第四章多元函數(shù)微積分第四章多元函數(shù)微積分理解二元函數(shù)(functionoftwovariables)的概念、連續(xù)、間斷點(diǎn)與極限；熟練掌握求二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)(partialderivative)及全微分熟練掌握求二元函數(shù)的無條件極值理解二重積分(doubleintegrals)的概念.熟練掌握在直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)系下計算二重積分二次曲面、條件極值、最小二乘法和二重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用不要求

第1節(jié)多元函數(shù)

了解空間直角坐標(biāo)系理解二元函數(shù)的概念、連續(xù)、間斷點(diǎn)、極限掌握平面區(qū)域的表示法橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手法則一、空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)軸X上點(diǎn)P軸Y上點(diǎn)Q軸Z上點(diǎn)R空間的點(diǎn)M向量的坐標(biāo)式空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為

曲面方程（EquationsforaSurface)：

定義：在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)有曲面S與三元方程

則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程。1）曲面S

上任一點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)均滿足F(x,y,z)=0;方程曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形。2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)均不滿足方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0,若滿足解：設(shè)M(x,y,z)為球面上的任意一點(diǎn)，則例2設(shè)有點(diǎn)解：設(shè)M(x,y,z)為中垂面面上的任意一點(diǎn)，例1建立球心在點(diǎn)半徑為R的球面方程。求線段AB的垂直平分面.柱面

定曲線C為柱面的準(zhǔn)線定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.動直線L為柱面的母線柱面方程

xyz0平面方程平面方程空間曲線空間直線二、多元函數(shù)基本概念

例1理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出（其中R是比例常數(shù)）

例2三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出這兩個例子的實(shí)質(zhì)是依賴于多個變量的函數(shù)關(guān)系。一元函數(shù)的定義設(shè)數(shù)集

,則稱映射f：為定義在D上的函數(shù)(function).記為:變量x

稱為自變量(independentvariable);變量y

稱為因變量(dependentvariable);因變量與自變量間的依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系;類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二元函數(shù)的定義

定義域自變量因變量鄰域鄰域區(qū)域區(qū)域例平面點(diǎn)集E區(qū)域設(shè)D是開集，如果對于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用屬于D內(nèi)的折線連接起來，則稱開集是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域區(qū)域?qū)τ谄矫纥c(diǎn)集E，如果存在某一正數(shù)r，例1

求的定義域解所求定義域為例2

求的定義域。解所求定義域為用不等式表示區(qū)域

二元函數(shù)的圖形y=f(x)是平面上的一條曲線。說明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如0xz

yD半球面一元函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x以任意方式無限地趨近于時,若函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A,則稱:當(dāng)時,函數(shù)f(x)以A為極限.記為:三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的極限注意：（2）定義中的方式是任意的；（3）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（1）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二重極限不同于二次極限例1

求極限解其中多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用一元函數(shù)求極限的法則例2證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．一元函數(shù)連續(xù)的定義2.二元函數(shù)的連續(xù)性1）定義2)間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿足下列一條）：例3討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．多元初等函數(shù)：由常數(shù)和含有多個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域是連續(xù)的．初等函數(shù):例4解例5解baf(b)Cf(x)f(a)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

bf(x)aabyx二元函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)有限個連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍是連續(xù)函數(shù)在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商還是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)，在D上一定能取到最大值和最小值；（最值定理）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任意值至少一次(介值定理)可以推廣到n元函數(shù)思考判斷題不能。無數(shù)條不能代表任意方式

第1節(jié)多元函數(shù)小結(jié)

空間直角坐標(biāo)系二元函數(shù)的概念、連續(xù)、間斷點(diǎn)、極限平面區(qū)域的表示法相關(guān)習(xí)題：習(xí)題4：1～5.第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分(Partialderivative&totaldifferentiation)

目的與要求理解偏導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義熟練掌握求二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)理解全微分的概念并會求二元函數(shù)的全微分一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義

問題的提出一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限，它刻畫了函數(shù)對于自變量的變化率。對于多元函數(shù)來說，雖然自變量的個數(shù)增多了，我們?nèi)匀豢梢钥紤]函數(shù)對某一個自變量的變化率，亦即其中一個自變量發(fā)生變化，而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對于該自變量的變化率。

比如：一定量理想氣體的體積V，壓強(qiáng)P與絕對溫度T之間存在著某種聯(lián)系，我們可以在等溫條件下，考察體積對于壓強(qiáng)的變化率。

多元函數(shù)對某一個自變量的變化率引出了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如三元函數(shù)在處解解證解例4求的偏導(dǎo)數(shù)將y和z都看作常量，對變量x求導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)自變量x,y,z在表達(dá)式中的對稱性，立即寫出已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))

求證

;

偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號

不能看作分子分母之商解：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)

(Partialderivativesofhigherorder)

純偏導(dǎo)解結(jié)論：混合偏導(dǎo)數(shù)并不都是相等的.一元函數(shù)的微分

全增量的概念在許多實(shí)際問題中，我們需要研究函數(shù)形如例如：已知矩形的邊長和由變?yōu)椋芯烤匦蚊娣eS的全增量解：四、全微分

(Totaldifferential)線性主部無窮小量

全微分的定義

可微的條件證明總成立,同理可得記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)

通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．對x的偏微分對y的偏微分一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，定理：如果函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分解所求全微分解偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分小結(jié)全微分第3節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則目的與要求掌握二元函數(shù)的三種不同形式及鏈?zhǔn)椒▌t,并會求各種形式的偏導(dǎo)數(shù)或全微分掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)

問題的提出這一法則稱為一元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則.現(xiàn)在，我們要將這一法則推廣到多元復(fù)合函數(shù).一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.復(fù)合函數(shù)的中間變量都是多元函數(shù)的情形鏈?zhǔn)椒▌t如圖示沿線相乘，分線相加解推論2.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形即其中zuxxyy2.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形即其中兩者的區(qū)別zuxxyy設(shè)z=f(x,y)可微，且可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)對t可導(dǎo),且zxyt全導(dǎo)數(shù)對t3.復(fù)合函數(shù)的中間變量都是一元函數(shù)的情形zuvx上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).解二元函數(shù)的全微分形式不變性二元函數(shù)的全微分形式不變性二元函數(shù)的全微分形式不變性二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(Implicitdifferentiation)

在一元函數(shù)微分學(xué)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且通過舉例的方法指出了不經(jīng)過顯化直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。一個方程的情形(Oneequation)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）.

一元隱函數(shù)根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，方程兩邊對x求導(dǎo)解令則（2）二元隱函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（三種情形）隱含數(shù)求導(dǎo)法則第3節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與

隱含數(shù)求導(dǎo)法則小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)的中間變量都是多元函數(shù)的情形zuxxyy2.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形其中設(shè)z=f(x,y)可微，且可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)對t可導(dǎo),且對t3.復(fù)合函數(shù)的中間變量都是一元函數(shù)的情形zxyt隱函數(shù)的求導(dǎo)法則第4節(jié)多元函數(shù)的極值目的與要求明確二元函數(shù)取得極值的充分必要條件熟練掌握求二元函數(shù)的無條件極值定義：如果函數(shù)f(x)在x0處及其鄰域內(nèi)有定義，并且恒有：一元函數(shù)極值如果函數(shù)f(x)在x0處及其鄰域內(nèi)有定義并且恒有：可導(dǎo)函數(shù)極值必要條件求極值的方法1.求出一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))及不可導(dǎo)點(diǎn),由第一判別法進(jìn)行判斷;2.求二階導(dǎo)函數(shù),由第二判別法進(jìn)行判斷;1.二元函數(shù)極值的定義一、二元函數(shù)極值(1)(2)例1例２例：z=xy在(0,0)點(diǎn)既不是極大值也不是極小值2.二元函數(shù)取得極值的條件仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)問題：如何判定一個駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：說明對于偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，也可能是極值點(diǎn)。1）求函數(shù)在D內(nèi)的所有“駐點(diǎn)”和“一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)”處的函數(shù)值2）求函數(shù)在D的邊界上的最大值和最小值一般很難。若根據(jù)實(shí)際問題可確定D內(nèi)一定有最值，而函數(shù)在D內(nèi)有唯一極值，則該極值就是最值。3）比較各函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法：3.有界閉區(qū)域上多元函數(shù)的最值例4

某廠要用鐵板做成一個體積為2的有蓋長方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最?。拷猓涸O(shè)水箱的長為x,寬為y,則其高為此水箱的用料面積x2/(xy)y時，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說，當(dāng)水箱的長、寬、高均為時，水箱所用的材料最省。24cmxα24-2x24-2x+2xcosααxxsinα24-2x24-2x+2xcosααxxsinα第5節(jié)二重積分

(doubleintegral)目的與要求理解二重積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握在直角坐標(biāo)系下計算二重積分.熟練利用極坐標(biāo)計算二重積分二重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂（1）曲頂柱體的體積1.問題的提出一、重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，

z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界閉區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D的邊界線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸。如何求其體積？播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示

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求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，?D

z

=f(x,y)yxz(1)分割(2)近似(3)作和(4)取極限令將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量（2）求平面薄片的質(zhì)量曲頂柱體體積：

定義1

設(shè)f(x,y)是有界閉域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個小區(qū)域存在，則稱其為f(x,y)在D上的二重積分，記為2.二重積分的概念其中

i表示第i個小區(qū)域，也表示它的面積。在每個小區(qū)域中任取(

i

,

i)，作積、作和，若極限積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量面積元素積分曲頂柱體體積對二重積分定義的說明：平面薄片的質(zhì)量(1)二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和點(diǎn)選取是任意的。(2)當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在。定積分：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積。當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值。若位于xoy面上方柱體的體積為正值；位于xoy面下方柱體的體積為負(fù)值，二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。定積分幾何意義“曲邊梯形面積的代數(shù)和”

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為則面積元素為積分變量二重積分的具體形式Ddxdy性質(zhì)１（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）3.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)２3.二重積分的性質(zhì)定積分性質(zhì)：性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性3.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)４D的面積性質(zhì)５二重積分：性質(zhì)６（估值定理）性質(zhì)７（積分中值定理）定積分的性質(zhì)7).

按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限

然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的。

那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:

問題的提出二重積分的計算法利用直角坐標(biāo)計算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1.積分域D:如果積分區(qū)域為：（1）X-型域［X－型］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個；b、c、平行于y軸的直線穿過區(qū)域時，穿入、穿出曲線是唯一的。利用直角坐標(biāo)計算二重積分用不等式表示平面區(qū)域（2）Y-型域：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個。b、c、平行于x軸的直線穿過區(qū)域時，穿入、穿出曲線是唯一的。（3）矩型域：Oabdc

１.X-型域下二重積分的計算:

由幾何意義，若?(x,y)≥0，則xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為yZ

注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上式說明:二重積分可化為二次定積分計算;2）積分次序:X-型域先y后x;3）積分限確定法:域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：用平行于y軸直線穿過該區(qū)域xZ２.Y-型域下二重積分的計算：同理：２.Y-型域下二重積分的計算：同理：［Y－型域］

1）積分次序:Y-型域,先x后y;

2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:

域中一線插,內(nèi)限定左右，域邊兩線夾，外限依靠它。３.矩形域下二重積分的計算：

D:解：解：［X－型］［Y－型］

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。４.利用直角坐標(biāo)系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）判斷積分域類型,確定積分次序(先y后x,還是先x后y)；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果。例２解：X-型例３解：（如圖）將D作Y型-12?按先y后x的方法如何計算呢注:按先y后