晶格振動(dòng)

3.5.2頻譜密度如果知道g(ω)，積分是可以計(jì)算的。定義：dn為頻率在ω到ω+dω范圍內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)目

第三章晶格振動(dòng)如第j支格波的頻譜密度為gj(ω)，則有：

原則上，知道了ω(q)，也就知道了G(ω)

第三章晶格振動(dòng)可以由晶格振動(dòng)譜求出格波的頻譜密度g(ω)。在q空間，ω(q)=Constant，確定了一個(gè)等頻面，故在ω~ω+dω之間的振動(dòng)模式數(shù)目就等于ω(q)及ω(q)+dω(q)兩個(gè)等頻面之間q代表的點(diǎn)的數(shù)目第三章晶格振動(dòng)已經(jīng)知道：

由于N很大，可以認(rèn)為qi是準(zhǔn)連續(xù)分布注意：q是局限在第一布里淵區(qū)

第三章晶格振動(dòng)第一布里淵區(qū)在波矢（倒格子）空間的體積為倒格子原胞的體積：

Ω為正格子原胞的體積。

第三章晶格振動(dòng)N個(gè)波矢在q空間的分布密度為：

V為晶體的體積

在q空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度兩個(gè)等頻率面和之間的振動(dòng)模式數(shù)目

頻率是q的連續(xù)函數(shù)根據(jù)做出一個(gè)等頻率面之間振動(dòng)模式數(shù)目第三章晶格振動(dòng)故有頻譜密度的一般表達(dá)式：由此可知:知道了色散關(guān)系，就可以求出模式密度

與書中(3.56)差一個(gè)V；表示這里是總頻譜密度；書中是單位體積內(nèi)的頻譜密度第三章晶格振動(dòng)如何求頻譜密度，先看一個(gè)例子。例1：試求一維單原子鏈的頻譜密度解：

設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度

波矢取值每個(gè)波矢的寬度h=1,2,3…..N第三章晶格振動(dòng)

狀態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)

對(duì)應(yīng)±q,ω取值相同dω間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目

第三章晶格振動(dòng)

一維單原子鏈色散關(guān)系令

第三章晶格振動(dòng)

注意因而所以第三章晶格振動(dòng)

第三章晶格振動(dòng)

狀態(tài)密度或頻譜密度，與群速度的倒數(shù)成正比——也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來計(jì)算狀態(tài)密度振動(dòng)模式密度例2：色散關(guān)系

q空間的等頻率面是一個(gè)球面，球面面積振動(dòng)模式密度——三維情形二維情況，等頻率是一個(gè)圓一維情況振動(dòng)模式密度如果色散關(guān)系三維情況振動(dòng)模式密度二維情況振動(dòng)模式密度一維情況振動(dòng)模式密度在

的一些點(diǎn)奇點(diǎn)——

范霍夫奇點(diǎn)，是晶體中一些高對(duì)稱點(diǎn)__布里淵區(qū)邊界——

這些臨界點(diǎn)與晶體的對(duì)稱性密切相聯(lián)第三章晶格振動(dòng)若將3p支格波考慮在內(nèi)，總的頻譜密度為：其中ωλ表第λ支格波。晶體中振動(dòng)模式數(shù)等于晶體中原子的總自由度，則有：第三章晶格振動(dòng)

引入了模式密度g(ω)后，系統(tǒng)能量就可寫成：

第三章晶格振動(dòng)則定容比熱為：

可見，要求比熱關(guān)鍵是要知道頻譜密度。第三章晶格振動(dòng)上述結(jié)論對(duì)理想的連續(xù)的介質(zhì)是符合的，因?yàn)槔硐氲倪B續(xù)的介質(zhì)包含無限的自由度。但是實(shí)際的晶體只有N個(gè)原子，只包含3N個(gè)自由度。第三章晶格振動(dòng)

Debye認(rèn)為當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于原子間距時(shí)，可以應(yīng)用宏觀理論的結(jié)果；但波長(zhǎng)很短時(shí)（小于原子間距），則宏觀理論會(huì)產(chǎn)生很大的偏差。第三章晶格振動(dòng)Debye使用一個(gè)簡(jiǎn)單辦法處理：他假設(shè)格波有一個(gè)最大的頻率ωm

，而ω大于ωm的短波實(shí)際上是不存在。

第三章晶格振動(dòng)要求：對(duì)三維復(fù)式格子，晶體有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞有n個(gè)原子，則總的簡(jiǎn)正振動(dòng)模式數(shù)目為3nN:

第三章晶格振動(dòng)因此晶體系統(tǒng)的熱容為：

第三章晶格振動(dòng)但g(ω)太復(fù)雜，不便計(jì)算。考慮幾種情況：1、高溫極限當(dāng)?shù)谌戮Ц裾駝?dòng)注意：運(yùn)用展開式：

第三章晶格振動(dòng)因此：一般設(shè):并略去高階項(xiàng)第三章晶格振動(dòng)故有：

第三章晶格振動(dòng)即高溫極限下晶體熱容與溫度無關(guān)。為杜隆—帕替定律在時(shí)，量子效應(yīng)不明顯，可以用經(jīng)典理論處理問題。第三章晶格振動(dòng)2、低溫極限當(dāng)

第三章晶格振動(dòng)因此低溫下晶體熱容與溫度有關(guān)：

第三章晶格振動(dòng)對(duì)于三維晶體，頻譜或色散關(guān)系已很難求得，頻譜密度就更不易計(jì)算。為此，人們提出了一些簡(jiǎn)化模型，主要有愛因斯坦模型和德拜模型。

第三章晶格振動(dòng)3.5.3愛因斯坦模型愛因斯坦假設(shè)晶體中的原子具有相同的振動(dòng)，頻率一樣，都為ωE（愛因斯坦頻率）即為在空間自由振動(dòng)的N個(gè)獨(dú)立振子。第三章晶格振動(dòng)N為原子數(shù)；3N為振動(dòng)模式的總數(shù)。

第三章晶格振動(dòng)為簡(jiǎn)化表達(dá)式，定義：

第三章晶格振動(dòng)fE稱為愛因斯坦比熱函數(shù)。定義愛因斯坦溫度為：

第三章晶格振動(dòng)故有：當(dāng)溫度較高時(shí)：即

第三章晶格振動(dòng)故有：

第三章晶格振動(dòng)故有：即：

第三章晶格振動(dòng)當(dāng)即

第三章晶格振動(dòng)因此：即當(dāng)T→0時(shí)，CV將隨T的指數(shù)地趨近于零。金剛石理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

第三章晶格振動(dòng)但理論計(jì)算與實(shí)際T3律不符，原因在于愛因斯坦模型過于簡(jiǎn)單。他將固體中各原子的振動(dòng)看成相互獨(dú)立的，因而3N個(gè)振動(dòng)頻率是相同的。

實(shí)際上原子振動(dòng)會(huì)帶動(dòng)鄰近的原子振動(dòng)而使全體原子振動(dòng)采取格波形式。格波的頻率并不完全相同，而是有一個(gè)分布。

第三章晶格振動(dòng)此外，由愛因斯坦溫度估計(jì)出的愛因斯坦頻率ωE大約相當(dāng)于光學(xué)支頻率，而在甚低溫下，被激發(fā)的主要是長(zhǎng)聲學(xué)格波。愛因斯坦把所有的格波都視為光學(xué)波，實(shí)際上就沒考慮長(zhǎng)聲學(xué)波對(duì)甚低溫比熱的主要貢獻(xiàn)，因此，導(dǎo)致了在甚低溫下，比熱理論值與實(shí)驗(yàn)值不符?？梢姡忉屔醯蜏叵碌木Ц癖葻幔瑧?yīng)主要考慮長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。第三章晶格振動(dòng)3.5.3Debye模型Debye認(rèn)為晶體可以看成是連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，但晶體中的格波的頻率應(yīng)該有一個(gè)分布。按照彈性波理論，對(duì)一個(gè)波矢q，總有一個(gè)縱波：cl為縱波波速

第三章晶格振動(dòng)兩個(gè)橫波：ct為縱波波速按照周期性邊界條件，q在q空間形成均勻分布的點(diǎn)子。在體積元dq=dqxdqydqz中，q的數(shù)目為：V為晶體的體積第三章晶格振動(dòng)振動(dòng)模在q空間的分布：

dqqqxqydq=dqxdqydqz第三章晶格振動(dòng)可以把V/(2

)3看成是均勻分布的q的密度。對(duì)縱波：在ω到ω+dω內(nèi)，波矢為：在q空間占據(jù)半徑為q，厚度為dq的球殼

第三章晶格振動(dòng)縱波的數(shù)目為：橫波的數(shù)目為：第三章晶格振動(dòng)總的頻率分布函數(shù)為：

第三章晶格振動(dòng)對(duì)N個(gè)原胞的單原子晶體，有3N個(gè)自由度:

第三章晶格振動(dòng)因此有：

第三章晶格振動(dòng)因此：第三章晶格振動(dòng)定義Debye溫度為：注意：

第三章晶格振動(dòng)因此有：

第三章晶格振動(dòng)

經(jīng)整理：

第三章晶格振動(dòng)

進(jìn)一步簡(jiǎn)化：

第三章晶格振動(dòng)

故有：

第三章晶格振動(dòng)

在低溫極限下：

第三章晶格振動(dòng)因此在溫度極低時(shí)：

第三章晶格振動(dòng)在低溫下CV與T3成正比，稱為德拜T3定律。實(shí)際上，德拜T3定律只適用于

第三章晶格振動(dòng)在德拜模型中，德拜溫度θD由實(shí)驗(yàn)確定。一是由實(shí)驗(yàn)測(cè)定聲速v，再由（3.71）和（3.72）式定θD；二是測(cè)出固體比熱，再由（3.73）式確定θD。在低溫下，這二種方法得到的θD是很接近的。第三章晶格振動(dòng)在德拜模型中，θD應(yīng)是一常數(shù)，不隨溫度而變，但由CV在不同溫度下的值，并據(jù)（3.73）式求得的θD，卻與溫度微微有關(guān)。德拜模型仍然過于簡(jiǎn)化，它忽略了光學(xué)波和短聲學(xué)波對(duì)比熱的貢獻(xiàn)。這兩種波是色散波，頻率與波矢的關(guān)系不是德拜模型中的線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系。第三章晶格振動(dòng)因此，要準(zhǔn)確地得出CV與T的關(guān)系，必須用晶體真實(shí)的頻譜密度g(ω)。它與簡(jiǎn)單的愛因斯坦模型和德拜型的g(ω)是不一樣的。

德拜近似頻率/1012s－1246121416態(tài)密度硅的聲子態(tài)密度第三章晶格振動(dòng)

固體元素的德拜溫度：

元素元素Ag225Hg71.9Al428K91B1250Li344Be1440Na158金剛石2230W400第三章晶格振動(dòng)§3.6非諧效應(yīng)(AnhamonicEffections)熱導(dǎo)率3.6.1熱傳導(dǎo)的物理本質(zhì)前面對(duì)晶格振動(dòng)的研究都是建立在簡(jiǎn)諧近似的基礎(chǔ)上，即認(rèn)為原子振動(dòng)是微振動(dòng)，勢(shì)能展開式只保留二次項(xiàng)，而忽略了三次以及以上的各非諧項(xiàng)，這樣晶格振動(dòng)就表現(xiàn)為3pN個(gè)獨(dú)立的諧振子。第三章晶格振動(dòng)這些獨(dú)立的諧振子之間不會(huì)有相互作用，沒有能量交換，諧振子的能量量子—聲子之間也不會(huì)發(fā)生碰撞而互相轉(zhuǎn)換。系統(tǒng)不改變?cè)瓉淼臓顟B(tài)，原來處于非平衡態(tài)的體系不會(huì)變成平衡體系，即無法實(shí)現(xiàn)熱平衡。簡(jiǎn)諧近似理論也不能解釋熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，因?yàn)閿y帶熱流的聲子在傳播過程中如不與其它聲子碰撞，就無熱阻可言，熱導(dǎo)率就會(huì)無窮大，這顯然與晶體熱導(dǎo)率有限的事實(shí)不符。第三章晶格振動(dòng)簡(jiǎn)諧近似理論還不能解釋晶體熱膨脹以及喇曼散射中多聲子過程等現(xiàn)象。要正確解釋上述現(xiàn)象，應(yīng)該考慮勢(shì)能展開式中三次和更高次的非諧項(xiàng)的貢獻(xiàn)。第三章晶格振動(dòng)非諧項(xiàng)的作用可看成是對(duì)簡(jiǎn)諧近似所得獨(dú)立聲子系統(tǒng)的微擾，因而哈密頓量中必包含有簡(jiǎn)正坐標(biāo)的交叉項(xiàng)。這樣，聲子之間就存在相互作用，各種與非平衡態(tài)向平衡態(tài)轉(zhuǎn)變有關(guān)的現(xiàn)象就可在此基礎(chǔ)上得到解釋。在這一節(jié)中，我們首先討論熱導(dǎo)率這種非諧效應(yīng)。第三章晶格振動(dòng)當(dāng)固體兩端溫度不同時(shí)，熱流就會(huì)從高溫端流向低溫端，實(shí)驗(yàn)表明，能流密度Q正比于溫度梯度，即 （3.78）其比例系數(shù)就是熱導(dǎo)率，它表征晶體傳輸熱能的能力。取正值，式中負(fù)號(hào)表熱能流密度與溫度梯度方向相反。第三章晶格振動(dòng)對(duì)絕緣晶體，熱傳導(dǎo)是由聲子的傳播來完成的。在沒有溫度梯度時(shí)，各種q的聲子在各方向作無規(guī)運(yùn)動(dòng)，故晶體內(nèi)不會(huì)有宏觀的定向熱流，也就沒有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。當(dāng)晶體中有溫度梯度時(shí)，據(jù)（3.42）式，高溫區(qū)聲子數(shù)多，就會(huì)向低溫區(qū)擴(kuò)散，擴(kuò)散過程中聲子會(huì)受到頻繁的碰撞（散射）。第三章晶格振動(dòng)通常把聲子前后兩次碰撞間走過的平均距離叫平均自由程l，采取和經(jīng)典氣體分子運(yùn)動(dòng)論中處理熱傳導(dǎo)相同的方法，對(duì)聲子氣體，熱導(dǎo)率為：其中Cv是晶格比熱，它與溫度的關(guān)系在上一節(jié)已經(jīng)清楚。v是布里淵區(qū)中全部占據(jù)態(tài)（聲子）的平均速度，它基本上與溫度無關(guān)。平均自由程l顯然與溫度密切有關(guān)。第三章晶格振動(dòng)熱導(dǎo)率與溫度的關(guān)系，須了解平均自由程與溫度的關(guān)系。聲子受到碰撞和散射決定了它的平均自由程。聲子散射機(jī)制有多種：聲子之間的散射；聲子受到晶體缺陷，如點(diǎn)缺陷、面缺陷等的散射；聲子受樣品邊界的散射。第三章晶格振動(dòng)3.4.2正常過程與倒逆過程聲子之間的碰撞應(yīng)遵循能量和準(zhǔn)動(dòng)量守恒定律。設(shè)兩個(gè)聲子的頻率和波矢分別為：ω1，q1，ω2，q2，碰撞產(chǎn)生的第三個(gè)聲子頻率和波矢為ω3，q3，則有：第三章晶格振動(dòng)此處G是倒格矢。當(dāng)碰撞后產(chǎn)生的聲子（波矢為q3）位于第一布里淵區(qū)內(nèi)，則G=0，這種碰撞過程叫正常過程，也叫N過程。N過程中，聲子碰撞前后系統(tǒng)準(zhǔn)動(dòng)量相等，即散射不會(huì)引起系統(tǒng)的動(dòng)量改變，因此不會(huì)改變熱流方向而產(chǎn)生熱阻，所以N過程對(duì)熱阻沒有貢獻(xiàn)。第三章晶格振動(dòng)

圖3.8倒逆過程第三章晶格振動(dòng)但如果q3超出了第一布里淵區(qū)，則由于q與q+G在物理上是等價(jià)的，超出第一布里淵區(qū)的q并無新的物理意義，我們可以將它約化到第一布里淵區(qū)中來研究。這樣，如圖3.8所示，我們用q4=q3-G表示約化進(jìn)第一布里淵區(qū)的波矢。第三章晶格振動(dòng)顯然，q4與q1和q2方向相反。因此，G≠0的聲子碰撞過程叫倒逆過程，也叫U過程。U過程由于造成了聲子準(zhǔn)動(dòng)量和熱流反向，是造成熱阻的和影響平均自由程l極重要的原因。

第三章晶格振動(dòng)在高溫下（T>>θD），可得：第三章晶格振動(dòng)由于平均自由程與碰撞幾率，因而和聲子數(shù)成反比，故有： （3.82）高溫時(shí)，CV是一與溫度無關(guān)的常數(shù)，有： （3.83）即熱導(dǎo)率隨溫度升高而下降第三章晶格振動(dòng)在低溫下（T<θD），能產(chǎn)生熱阻的倒逆過程聲子波矢q1，q2具有相同量級(jí)據(jù)德拜模型，這些聲子的能量應(yīng)為量級(jí)，這些聲子的數(shù)目則為：

第三章晶格振動(dòng)于是有：在甚低溫時(shí)，被激發(fā)的聲子數(shù)目已經(jīng)很少，且還多是能量低的長(zhǎng)聲學(xué)波聲子，產(chǎn)生倒逆過程的機(jī)率極小，平均自由程l可大到與樣品長(zhǎng)度d相比擬，此時(shí)，l值就受此長(zhǎng)度限制，即l=d。第三章晶格振動(dòng)而在（3.79）式中，與溫度有關(guān)的就只有比熱CV。在甚低溫下，CV

T3。因此，熱導(dǎo)率

T3。從極低溫開始，熱導(dǎo)率隨溫度的上升而上升，且樣品尺寸越大，熱導(dǎo)率也越大；第三章晶格振動(dòng)當(dāng)溫度再高時(shí)，倒逆過程開始起作用，熱導(dǎo)率就隨溫度上升而下降，先以形式，后以1/T的形式下降。熱導(dǎo)率隨溫度升高而先升后降以及最高熱導(dǎo)率隨樣品尺寸增大而增大的關(guān)系已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。圖3.9表示不同尺寸的LiF晶體熱導(dǎo)率隨溫度的變化就證實(shí)了這一點(diǎn)。

第三章晶格振動(dòng)。圖3.9LiF晶體的熱導(dǎo)率第三章晶格振動(dòng)固體熱導(dǎo)率中有一現(xiàn)象：作為絕緣體的金剛石，卻有比銅，鋁等金屬更高的熱導(dǎo)率。金剛石及其薄膜在高技術(shù)中有重要應(yīng)用（如作大規(guī)模集成電路的散熱片）。金剛石中沒有傳導(dǎo)電子，其高的熱導(dǎo)率來自（3.79）式所示的聲子貢獻(xiàn)。金剛石最大的特點(diǎn)是硬度極高，因而體彈模量和力常數(shù)都很大。第三章晶格振動(dòng)由（3.25）式和（3.71）式可知，這會(huì)導(dǎo)致金剛石具有極高的聲速v和德拜溫度θD。據(jù)德拜模型可知產(chǎn)生倒逆過程散射的聲子能量為量級(jí)據(jù)（3.42）式，可知這種聲子數(shù)目很少，因此，產(chǎn)生熱阻的聲子散射的倒逆過程也很少。第三章晶格振動(dòng)由于

=vq，對(duì)同一振動(dòng)頻率，高的聲速導(dǎo)致小的波矢q。晶體中雜質(zhì)和缺陷對(duì)聲子的散射為瑞利散射，其大小正比于q4，因此，這種散射也很小，這就導(dǎo)致聲子的平均自由程很長(zhǎng)。金剛石中高的聲速和大的聲子平均自由程就使它有很高的熱導(dǎo)率。第三章晶格振動(dòng)寶石類晶體和金剛石類似，都有好的熱導(dǎo)率。寶石類晶體的一個(gè)基本要求是硬度高，莫氏硬度一般要大于7。寶石類晶體高的硬度會(huì)導(dǎo)致好的熱導(dǎo)率。因此散熱好的激光晶體多選用剛玉，釔鋁石榴石等寶石類晶體作基質(zhì)材料。

第三章晶格振動(dòng)§3.7非諧效應(yīng)晶體的熱膨脹在簡(jiǎn)諧近似下，晶體不會(huì)有熱膨脹，熱膨脹是由非諧效應(yīng)引起。圖3.10表示晶體中兩原子作用的勢(shì)能曲線。在簡(jiǎn)諧近似下，勢(shì)能曲線應(yīng)為一拋物線，即圖中以r0對(duì)稱的虛線。第三章晶格振動(dòng)溫度升高時(shí)，雖然兩原子相對(duì)振幅|r-r0|增大，但其平衡位置間的距離即平均距離仍為r0，故不會(huì)出現(xiàn)熱膨脹。

圖3.10兩原子間互作用勢(shì)能曲線第三章晶格振動(dòng)如果考慮非諧項(xiàng)，勢(shì)能曲線就是圖中實(shí)線所示的不對(duì)稱曲線。曲線形狀是r0左邊部分陡峭而右邊部分平緩。當(dāng)溫度上升時(shí)，原子間相對(duì)位移增大，其平均位置向右偏移，表現(xiàn)為平衡時(shí)原子間距r>r0。這時(shí)，晶體出現(xiàn)熱膨脹，因此，熱膨脹現(xiàn)象是一種非諧效應(yīng)。下面熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理二種方法研究晶體熱膨脹。第三章晶格振動(dòng)3.7.1晶體狀態(tài)方程和晶體熱膨脹要用熱力學(xué)方法研究晶體熱膨脹，必須知道晶體的狀態(tài)方程，這樣不僅熱膨脹系數(shù)，壓縮系數(shù)和彈性模量等參數(shù)都可求得。為此，應(yīng)知道晶格的自由能。晶格的自由能可分為兩部分：一部分只和晶格的體積有關(guān)而和溫度（或晶格振動(dòng)）無關(guān)，這就是第二章講的T=0K時(shí)的晶格結(jié)合能U(V)，記為F1=U（V），另一部分則和晶格振動(dòng)有關(guān)，記為F2。第三章晶格振動(dòng)由統(tǒng)計(jì)物理可知， （3.86）式中Z為晶格振動(dòng)的配分函數(shù)。對(duì)于頻率為ωi的格波，其配分函數(shù) （3.87）第三章晶格振動(dòng)忽略格波之間的相互作用，則晶格振動(dòng)的總配分函數(shù)為：第三章晶格振動(dòng)

總的自由能則為：

由于非諧效應(yīng)，當(dāng)晶格體積V變化時(shí)，格波的頻率也將改變，因而格波頻率ωi是體積V的函數(shù)。由式（3.90）對(duì)V求導(dǎo)，可得到狀態(tài)方程第三章晶格振動(dòng)。第三章晶格振動(dòng)

是一個(gè)與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)，稱為格臨愛森（Gruneisen）常數(shù)。

晶格的狀態(tài)方程可簡(jiǎn)化為：第三章晶格振動(dòng)一般ω隨V增加而減小，故格臨愛森常數(shù)具有正的數(shù)值。格臨愛森常數(shù)與非諧項(xiàng)密切有關(guān)，以單原子鏈為例說明這一點(diǎn)： （3.95）式中與體積無關(guān)的，故只有力常數(shù)β是與體積有關(guān)的量。第三章晶格振動(dòng)將（3.95）式對(duì)V求導(dǎo)，則有：第三章晶格振動(dòng)由格臨愛森常數(shù)的定義，可得：

是勢(shì)能函數(shù)展開式中的三次項(xiàng)系數(shù)，所以格臨愛森常數(shù)是和非諧項(xiàng)有關(guān)的。第三章晶格振動(dòng)現(xiàn)在回到由狀態(tài)方程求熱膨脹系數(shù)。當(dāng)晶體不受壓時(shí)，P=0，故（3.94）式變?yōu)椋河捎诰w熱膨脹ΔV/V0很小，故dU/dV可在V0附近展開：第三章晶格振動(dòng)

K為晶體的體積彈性模量第三章晶格振動(dòng)溫度變化時(shí)，上式右邊主要是平均振動(dòng)能即熱能的變化，由此得到體膨脹系數(shù)：這就是格臨愛森關(guān)系式。第三章晶格振動(dòng)從中可以看出：（i）在簡(jiǎn)諧近似下，晶體不會(huì)有熱膨脹；當(dāng)考慮非諧項(xiàng)的貢獻(xiàn)時(shí)，（γ一般在1~2之間），則晶體有熱膨脹。第三章晶格振動(dòng)（ii）由于K-1是體壓縮系數(shù)，上式表明，晶體受熱時(shí)如果容易膨脹，受壓時(shí)則容易壓縮，這顯然是由原子間結(jié)合鍵的強(qiáng)弱決定的。(iii)低溫下，CV按T3下降，因此低溫下，熱膨脹系數(shù)會(huì)急劇隨溫度下降，這一點(diǎn)已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。

第三章晶格振動(dòng)3.7.2

統(tǒng)計(jì)物理方法在勢(shì)能展開式（3.1）中，令r0=a，且

如果采用簡(jiǎn)諧近似，則：第三章晶格振動(dòng)當(dāng)溫度較高，平均位移可用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)計(jì)算，即：

（3.107）式中分子部分的被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分為0。第三章晶格振動(dòng)