}}{2}。3.由于AB=1，所以∠EAF=∠EBF=45°。4.由于∠EAF=∠EBF=45°，所以∠EAB=∠EBA=45°。5.由于∠EAB=∠EBA=45°，所以AE⊥BE，AF⊥BF。6.由于AE⊥BE，AF⊥BF，所以平面AEF⊥平面BDD1B1。2.（15分）已知三棱錐P-ABC的底面三角形ABC為等邊三角形，且PA=PB=PC。求證：三棱錐P-ABC為正三棱錐。證明：1.由于PA=PB=PC，所以P到三角形ABC的三個頂點的距離相等。2.由于P到三角形ABC的三個頂點的距離相等，所以P在三角形ABC的外接圓上。3.由于底面三角形ABC為等邊三角形，所以三角形ABC的外接圓的圓心為三角形ABC的重心。4.由于P在三角形ABC的外接圓上，且P到三角形ABC的三個頂點的距離相等，所以P為三角形ABC的外接圓的圓心。5.由于P為三角形ABC的外接圓的圓心，所以PA=PB=PC=AB=BC=CA。6.由于PA=PB=PC=AB=BC=CA，所以三棱錐P-ABC為正三棱錐。四、計算題（共50分）1.（25分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(1,2,3)，點Q(4,-1,2)，點R(3,0,-1)。求：（1）向量PQ的坐標(biāo)；（2）向量PQ與向量PR的數(shù)量積；（3）向量PQ與向量PR的夾角。解：（1）向量PQ的坐標(biāo)為(3-1,-1-2,2-3)=(2,-3,-1)。（2）向量PQ與向量PR的數(shù)量積為(2,-3,-1)·(2,-2,-4)=2×2+(-3)×(-2)+(-1)×(-4)=4+6+4=14。（3）向量PQ與向量PR的模長分別為|PQ|=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{14}，|PR|=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{6}。向量PQ與向量PR的夾角的余弦值為cosθ=\frac{14}{\sqrt{14}×2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，所以夾角θ=arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})。2.（25分）已知正四面體ABCD的棱長為a，求正四面體ABCD的體積。解：1.正四面體ABCD的底面三角形ABC為等邊三角形，所以底面三角形ABC的面積為S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2。2.正四面體ABCD的高為h=\frac{\sqrt{6}}{3}a。3.正