2022年人教版中學七7年級下冊數(shù)學期末解答題壓軸題試卷含答案(1)一、解答題1.教材中的探究:如圖,把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開,用所得到的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形.由此,得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應點的方法(數(shù)軸的單位長度為1).(1)閱讀理解:圖1中大正方形的邊長為________,圖2中點A表示的數(shù)為________;(2)遷移應用:請你參照上面的方法,把5個小正方形按圖3位置擺放,并將其進行裁剪,拼成一個大正方形.①請在圖3中畫出裁剪線,并在圖3中畫出所拼得的大正方形的示意圖.②利用①中的成果,在圖4的數(shù)軸上分別標出表示數(shù)－0.5以及
的點,并比較它們的大?。?.如圖,用兩個面積為
的小正方形拼成一個大的正方形.(1)則大正方形的邊長是___________;（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形,能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為5：4,且面積為
？3.喜歡探究的亮亮同學拿出形狀分別是長方形和正方形的兩塊紙片,其中長方形紙片的長為
,寬為
,且兩塊紙片面積相等.(1)亮亮想知道正方形紙片的邊長,請你幫他求出正方形紙片的邊長;(結果保留根號)(2)在長方形紙片上截出兩個完整的正方形紙片,面積分別為
和
,亮亮認為兩個正方形紙片的面積之和小于長方形紙片的總面積,所以一定能截出符合要求的正方形紙片來,你同意亮亮的見解嗎?為什么?(參考數(shù)據(jù):
,
)4.有一塊面積為100cm2的正方形紙片.(1)該正方形紙片的邊長為cm(直接寫出結果);（2）小麗想沿著該紙片邊的方向裁剪出一塊面積為90cm2的長方形紙片,使它的長寬之比為4：3.小麗能用這塊紙片裁剪出符合要求的紙片嗎？5．如圖,紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙,我們可以把它剪開拼成一個正方形．(1)拼成的正方形的面積與邊長分別是多少?(2)如圖所示,以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形,以數(shù)軸的-1點為圓心,直角三角形的最大邊為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點A,那么點A表示的數(shù)是多少?點A表示的數(shù)的相反數(shù)是多少?（3）你能把十個小正方形組成的圖形紙,剪開并拼成正方形嗎？若能,請畫出示意圖,并求它的邊長二、解答題6.已知AB//CD.(1)如圖1,E為AB,CD之間一點,連接BE,DE,得到∠BED.求證:∠BED＝∠B+∠D;(2)如圖,連接AD,BC,BF平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BF,DF所在的直線交于點F.①如圖2,當點B在點A的左側時,若∠ABC＝50°,∠ADC＝60°,求∠BFD的度數(shù).②如圖3,當點B在點A的右側時,設∠ABC＝α,∠ADC＝β,請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α,β的式子表示）7.如圖,
,直線
與
、
分別交于點
、
,點
在直線
上,過點
作
,垂足為點
.(1)如圖1,求證:
;（2）若點
在線段
上（不與
、
、
重合）,連接
,
和
的平分線交于點
請在圖2中補全圖形,猜想并證明
與
的數(shù)量關系；8.如圖,已知直線
射線
,
.
是射線
上一動點,過點
作
交射線
于點
,連接
.作
,交直線
于點
,
平分
.(1)若點
,
,
都在點
的右側．①求
的度數(shù);②若
,求
的度數(shù).(不能使用"三角形的內角和是
"直接解題)（2）在點
的運動過程中,是否存在這樣的偕形,使
？若存在,直接寫出
的度數(shù)；若不存在．請說明理由．9.綜合與實踐背景閱讀:在同一平面內,兩條不重合的直線的位置關系有相交、平行,若兩條不重合的直線只有一個公共點,我們就說這兩條直線相交,若兩條直線不相交,我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關系的性質和判定是幾何的重要知識,是初中階段幾何合情推理的基礎.已知：AM∥CN,點B為平面內一點,AB⊥BC于B.問題解決:(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系;（2）如圖2,過點B作BD⊥AM于點D,求證:∠ABD＝∠C；（3）如圖3,在（2）問的條件下,點E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF＝180°,∠BFC＝3∠DBE,則∠EBC＝．10.已知:AB∥CD,截線MN分別交AB.CD于點M、N.(1)如圖①,點B在線段MN上,設∠EBM＝α°,∠DNM＝β°,且滿足
+(β﹣60)2＝0,求∠BEM的度數(shù);（2）如圖②,在（1）的條件下,射線DF平分∠CDE,且交線段BE的延長線于點F;請寫出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關系,并說明理由;（3）如圖③,當點P在射線NT上運動時,∠DCP與∠BMT的平分線交于點Q,則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．三、解答題11.將兩塊三角板按如圖置,其中三角板邊
,
,
,
.(1)下列結論:正確的是_______.①如果
,則有
；②；③如果
,則
平分
.(2)如果
,判斷
與
是否相等,請說明理由.（3）將三角板
繞點
順時針轉動,直到邊
與
重合即停止,轉動的過程中當兩塊三角板恰有兩邊平行時,請直接寫出
所有可能的度數(shù).12．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側中,直線MN經過點C,且
,其中
,
,
,點E、F均落在直線MN上．(1)如圖1,當點C與點E重合時,求證:
;聰明的小麗過點C作
,并利用這條輔助線解決了問題.請你根據(jù)小麗的思考,寫出解決這一問題的過程.(2)將三角形DEF沿著NM的方向平移,如圖2,求證:
;（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移,使得點E移動到點
,畫出平移后的三角形DEF,并回答問題,若
,則
________.（用含
的代數(shù)式表示）13．如圖1,
,E是
、
之間的一點．(1)判定
,
與
之間的數(shù)量關系,并證明你的結論;(2)如圖2,若
、
的兩條平分線交于點F.直接寫出
與
之間的數(shù)量關系;(3)將圖2中的射線
沿
翻折交
于點G得圖3,若
的余角等于
的補角,求
的大小.14.已知AB∥CD,點M在直線AB上,點N、Q在直線CD上,點P在直線AB.CD之間,∠AMP＝∠PQN＝α,PQ平分∠MPN.(1）如圖①,求∠MPQ的度數(shù)(用含α的式子表示）;（2）如圖②,過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E,過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F.請你判斷EF與PQ的位置關系,并說明理由；（3）如圖③,在（2）的條件下,連接EN,若NE平分∠PNQ,請你判斷∠NEF與∠AMP的數(shù)量關系,并說明理由．15.(感知)如圖①,
,求
的度數(shù).小明想到了以下方法:解:如圖①,過點
作
,
(兩直線平行,內錯角相等)
(已知),
(平行于同一條直線的兩直線平行),
（兩直線平行,同旁內角互補).
(已知),
(等式的性質).
(等式的性質).即
(等量代換).（探究）如圖②,
,
,求
的度數(shù).（應用）如圖③所示,在（探究）的條件下,
的平分線和
的平分線交于點
,則
的度數(shù)是_______________
．四、解答題16.如圖,直線m與直線n互相垂直,垂足為O、A.B兩點同時從點O出發(fā),點A沿直線m向左運動,點B沿直線n向上運動.(1)若∠BAO和∠ABO的平分線相交于點Q,在點A,B的運動過程中,∠AQB的大小是否會發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請求出其值,若發(fā)生變化,請說明理由.(2)若AP是∠BAO的鄰補角的平分線,BP是∠ABO的鄰補角的平分線,AP、BP相交于點P,AQ的延長線交PB的延長線于點C,在點A,B的運動過程中,∠P和∠C的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請求出∠P和∠C的度數(shù)；若發(fā)生變化,請說明理由．17.直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在射線OP上運動,點B在射線OM上運動,A.B不與點O重合,如圖1,已知AC.BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線,(1)點A.B在運動的過程中,∠ACB的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出∠ACB的大小.(2）如圖2,將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,則∠ABO＝________,如圖3,將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,則∠ABO＝________（3）如圖4,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其反向延長線交于E、F,則∠EAF＝；在△AEF中,如果有一個角是另一個角的
倍,求∠ABO的度數(shù).18.如圖1,已知線段AB.CD相交于點O,連接AC.BD,我們把形如圖1的圖形稱之為"8字形".如圖2,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P,并且與CD.AB分別相交于M、N.試解答下列問題:(1)仔細觀察,在圖2中有個以線段AC為邊的"8字形";(2)在圖2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度數(shù);（3）在圖2中,若設∠C=α,∠B=β,∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,試問∠P與∠C、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系（用α、β表示∠P）,并說明理由;（4）如圖3,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．19.如圖,△ABC和△ADE有公共頂點A,∠ACB＝∠AED＝90°,∠BAC=45°,∠DAE=30°.(1)若DE//AB,則∠EAC＝;(2)如圖1,過AC上一點O作OG⊥AC,分別交AB.AD.AE于點G、H、F.①若AO＝2,S△AGH＝4,S△AHF＝1,求線段OF的長;②如圖2,∠AFO的平分線和∠AOF的平分線交于點M,∠FHD的平分線和∠OGB的平分線交于點N,∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變,求出其度數(shù)；若改變,請說明理由．20.(1)如圖1所示,△ABC中,∠ACB的角平分線CF與∠EAC的角平分線AD的反向延長線交于點F;①若∠B＝90°則∠F＝;②若∠B＝a,求∠F的度數(shù)(用a表示);（2）如圖2所示,若點G是CB延長線上任意一動點,連接AG,∠AGB與∠GAB的角平分線交于點H,隨著點G的運動,∠F+∠H的值是否變化？若變化,請說明理由；若不變,請求出其值．【參考答案】一、解答題1.(1);(2)①見解析;②見解析,【分析】(1)設正方形邊長為a,根據(jù)正方形面積公式,結合平方根的運算求出a值,則知結果;（2）①根據(jù)面積相等,利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；②解析:(1)
;(2)①見解析;②見解析,
【分析】(1)設正方形邊長為a,根據(jù)正方形面積公式,結合平方根的運算求出a值,則知結果;(2)①根據(jù)面積相等,利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形;②由題（1）的原理得出大正方形的邊長為
,然后在數(shù)軸上以-3為圓心,以大正方形的邊長為半徑畫弧交數(shù)軸的右方與一點M,再把N點表示出來,即可比較它們的大?。驹斀狻拷?設正方形邊長為a,∵a2=2,∴a=
,故答案為：
,
;（2）解:①裁剪后拼得的大正方形如圖所示:②設拼成的大正方形的邊長為b,∴b2=5,∴b=±
,在數(shù)軸上以-3為圓心,以大正方形的邊長為半徑畫弧交數(shù)軸的右方與一點M,則M表示的數(shù)為-3+
,看圖可知,表示-0.5的N點在M點的右方,∴比較大小:
.【點睛】本題主要考查平方根與算術平方根的應用及實數(shù)的大小比較,熟練掌握平方根與算術平方根的意義及實數(shù)的大小比較是解題的關鍵.2．（1）；（2）不能剪出長寬之比為5：4,且面積為的大長方形,理由詳見解析【分析】(1)根據(jù)已知得到大正方形的面積為400,求出算術平方根即為大正方形的邊長;(2)設長方形紙片的長為,寬為,根據(jù)解析：（1）
；（2）不能剪出長寬之比為5：4,且面積為
的大長方形,理由詳見解析【分析】(1)根據(jù)已知得到大正方形的面積為400
,求出算術平方根即為大正方形的邊長;（2）設長方形紙片的長為
,寬為
,根據(jù)面積列得
,求出
,得到
,由此判斷不能裁出符合條件的大正方形.【詳解】(1)∵用兩個面積為
的小正方形拼成一個大的正方形,∴大正方形的面積為400
,∴大正方形的邊長為故答案為:20cm;（2）設長方形紙片的長為
,寬為
,，解得:
,，答:不能剪出長寬之比為5:4,且面積為
的大長方形.【點睛】此題考查利用算術平方根解決實際問題,利用平方根解方程,正確理解題意是解題的關鍵.3．（1）；（2）不同意,理由見解析【分析】(1)設正方形邊長為,根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程,再根據(jù)算術平方根的意義即可求出x的值;(2)根據(jù)兩個正方形紙片的面積計算出兩個正方形的邊長,計算兩個解析：（1）
；（2）不同意,理由見解析【分析】(1)設正方形邊長為
,根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程,再根據(jù)算術平方根的意義即可求出x的值;（2）根據(jù)兩個正方形紙片的面積計算出兩個正方形的邊長,計算兩個正方形邊長的和,并與3比較即可解答．【詳解】解:(1)設正方形邊長為
,則
,由算術平方根的意義可知
,所以正方形的邊長是
.(2)不同意.因為：兩個小正方形的面積分別為
和
,則它們的邊長分別為
和
.
,即兩個正方形邊長的和約為
,所以
,即兩個正方形邊長的和大于長方形的長,所以不能在長方形紙片上截出兩個完整的面積分別為
和
的正方形紙片.【點睛】本題考查了算術平方根的應用,解題的關鍵是讀懂題意并熟知算術平方根的概念.4.（1）10；（2）小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片.【分析】(1)根據(jù)算術平方根的定義直接得出;（2）直接利用算術平方根的定義長方形紙片的長與寬,進而得出答案．【詳解】解:(1)根據(jù)算解析：（1）10；（2）小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片.【分析】(1)根據(jù)算術平方根的定義直接得出;（2）直接利用算術平方根的定義長方形紙片的長與寬,進而得出答案．【詳解】解:(1)根據(jù)算術平方根定義可得,該正方形紙片的邊長為10cm;故答案為:10;（2）∵長方形紙片的長寬之比為4:3,∴設長方形紙片的長為4xcm,則寬為3xcm,則4x?3x＝90,∴12x2＝90,∴x2＝
,解得:x＝
或x＝-
(負值不符合題意,舍去),∴長方形紙片的長為2
cm,∵5＜
＜6,∴10＜2
,∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片.【點睛】本題考查了算術平方根.解題的關鍵是掌握算術平方根的定義:一個正數(shù)的正的平方根叫這個數(shù)的算術平方根;0的算術平方根為0.也考查了估算無理數(shù)的大小.5．（1）5；；（2）；；（3）能,．【分析】(1)易得5個小正方形的面積的和,那么就得到了大正方形的面積,求得面積的算術平方根即可為大正方形的邊長.（2)求出斜邊長即可.(3)一共有10個小正解析：（1）5；
；（2）
；
；（3）能,
．【分析】(1)易得5個小正方形的面積的和,那么就得到了大正方形的面積,求得面積的算術平方根即可為大正方形的邊長.(2)求出斜邊長即可.（3）一共有10個小正方形,那么組成的大正方形的面積為10,邊長為10的算術平方根,畫圖．【詳解】試題分析:解:(1)拼成的正方形的面積與原面積相等1×1×5=5,邊長為
,如圖(1）(2)斜邊長=
,故點A表示的數(shù)為:
;點A表示的相反數(shù)為:
（3）能,如圖拼成的正方形的面積與原面積相等1×1×10=10,邊長為
.考點：1.作圖—應用與設計作圖；2.圖形的剪拼.二、解答題6.(1)見解析;(2)55°;(3)【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可;（2）①如圖2,過點作,當點在點的左側時,根據(jù),,根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖解析:(1)見解析;(2)55°;(3)
【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可;(2)①如圖2,過點
作
,當點
在點
的左側時,根據(jù)
,
,根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求
的度數(shù);②如圖3,過點
作
,當點
在點
的右側時,
,
,根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求出
的度數(shù)．【詳解】解:(1)如圖1,過點
作
,則有，，，，；(2)①如圖2,過點
作
,有．，．．．即，
平分
,
平分
,，，．答:
的度數(shù)為
;②如圖3,過點
作
,有．，，．．．即，
平分
,
平分
,，，．答:
的度數(shù)為
.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質,解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.7．（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當點在上時,；當點在上時,．【分析】(1)過點作,根據(jù)平行線的性質即可求解;（2）分兩種情況：當點在上,當點在上,再過點作即可求解．【詳解】(1)證明:解析：（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當點
在
上時,
；當點
在
上時,
．【分析】(1)過點
作
,根據(jù)平行線的性質即可求解;（2）分兩種情況：當點
在
上,當點
在
上,再過點
作
即可求解．【詳解】(1)證明:如圖,過點
作
,∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴．(2)補全圖形如圖2.圖3,猜想:
或
.證明：過點
作
.∴．∵，∴∴，∴．∵
平分
,∴．如圖3,當點
在
上時,∵
平分
,∴，∵，∴，即．如圖2,當點
在
上時,∵
平分
,∴．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的基本性質、角平分線的基本性質及角的運算,解題的關鍵是準確作出平行線,找出角與角之間的數(shù)量關系.8．（1）①35°；（2）55°；（2）存在,或【分析】(1)①依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義,即可得到∠PCG的度數(shù);②依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義,即可得到∠ECG=∠GCF=20°解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在,
或
【分析】(1)①依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義,即可得到∠PCG的度數(shù);②依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義,即可得到∠ECG=∠GCF=20°,再根據(jù)PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=60°;（2）設∠EGC=3x,∠EFC=2x,則∠GCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當點G、F在點E的右側時,②當點G、F在點E的左側時,依據(jù)等量關系列方程求解即可．【詳解】解:(1)①∵AB∥CD,∴∠CEB+∠ECQ=180°,∵∠CEB=110°,∴∠ECQ=70°,∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝
∠QCF+
∠FCE＝
∠ECQ＝35°;②∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC,∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°,∴∠EGC+∠ECG=70°,又∵∠EGC-∠ECG=30°,∴∠EGC=50°,∠ECG=20°,∴∠ECG=∠GCF=20°,∠PCF＝∠PCQ＝
(70°?40°)＝15°,∵PQ∥CE,∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°.(2)52.5°或7.5°,設∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,①當點G、F在點E的右側時,∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC=3x°,∠QCF=∠EFC=2x°,則∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°,∴∠PCF＝∠PCQ＝
∠FCQ＝
∠EFC＝x°,則∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°,∵∠ECD=70°,∴4x=70°,解得x=17.5°,∴∠CPQ=3x=52.5°;②當點G、F在點E的左側時,反向延長CD到H,∵∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,∴∠GCH=∠EGC=3x°,∠FCH=∠EFC=2x°,∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°,∵∠CGF=180°-3x°,∠GCQ=70°+x°,∴180-3x=70+x,解得x=27.5,∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°,∴∠PCQ＝
∠FCQ＝62.5°,∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°,【點睛】本題主要考查了平行線的性質,掌握兩直線平行,同旁內角互補;兩直線平行,內錯角相等是解題的關鍵.9.（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】(1)通過平行線性質和直角三角形內角關系即可求解.(2)過點B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.(3）利用(2）的結論,結合角平分線性質解析:（1）
；（2）見解析；（3）105°【分析】(1)通過平行線性質和直角三角形內角關系即可求解.(2)過點B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.（3）利用（2）的結論,結合角平分線性質即可求解．【詳解】解:(1)如圖1,設AM與BC交于點O,∵AM∥CN,∴∠C＝∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠ABC＝90°,∴∠A＋∠AOB＝90°,∠A＋∠C＝90°,故答案為:∠A＋∠C＝90°;（2）證明：如圖2,過點B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,∴∠DBG＝90°,∴∠ABD＋∠ABG＝90°,∵AB⊥BC,∴∠CBG＋∠ABG＝90°,∴∠ABD＝∠CBG,∵AM∥CN,∴∠C＝∠CBG,∴∠ABD＝∠C;（3）如圖3,過點B作BG∥DM,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF＝∠CBF,∠DBE＝∠ABE,由(2)知∠ABD＝∠CBG,∴∠ABF＝∠GBF,設∠DBE＝α,∠ABF＝β,則∠ABE＝α,∠ABD＝2α＝∠CBG,∠GBF＝∠AFB＝β,∠BFC＝3∠DBE＝3α,∴∠AFC＝3α＋β,∵∠AFC＋∠NCF＝180°,∠FCB＋∠NCF＝180°,∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β,△BCF中,由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得:2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°,∵AB⊥BC,∴β＋β＋2α＝90°,∴α＝15°,∴∠ABE＝15°,∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°.故答案為：105°.【點睛】本題考查平行線性質,畫輔助線,找到角的和差倍分關系是求解本題的關鍵.10．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°,理由見解析；（3）【分析】(1)由非負性可求α,β的值,由平行線的性質和外角性質可求解;(2)過點E作直線EH∥AB,由角平分線的性質和平行解析：（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°,理由見解析；（3）
【分析】(1)由非負性可求α,β的值,由平行線的性質和外角性質可求解;(2)過點E作直線EH∥AB,由角平分線的性質和平行線的性質可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°,由角的數(shù)量可求解;（3）由平行線的性質和外角性質可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD,∠CPM＝2∠Q,即可求解．【詳解】解:(1)∵
+(β﹣60)2＝0,∴α＝30,β＝60,∵AB∥CD,∴∠AMN＝∠MND＝60°,∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°,∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°;(2)∠DEF+2∠CDF＝150°.理由如下：過點E作直線EH∥AB,∵DF平分∠CDE,∴設∠CDF＝∠EDF＝x°;∵EH∥AB,∴∠DEH＝∠EDC＝2x°,∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°;∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF,即∠DEF+2∠CDF＝150°;（3）如圖3,設MQ與CD交于點E,∵MQ平分∠BMT,QC平分∠DCP,∴∠BMT＝2∠PMQ,∠DCP＝2∠DCQ,∵AB∥CD,∴∠BME＝∠MEC,∠BMP＝∠PND,∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ,∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ,∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD,∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB,∴∠CPM＝2∠Q,∴∠Q與∠CPM的比值為
,故答案為：
.【點睛】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的性質,準確計算是解題的關鍵.三、解答題11.(1)②③;(2)相等,理由見解析;(3)30°或45°或75°或120°或135°【分析】(1)根據(jù)平行線的判定和性質分別判定即可;(2)利用角的和差,結合∠CAB=∠DAE=90°進行判斷解析：（1）②③；（2）相等,理由見解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°【分析】(1)根據(jù)平行線的判定和性質分別判定即可;(2)利用角的和差,結合∠CAB=∠DAE=90°進行判斷;（3）依據(jù)這兩塊三角尺各有一條邊互相平行,分五種情況討論,即可得到∠EAB角度所有可能的值．【詳解】解:(1)①∵∠BFD=60°,∠B=45°,∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°,∴∠BAD=105°-30°=75°,∴∠BAD≠∠B,∴BC和AD不平行,故①錯誤;②∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°,故②正確;③若BC∥AD,則∠BAD=∠B=45°,∴∠BAE=45°,即AB平分∠EAD,故③正確;故答案為:②③;（2）相等,理由是:∵∠CAD=150°,∴∠BAE=180°-150°=30°,∴∠BAD=60°,∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B,∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C;(3)若AC∥DE,則∠CAE=∠E=60°,∴∠EAB=90°-60°=30°;若BC∥AD,則∠B=∠BAD=45°,∴∠EAB=45°;若BC∥DE,則∠E=∠AFB=60°,∴∠EAB=180°-60°-45°=75°;若AB∥DE,則∠D=∠DAB=30°,∴∠EAB=30°+90°=120°;若AE∥BC,則∠C=∠CAE=45°,∴∠EAB=45°+90°=135°;綜上:∠EAB的度數(shù)可能為30°或45°或75°或120°或135°.【點睛】本題考查了平行線的判定和性質,角平分線的定義,解題的關鍵是理解題意,分情況畫出圖形,學會用分類討論的思想思考問題.12.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；.【分析】(1)過點C作,得到,再根據(jù),,得到,進而得到,最后證明;(2)先證明,再證明,得到,問題得證;(3）根據(jù)題意得到,根據(jù)(２）結論得到∠D解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；
.【分析】(1)過點C作
,得到
,再根據(jù)
,
,得到
,進而得到
,最后證明
;(2)先證明
,再證明
,得到
,問題得證;（3）根據(jù)題意得到
,根據(jù)（２）結論得到∠DEF=∠ECA=
,進而得到
,根據(jù)三角形內角和即可求解．【詳解】解:(1)過點C作
,，，，，，，，，
;（2）解：
,
,又，，，，，，；(3)如圖三角形DEF即為所求作三角形.∵，∴，由(2)得,DE∥AC,∴∠DEF=∠ECA=
,∵，∴∠ACB=
,∴，∴∠A=180°-
=
.故答案為為：
.【點睛】本題考查了平行線的判定,三角形的內角和等知識,綜合性較強,熟練掌握相關知識,根據(jù)題意畫出圖形是解題關鍵.13．（1）,見解析；（2）；（3）60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質得∠1＝∠BAE,∠2＝∠CDE,從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED;(2)如圖2,解析：（1）
,見解析；（2）
；（3）60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質得∠1＝∠BAE,∠2＝∠CDE,從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED;(2)如圖2,由(1)的結論得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF＝
∠BAE,∠CDF＝
∠CDE,則∠AFD＝
(∠BAE＋∠CDE),加上(1)的結論得到∠AFD＝
∠AED;（3）由（1）的結論得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG,利用折疊性質得∠CDG＝4∠CDF,再利用等量代換得到∠AGD＝2∠AED－
∠BAE,加上90°－∠AGD＝180°－2∠AED,從而可計算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】解:(1)
理由如下:作
,如圖1,，．，，；(2)如圖2,由(1)的結論得
,
、
的兩條平分線交于點F,，，，，；(3)由(1)的結論得
,而射線
沿
翻折交
于點G,，，，，．【點睛】本題考查了平行線性質:兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內角互補;兩直線平行,內錯角相等.14．（1）2α；（2）EF⊥PQ,見解析；（3）∠NEF＝∠AMP,見解析【分析】1)如圖①,過點P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,進而可得結論;(2)根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ,見解析；（3）∠NEF＝
∠AMP,見解析【分析】1)如圖①,過點P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,進而可得結論;(2)根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°,進而可得EF與PQ的位置關系;（3）結合（2）和已知條件可得∠QNE＝∠QEN,根據(jù)三角形內角和定理可得∠QNE＝
（180°﹣∠NQE）＝
（180°﹣3α）,可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,進而可得結論．【詳解】解:(1)如圖①,過點P作PR∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PR,∴∠AMP＝∠MPR＝α,∠PQN＝∠RPQ＝α,∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α;（2）如圖②,EF⊥PQ,理由如下：∵PQ平分∠MPN.∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α,∵QE∥PN,∴∠EQP＝∠NPQ＝2α,∴∠EPQ＝∠EQP＝2α,∵EF平分∠PEQ,∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF,∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°,∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°,∴∠EPQ+∠PEF＝90°,∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°,∴EF⊥PQ;（3）如圖③,∠NEF＝
∠AMP,理由如下：由(2)可知:∠EQP＝2α,∠EFQ＝90°,∴∠QEF＝90°﹣2α,∵∠PQN＝α,∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α,∵NE平分∠PNQ,∴∠PNE＝∠QNE,∵QE∥PN,∴∠QEN＝∠PNE,∴∠QNE＝∠QEN,∵∠NQE＝3α,∴∠QNE＝
（180°﹣∠NQE）＝
（180°﹣3α）,∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣
(180°﹣3α)＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α＝α＝
∠AMP.∴∠NEF＝
∠AMP.【點睛】本題考查了平行線的性質,角平分線的性質,熟悉相關性質是解題的關鍵.15.[探究]70°；[應用]35【分析】[探究]如圖②,根據(jù)AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度數(shù).[應用]如圖③所示,在[探究]的條件下,根據(jù)∠PEA的平分線解析:[探究]70°；[應用]35【分析】[探究]如圖②,根據(jù)AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度數(shù).[應用]如圖③所示,在[探究]的條件下,根據(jù)∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G,可得∠G的度數(shù)．【詳解】解:[探究]如圖②,過點P作PM∥AB,∴∠MPE=∠AEP=50°(兩直線平行,內錯角相等)∵AB∥CD(已知),∴PM∥CD(平行于同一條直線的兩直線平行),∴∠PFC=∠MPF=120°(兩直線平行,內錯角相等)．∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°(等式的性質).答:∠EPF的度數(shù)為70°;[應用]如圖③所示,∵EG是∠PEA的平分線,PG是∠PFC的平分線,∴∠AEG=
∠AEP=25°,∠GCF=
∠PFC=60°,過點G作GM∥AB,∴∠MGE=∠AEG=25°(兩直線平行,內錯角相等)∵AB∥CD(已知),∴GM∥CD(平行于同一條直線的兩直線平行),∴∠GFC=∠MGF=60°(兩直線平行,內錯角相等）．∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°.答:∠G的度數(shù)是35°.故答案為：35.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質、平行公理及推論,解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.四、解答題16.(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,∠AQB＝135°;(2)∠P和∠C的大小不變,∠P=45°,∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和,由角平分線和角的和差可求出∠BA解析：(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不變,∠P=45°,∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和,由角平分線和角的和差可求出∠BAQ與∠ABQ的和,最后在△ABQ中,根據(jù)三角形的內角各定理可求∠AQB的大小.第(2)題求∠P的大小,用鄰補角、角平分線、平角、直角和三角形內角和定理等知識求解．【詳解】解:(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,如圖1所示,其原因如下:∵m⊥n,∴∠AOB＝90°,∵在△ABO中,∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°,∴∠ABO+∠BAO＝90°,又∵AQ、BQ分別是∠BAO和∠ABO的角平分線,∴∠BAQ＝
∠BAC,∠ABQ＝
∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝(∠ABO+∠BAO)＝又∵在△ABQ中,∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°,∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°.(2)如圖2所示:①∠P的大小不發(fā)生變化,其原因如下:∵∠ABF+∠ABO＝180°,∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°,∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°,又∵AP、BP分別是∠BAE和∠ABP的角平分線,∴∠PAB＝
∠EAB,∠PBA＝
∠ABF,∴∠PAB+∠PBA＝
(∠EAB+∠ABF)＝
×270°＝135°,又∵在△PAB中,∠P+∠PAB+∠PBA＝180°,∴∠P＝180°﹣135°＝45°.②∠C的大小不變,其原因如下:∵∠AQB＝135°,∠AQB+∠BQC＝180°,∴∠BQC＝180°﹣135°,又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝
∠ABO,∠PBA＝∠PBF＝∠ABF,∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°,又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°,∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°.又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°,∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°【點睛】本題考查三角形內角和定理,垂直,角平分線,平角,直角和角的和差等知識點,同時,也是一個以靜求動的一個點型題目,有益于培養(yǎng)學生的思維幾何綜合題.17．（1）∠AEB的大小不會發(fā)生變化,∠ACB=45°；（2）30°,60°；（3）60°或72°．【分析】(1)由直線MN與直線PQ垂直相交于O,得到∠AOB＝90°,根據(jù)三角形的外角的性質得到∠解析：（1）∠AEB的大小不會發(fā)生變化,∠ACB=45°；（2）30°,60°；（3）60°或72°．【分析】(1)由直線MN與直線PQ垂直相交于O,得到∠AOB＝90°,根據(jù)三角形的外角的性質得到∠PAB+∠ABM＝270°,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC＝
∠PAB,∠ABC＝
∠ABM,于是得到結論;(2)由于將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,得到∠CAB＝∠BAQ,由角平分線的定義得到∠PAC＝∠CAB,即可得到結論;根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,得到∠ABC＝∠ABN,由于BC平分∠ABM,得到∠ABC＝∠MBC,于是得到結論;（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可得出∠E與∠ABO的關系,由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF＝90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的
倍分情況進行分類討論即可．【詳解】解:(1)∠ACB的大小不變,∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,∴∠AOB＝90°,∴∠OAB+∠OBA＝90°,∴∠PAB+∠ABM＝270°,∵AC.BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線,∴∠BAC＝
∠PAB,∠ABC＝
∠ABM,∴∠BAC+∠ABC＝
(∠PAB+∠ABM)＝135°,∴∠ACB＝45°;(2)∵將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,∴∠CAB＝∠BAQ,∵AC平分∠PAB,∴∠PAC＝∠CAB,∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°,∵∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∵將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,∴∠ABC＝∠ABN,∵BC平分∠ABM,∴∠ABC＝∠MBC,∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN,∴∠ABO＝60°,故答案為:30°,60°;(3）∵AE、AF分別是∠BAO與∠GAO的平分線,∴∠EAO＝
∠BAO,∠FAO＝
∠GAO,∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝
(∠BOQ﹣∠BAO)＝
∠ABO,∵AE.AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線,∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝
(∠BAO+∠GAO）＝90°.在△AEF中,∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,∴∠EAO=
∠BAO,∠EOQ=
∠BOQ,∴∠E=∠EOQ-∠EAO=
(∠BOQ-∠BAO)=
∠ABO,∵有一個角是另一個角的
倍,故有:①∠EAF＝
∠F,∠E＝30°,∠ABO＝60°;②∠F＝
∠E,∠E＝36°,∠ABO＝72°;③∠EAF＝
∠E,∠E＝60°,∠ABO＝120°(舍去);④∠E＝
∠F,∠E＝54°,∠ABO＝108°（舍去）;∴∠ABO為60°或72°.【點睛】本題主要考查的是角平分線的性質以及三角形內角和定理的應用.解決這個問題的關鍵就是要能根據(jù)角平分線的性質將外角的度數(shù)與三角形的內角聯(lián)系起來,然后再根據(jù)內角和定理進行求解.另外需要分類討論的時候一定要注意分類討論的思想.18．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α）,理由見解析；（4）360°.【分析】(1)以M為交點的"8字形"有1個,以O為交點的"8字形"有2個;(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=
（β+2α）,理由見解析；（4）360°.【分析】(1)以M為交點的"8字形"有1個,以O為交點的"8字形"有2個;(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根據(jù)三角形內角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,兩等式相減得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=
(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入計算即可;(3）與(2）的證明方法一樣得到∠P=
(2∠C+∠B）.（4）根據(jù)三角形內角與外角的關系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根據(jù)四邊形內角和為360°可得答案．【詳解】解:(1)在圖2中有3個以線段AC為邊的"8字形",故答案為3;(2)∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P,∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=
(∠C+∠B),∵∠C=100°,∠B=96°∴∠P=
(100°+96°)=98°;(3)∠P=
(β+2α);理由:∵∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,∴∠BAP=
∠BAC,∠BDP=
∠BDC,∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,∴∠C﹣∠P=
∠BDC﹣
∠B