第五節(jié)大數(shù)定律和中心極限定理一、大數(shù)定律二、中心極限定理

定理6-7(伯努利大數(shù)定律）設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任意的，有

定理6-8(切比雪夫大數(shù)定理)設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從同一分布,他們具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，

令則對(duì)任意的，有

一、大數(shù)定律

注意:

在實(shí)踐中，不僅事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，還有大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.

伯努利大數(shù)定律表明:n充分大,通過隨機(jī)試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率可作為該事件的相應(yīng)的概率的估計(jì).

切比雪夫大數(shù)定律表明:n充分大,經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量可作為數(shù)學(xué)期望的估計(jì).二、中心極限定理

定理6-9表明:n充分大,隨機(jī)變量就近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

定理6-9設(shè)是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,則當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有其中

定理6-10設(shè)隨機(jī)變量,其中則對(duì)任意的有

定理6-10表明:當(dāng)n較大時(shí),有關(guān)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的運(yùn)算.

當(dāng)隨機(jī)變量取整數(shù)值k時(shí)(即),應(yīng)理解為一個(gè)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)以k為中心、長(zhǎng)度為1的區(qū)間中取值,即類似地

例6-34某種疾病的患病率為p=0.005，現(xiàn)對(duì)10000人進(jìn)行普查，試求檢查出的患者數(shù)在45人至55人之間的概率.解:設(shè)患病人數(shù)為,則,且由中心極限定理,得

注意:當(dāng)n充分大時(shí),二項(xiàng)分布也近似于泊松分布,因而泊松分布也能用正態(tài)分布來近似,泊松分布的方差為,因此有下面的近似公式.本例中,所以

例6-35旅客買一份旅行保險(xiǎn)交保險(xiǎn)費(fèi)20元,如果在旅行中遇事故而身亡,保險(xiǎn)公式向家屬賠付20萬元.設(shè)這一類傷亡事故的發(fā)生率為p=0.000081,假定這一年賣出了100萬份保險(xiǎn),若不計(jì)保險(xiǎn)公司的運(yùn)營成本,求(1)保險(xiǎn)公司賠本的概率;(2)保險(xiǎn)公司賺到500萬元的概率.

解:由題設(shè)條件,保險(xiǎn)公司收入了2000萬元.假如發(fā)生賠付人,則當(dāng)時(shí),保險(xiǎn)公司賠本;當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)公司至少賺到500萬元.這里服從二項(xiàng)分布,取,把當(dāng)