2025-2026學(xué)年河南省鄭州市金水區(qū)實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（）A．2 B．1 C． D．02．已知函數(shù)，其中，若恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．3．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關(guān)于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個4．設(shè)一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．6．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元7．集合，，則=()A． B．C． D．8．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進(jìn)口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降9．等比數(shù)列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．10．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．412．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，在方向上的投影為，則與的夾角為_________.14．某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布，質(zhì)檢部門的檢測數(shù)據(jù)顯示：該正態(tài)分布為，.某旅游團(tuán)游客共購買這種牛肉干100袋，估計其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.15．若，則的最小值為________.16．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.22．（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.2．A【解析】

，從而可得，，再解不等式即可.【詳解】由已知，，所以，，由，解得，.故選：A.本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3．D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.4．D【解析】

由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當(dāng)時，，故選：D.本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.5．C【解析】

先由已知，求出，進(jìn)一步可得，再利用復(fù)數(shù)模的運算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運算，考查學(xué)生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.6．D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項A正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項C正確，選項D錯誤.故選：.本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7．C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較?。?．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數(shù)列．10．D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，共軛復(fù)數(shù)的概念.12．D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值，從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀?，即夾角為.故答案為：．本題考查求向量的夾角，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．14．1【解析】

根據(jù)正態(tài)分布對稱性，求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計值.【詳解】由于，所以，所以袋牛肉干中，質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為：本小題主要考查正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件?！驹斀狻坑深}意，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值．利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。16．【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18．（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得，即，t1，t2為方程的兩個根，∴t1t2=-1，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直角坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．19．（1）（2）【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，則所以不等式的解集為.（2）等價于，而，故等價于，所以或，即或，所以實數(shù)a的取值范圍為.本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度一般.20．（1）；（2）【解析】

(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2)由（1）得，,利用分組求和及錯位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，由可得，，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，數(shù)列的前n項和為，設(shè)①，則②，②①得，綜上，數(shù)列的前n項和為.本題考查求等差等比的通項公式,考試分組求和及錯位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計算能力,難度一般.21．（1）；（2）是，定點坐標(biāo)為或【解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程得到，，計算點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標(biāo)分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所