PAGE1第六章平面向量及其應用單元復習提升（易錯與拓展）易錯點1忽略向量平行（共線）同向還是反向【指點迷津】向量的共線指方向相同，或者方向相反，與三點共線是有區(qū)別的，兩個向量的共線在位置上可以是在同一條直線上的兩個向量，也可以是兩條平行線上的兩個向量；典例1（2024高二下·黑龍江·學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，與相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】相等向量【分析】根據條件，利用向量相等的定義，即可求解.【詳解】因為四邊形是平行四邊形，所以與相等的向量是，故選：D.典例2（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對.

【答案】2【知識點】相等向量【分析】根據等腰梯形的性質結合已知條件，可推得，即可得出答案.【詳解】由題意CD∥AB可知，，所以，所以.因為，所以，，所以，，所以.又M，O，N三點共線，所以，，故相等向量有2對.故答案為：2.跟蹤訓練1（24-25高一下·全國·課前預習）如圖，在矩形中，，B，E分別為邊AC，DF的中點，在以A，B，C，D，E，F為起點和終點的所有有向線段表示的向量中：

(1)分別找出與，相反的向量；(2)分別找出與，相等的向量.【答案】(1)與相反的向量有，，；與相反的向量有，(2)相等的向量為，，相等的向量為【知識點】相等向量、相反向量【分析】運用相等向量，相反向量概念可解.【詳解】（1）方向相反，大小相等的向量互為相反向量.與相反的向量有，，；與相反的向量有，.（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.則，與方向相同，且長度相等，故與相等的向量為，.同理，與相等的向量為.跟蹤訓練2（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖所示，的三邊長均不相等，E，F，D分別是邊AC，AB，BC的中點．在以A，B，C，D，E，F為起點和終點的所有有向線段表示的向量中：(1)找出與相等的向量；(2)分別找出與，，相反的向量．【答案】(1)，(2)答案見解析【知識點】相等向量、相反向量【分析】（1）由是的中位線，且D為的中點，結合向量相等的概念得到與向量相等的向量；（2）由分別是的中位線，E，F，D分別是邊AC，AB，BC的中點，結合相反向量概念可得與向量相反的向量.【詳解】（1）因為E，F，D分別是邊AC，AB，BC的中點,所以,,與，方向相同且長度相等，故與相等的向量有，．（2）因為E，F，D分別是邊AC，AB，BC的中點,所以,,,,則與相反的向量有，，；與相反的向量有，，；與相反的向量有，，．易錯點2忽視零向量【指點迷津】零向量的方向是任意的，零向量與任意向量平行；平行關系注意別忽視了零向量；典例1（23-24高一下·江蘇南京·階段練習）下列命題中，正確的個數是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若，則存在唯一實數使得；④兩個非零向量，若，則與共線且反向；⑤若，則.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【知識點】零向量與單位向量、相等向量、平行向量（共線向量）、數量積的運算律【分析】借助單位向量、相等向量、向量模長、零向量的定義結合共線向量及數量積公式逐項判斷即可得.【詳解】對①：單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，故①錯誤；對②：平行向量可能同向或反向，故②錯誤；對③：若，若且不為零向量，則不存在實數使得，故③錯誤；對④：若，則，即，即有，故與共線且反向，故④正確；對⑤：若，則有，但不能得到，故⑤錯誤.故正確的個數為1個.故選：B典例2（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期末）下列命題：①若，則或②的充要條件是且③若，，則；④起點相同的單位向量，終點必相同其中，真命題的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知識點】向量的模、平行向量（共線向量）、零向量與單位向量、相反向量【分析】根據向量共線，相等向量、單位向量的概念依次判斷各選項即可得答案【詳解】對于①，若，則模相等，方向不一定相同或相反，故錯誤；對于②，當時也滿足且，故錯誤；對于③，當時，滿足，但不一定成立；對于④，起點相同的單位向量，方向不一定相同，則其終點不一定相同，故錯誤.故真命題的個數是0個.故選：A跟蹤訓練1（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．為單位向量 B．若，則C．若，，共面，則它們所在的直線共面 D．已知，，則在上的投影向量為【答案】D【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、判定空間向量共面、求投影向量【分析】A選項中注意單位向量的定義；B選項注意零向量的特殊情況，與直線平行的傳遞性區(qū)分開來；C選項注意向量可以平移的特點；D選項根據投影向量的計算公式，可得D正確.【詳解】對于選項A：，因此不是單位向量，因此A錯誤；對于選項B：若為零向量，則與不一定共線，因此B錯誤；對于選項C：例如在正方體中，因為，所以向量，，共面，但它們所在的三條直線，，顯然不在同一平面內，因此C錯誤；對于選項D：在上的投影向量為，因此D正確.故選：D跟蹤訓練2（23-24高一下·廣東廣州·期中）下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量 D．零向量沒有方向【答案】C【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示【分析】結合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項判斷即得.【詳解】對于A，當時，任意向量都與共線，則不一定共線，A錯誤；對于B，向量不能比較大小，B錯誤；對于C，對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量，C正確；對于D，零向量有方向，其方向是任意的，D錯誤.故選：C易錯點3忽視向量數量積不滿足結合律【指點迷津】注意多個向量點成時，注意不滿足結合律典例1（24-25高二上·山東泰安·開學考試）設是任意三個非零向量且互不共線，下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的運算律【分析】根據數量積的計算公式計算可判斷A；利用向量和數量積計算結合沒有意義判斷B；是與共線的向量，是與共線的向量，可判斷C；根據數量積的計算公式計算可判斷D.【詳解】對于A：因為向量為非零向量且不共線，所以，且，所以，故A錯誤；對于B：，而沒有意義，故B錯誤；對于C：是與共線的向量，又不一定為0，故不一定為，是與共線的向量，又不一定為0，故不一定為，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D.典例2（24-25高一·上?！ふn堂例題）若、、是三個任意向量，則下列運算中錯誤的是（

）A．； B．；C．； D．.【答案】A【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的運算律【分析】根據向量的四則運算、數量積的定義及分配律逐個判斷即可.【詳解】對A，得出的是數量，故結果是與共線的向量，同理得出的是與共線的向量，等式對任意三個向量、、不一定正確，故A錯誤；對B，由數量積定義可得，，故B正確；對C，向量數量積運算滿足加乘分配律，故C正確；對D，由分配律可得，故D正確.故選：A.跟蹤訓練1（2024高一下·全國·專題練習）對于任意向量，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【知識點】向量加法法則的幾何應用、用定義求向量的數量積、平面向量數量積的定義及辨析【分析】利用向量的數量積及向量加法法則，逐項分析判斷即得.【詳解】，當且僅當共線時取等號，A錯誤；由向量加法的三角形法則知，，當且僅當同向或至少一個為零向量時取等號，B錯誤；是與共線的向量，是與共線的向量，因此與不一定相等，C錯誤；，因此，D正確.故選：D跟蹤訓練2（多選）（23-24高一下·山東泰安·階段練習）設是任意的非零向量，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【知識點】數量積的運算律、垂直關系的向量表示、向量數乘的有關計算、用定義求向量的數量積【分析】選項A，利用數乘向量的定義知，，即可求解；選項B，由數乘向量及數量積的定義，即可求解；選項C，由數量積的定義即可求解；選項D，利用向量數量積的運算律，即可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于A，因為，故A錯誤，對于B，因為表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，故B錯誤，對于C，因為，則，故C正確，對于D，由數量積的運算知，故D正確.故選：AB.易錯點4求向量模時忽視開根號【指點迷津】求向量模時注意開根號：；典例1（24-25高三上·四川·階段練習）已知單位向量滿足，則（

）A．8 B．3 C． D．【答案】D【知識點】已知數量積求模、已知模求數量積【分析】利用平方運算將向量的模轉化為向量的數量積，進而根據模長計算公式求解即可.【詳解】由題意得，即，則，化簡得，則，故選：D.典例2（2024高三·全國·專題練習）已知向量，滿足，，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【知識點】已知數量積求模、數量積的運算律、坐標計算向量的?！痉治觥扛鶕蛄繑盗糠e的運算律以及坐標表示計算即可.【詳解】由得，因為，所以，故，所以.故選：A跟蹤訓練1（2025高三·全國·專題練習）已知向量滿足，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【知識點】數量積的運算律、已知數量積求模、垂直關系的向量表示【分析】根據已知有，應用向量的數量積運算律得方程求.【詳解】因為，所以，所以，所以．故選：A跟蹤訓練2（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】已知數量積求模、垂直關系的向量表示【分析】利用向量垂直關系可得向量的數量積為零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的運算公式進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：.易錯點5解三角形時忽視了的可能性和恒成立【指點迷津】在解方程中，忽視了0不可約，而在解三角形問題中，是有可能的，所以方程左右兩邊不能同時約去，這樣會造成漏根。典例11．（福建省2024-2025學年高三上學期12月測評數學試題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(1)求B；(2)設D為邊的中點，若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【知識點】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、數量積的運算律【分析】（1）由三角恒等變換和正弦定理得到，結合，得到，求出答案；（2）根據中點得到，兩邊平方得到，由余弦定理得到，聯(lián)立求出，由三角形面積公式得到方程，求出，，進而求出，得到周長.【詳解】（1）依題意，，即，由正弦定理可得，因為，，所以，故，因為，所以，所以，又因為，所以；（2）D為邊的中點，故，兩邊平方得，即，故①，由余弦定理可得，，又，所以②，聯(lián)立①②得，，因為的面積為，解得，所以，解得，因為，所以，故，，所以的周長為.典例2（23-24高一·上海·課堂例題）根據下列條件，分別判斷三角形ABC的形狀：(1)；(2)．【答案】(1)等腰三角形或直角三角形；(2)等腰三角形或直角三角形.【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應用、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】（1）利用誘導公式及和差角的正弦公式化簡即可得解.（2）利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦及誘導公式求解即得.【詳解】（1）在中，，由，得，整理得，則或，而，于是或，所以是等腰三角形或直角三角形.（2）在中，由及正弦定理得，即，而，因此，即，由，得，因此或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.跟蹤訓練1（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且．(1)判斷的形狀；(2)若，且的面積為，求角．【答案】(1)等腰三角形(2)【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】（1）由題意結合正弦定理邊角互化可得答案；（2）設c，b為x，由圖及勾股定理可得x，即可得答案.【詳解】（1）由正弦定理，，因B∈0,π，則，，則為等腰三角形；（2）由（1）設等腰三角形兩腰，即c，a為x，則由圖結合勾股定理可得，邊b對應的高為，則，即為等邊三角形，則角為.易錯點6誤解為而造成漏解【指點迷津】在三角形中，解，很多考生直接得到，而忽視了而造成漏解。典例1（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）在中，若，試判斷的形狀.【答案】等腰三角形或直角三角形【知識點】正、余弦定理判定三角形形狀、正弦定理邊角互化的應用、二倍角的正弦公式【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化簡即可得解.【詳解】在中，由及正弦定理得，而，則，即，因此，又A、B是三角形內角，于是或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.跟蹤訓練1（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）在中，內角所對的邊分別是，且.(1)判斷此形狀；(2)點是線段的中點，若，求面積的最大值.【答案】(1)等腰三角形或者直角三角形(2)【知識點】基本不等式求積的最大值、正、余弦定理判定三角形形狀、三角形面積公式及其應用、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）利用正弦定理結合二倍角公式即可判斷出三角形的形狀；（2）分和兩種情況進行分析，結合基本不等式即可求出面積最大值.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，而，所以或，即或.所以三角形為等腰三角形或者直角三角形.（2）①當時，因為，所以，所以，當且僅當時等號成立.則的面積為；②當時，則.設，則.在中，由余弦定理可得，則，故的面積，當且僅當時，等號成立.綜上，面積的最大值是.易錯點7解三角形周長，邊長，忽視了銳角三角形這個重要條件【指點迷津】在解銳角三角形中周長取值范圍問題時，忽視了銳角這個條件而錯誤的使用兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊，造成范圍放大。典例1（24-25高三上·遼寧大連·期中）已知函數，中的三個內角，，的對邊長分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】三角恒等變換的化簡問題、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、輔助角公式、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）借助三角恒等變換可將原函數化為正弦型函數，結合正弦性函數性質計算即可得解；（2）結合正弦定理可將邊化為角，結合三角恒等變換可將周長用表示，結合銳角三角形定義可得的范圍，即可得周長的取值范圍.【詳解】（1），由，則，則，即，又B∈0,π，故；（2）由正弦定理可得，，則，由為銳角三角形，，則有，解得，則，由在上單調遞增，故，，，故，故，即周長的取值范圍為.典例2（2024高二上·云南·學業(yè)考試）在中，內角、、的對邊分別為、、，且.(1)求的值；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、求含sinx(型)函數的值域和最值、輔助角公式【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；（2）利用正弦定理結合三角恒等變換化簡得出，根據題意求出角的取值范圍，結合正弦型函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，由余弦定理可得.（2）因為，，則，由正弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，解得，所以，，則，故.即的取值范圍是.跟蹤訓練1（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，且.(1)求角C的值：(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識點】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、求含sinx(型)函數的值域和最值、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）由題意知，則，根據正弦定理邊角互化，可求出邊的關系，再根據余弦定理可求解；（2）根據銳角三角形可求出各個角的范圍，再根據正弦定理可求得的表達式，再利用輔助角公式變形，由角的取值范圍可求得周長的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，利用正弦定理化簡，得，即，由余弦定理，得，又因為，所以；（2）由（1）得，即，又因為三角形為銳角三角形，所以，解得：，因為，由正弦定理得：，所以，，所以，因為，所以，所以，則的取值范圍為，所以周長的取值范圍..跟蹤訓練2（24-25高二上·湖北恩施·期中）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合正弦和角公式、輔助角公式計算即可；（2）根據（1）的結論及正弦定理用角表示邊，結合三角恒等變換將周長化為，根據三角函數的性質計算值域即可.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可知，，因為，所以，即．又，所以，即或，即或（舍去）．（2）由（1）得，則，即,由正弦定理可知，所以．因為為銳角三角，所以，即，則，即，則.故的周長的取值范圍為．拓展1自主建系法求平面向量數量積問題典例1（23-24高一下·河北保定·期末）已知的外接圓圓心為O，且，，點D是線段BC上一動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】向量加法法則的幾何應用、數量積的坐標表示【分析】根據題意分析可知：O為的中點，，，建系，根據向量的坐標運算可得，結合二次函數分析求解.【詳解】因為，可知O為的中點，又因為O為的外接圓圓心，則，且，即，可知為等邊三角形，即，如圖，建立平面直角坐標系，則，設，可得，則，可知當時，取到最小值.【點睛】關鍵點點睛：根據中線性質分析可知O為的中點，結合圓的性質可知，.典例2（23-24高三上·貴州貴陽·階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術.如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長為4的正六邊形，內部圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，點在圓上運動，則的最小值為（

）

A．-8 B．-4 C．0 D．4【答案】C【知識點】數量積的坐標表示、利用正弦型函數的單調性求函數值或值域【分析】通過建系設點，設利用平面向量的坐標計算轉化為正弦型函數的值域問題求解即得.【詳解】

如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標系.設點，由題意知，，則，，所以，因，則,故當時，即時，取最小值0.故選:C.【點睛】方法點睛：本題主要考查圓的參數方程和平面向量的數量積的取值范圍問題.在處理已知圓上的動點有關的問題時常通過圓的參數方程設點，利于分析和計算；在處理平面向量的數量積問題時，常通過三種方法解決：（1）定義法：運用向量的數量積定義公式計算分析；（2）基底表示法：通過選設平面的一組基底，將相關向量進行表示，利用基底計算；（3）建系法：通過建系得向量坐標，再計算分析.典例3（23-24高三上·天津濱海新·期末）如圖，梯形，且，，，則，E在線段上，則的最小值為.【答案】/【知識點】向量夾角的計算、數量積的坐標表示、求二次函數的值域或最值、數量積的運算律【分析】取平面的一個基底，利用向量線性運算及數量積的運算律求出可得；作，以為原點建立平面直角坐標系，設，利用向量的坐標運算，結合二次函數求出最小值.【詳解】在梯形中，且，，則，于是，則，又，所以；作于，以為原點，正方向為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，令，則，，，因此，所以當時，取得最小值，最小值為.故答案為：；【點睛】方法點睛：求解平面幾何中的平面向量數量積問題的常用方法有兩種：①利用平面向量線性運算將所求數量積進行轉化，轉化為夾角和模長已知的向量數量積的求解問題；②建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算來進行求解.跟蹤訓練1（23-24高一下·江蘇連云港·期末）在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【知識點】用坐標表示平面向量、數量積的坐標表示、由向量共線（平行）求參數【分析】根據題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標系，根據，得，從而計算.【詳解】根據題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標系，則，設，，則，則因為，則,的，則，且.故選：B【點睛】關鍵點點睛：利用坐標法，根據，確定點的坐標，再坐標法計算數量積.跟蹤訓練2（24-25高三上·天津·階段練習）已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是．【答案】【知識點】余弦定理解三角形、用定義求向量的數量積、數量積的運算律、數量積的坐標表示【分析】設，應用向量數量積運算律得，結合最小值可得，進而得到、，再建立合適的坐標系，應用坐標法求的最小值.【詳解】設，且，當且僅當時等號成立，又的最小值為，所以，又，則，應用余弦定理有，綜上，，故，則，如下建立平面直角坐標系，則且，所以，當且僅當時等號成立，故最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用向量數量積運算與配方法，結合已知條件求得，進而得解.跟蹤訓練3（24-25高三上·天津南開·階段練習）已知扇形半徑為1，，弧上的點滿足，則的最大值是；最小值是．

【答案】【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、數量積的坐標表示、求含sinx(型)函數的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題【分析】構建直角坐標系且，令，則，利用向量線性關系的坐標表示得到，結合三角恒等變換及三角函數的性質求的最大值，應用數量積的坐標表示及三角恒等變換及三角函數的性質求的最小值.【詳解】由題設，構建如下圖示的直角坐標系，且，若，則，，，，由，得，即，，解得，故，所以，當時，，

所以時，取得最小值是.故答案為：，【點睛】關鍵點點睛：根據題設構建合適坐標系，應用坐標法及三角恒等變換、三角函數的性質求對應表達式的最值.拓展2平面向量模的最值問題典例1（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）已知在中，，則的最小值為.【答案】3【知識點】坐標計算向量的?！痉治觥拷⑵矫嬷苯亲鴺讼?，利用坐標求模即可得解.【詳解】因為，所以且為邊上的高，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖

則，設，，，當且僅當時等號成立，故答案為：3典例2（2024高三·全國·專題練習）已知為坐標原點，為單位向量，且，．若，存在最小值，則正數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】已知數量積求模、數量積的運算律【詳解】根據題意，由向量數量積的運算律以及模長公式可得，再由二次函數的圖像性質，即可得到結果.【分析】因為，所以．又，，所以．令．由，可知為二次函數，其圖像開口向上，要使，存在最小值，只需其圖像的對稱軸即可，解得．則正數的取值范圍是.故選：D典例3（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點，且，則實數的值為；的最小值為.【答案】/0.5【知識點】坐標計算向量的模、平面向量共線定理的推論、用基底表示向量、基本（均值）不等式的應用【分析】根據題意，利用平面向量的線性運算即可求出第一空，建立平面直角坐標系，依據條件建立方程，結合基本不等式求解第二空即可.【詳解】因為所以，由共線，則，解得作，以為原點建立平面直角坐標系，設且，則，而的面積為，則，故，則，則，當且僅當時取“=”，所以的最小值為故答案為：；.跟蹤訓練1（2024高三·全國·專題練習）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】坐標計算向量的模、平面向量線性運算的坐標表示【分析】根據向量模長的坐標表示由二次函數最值計算即可得答案.【詳解】由條件可知，則，易知當時，.故選：B跟蹤訓練2（2024高二下·浙江·競賽）已知平面上單位向量垂直，為任意單位向量，且存在，使得向量與向量垂直，則的最小值為．【答案】【知識點】向量垂直的坐標表示、逆用和、差角的正弦公式化簡、求值、坐標計算向量的?！痉治觥坷米鴺饲蟪瞿?，根據三角函數化簡即可得解.【詳解】令，，，，于是，．由向量與向量垂直，得到．，當，時，取到最小值．故答案為：跟蹤訓練3（2023·四川成都·二模）已知向量，向量，則的最大值是．【答案】4【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、輔助角公式、數量積的坐標表示、坐標計算向量的?！痉治觥扛鶕蛄康淖鴺诉\算求出，然后利用向量求模的計算和三角函數的性質即可求解.【詳解】因為向量，向量，所以，則，所以當時，即時，取最大值，故答案為：.拓展3三角形中周長（邊）的最值，范圍問題典例1（24-25高二上·四川眉山·階段練習）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角的大??；(2)若點在上，平分，，，求的長；(3)若該三角形為銳角三角形，且面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】三角形面積公式及其應用、用和、差角的正弦公式化簡、求值、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換化簡條件即可求解角的大??；（2）在中，根據余弦定理解得，又，得，從而得解；（3）利用三角形的面積公式求得，結合正弦定理，用表示出并求得的取值范圍，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，得，根據正弦定理得，因為，所以，則，即，即，所以．又，則，所以；（2）在中，根據余弦定理，得，即，解得或（舍去），依題意，，即，化簡得，則，所以；（3）依題意，的面積，所以．又為銳角三角形，且，則，所以．又，則，所以．由正弦定理，得，所以，所以，即，所以a的取值范圍為．典例2（22-23高三上·河北唐山·開學考試）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）根據，利用正弦定理化簡得到，然后再利用余弦定理求解.（2）結合，，，在中利用正弦定理得到，再根據為銳角三角形，求得的范圍，利用三角函數的性質求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理可得，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，從而有，所以，所以的取值范圍為.典例3（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，在中，．(1)求的長；(2)已知點D在平面內，且，求四邊形的周長的最大值．【答案】(1)(2)【知識點】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、基本不等式求積的最大值【分析】（1）由余弦定理解方程可得；（2）由已知，問題轉化為求的最大值.先根據題意得四點共圓，借助對角互補求出，再在中利用余弦定理得邊角關系，利用基本不等式可求最值.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，，即，化簡得，解得（舍），或，故的長為；（2）已知點D在平面內，且，則四點共圓，，則，在中，由余弦定理得，，則，，，解得，當且僅當時等號成立.即的最大值為，又，故四邊形周長的最大值為.跟蹤訓練1（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、求含sinx(型)函數的值域和最值、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】（1）由題意，根據正弦定理把邊化成角，結合和差公式化簡可得，根據角的范圍可得，繼而即可求解.（2）由（1）知，結合題意利用正弦定理把邊化成角，即求的取值范圍，利用把轉化為，利用和差公式及輔助角公式化簡，再利用三角函數求值域即可求解.【詳解】（1），由正弦定理得，即，即，，，，.（2）由（1）知，又，，，，，，，即的取值范圍為.跟蹤訓練2（23-24高一下·山東濟南·期末）如圖，內角的對邊分別為，為邊上一點，且，.

(1)已知.（?。┣蟮闹?；（ⅱ）若，求的面積；(2)求的最小值.【答案】(1)（?。?；（ⅱ）(2)【知識點】三角形面積公式及其應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）（?。└鶕啠Y合角的關系及倍角公式即可得解；（ⅱ）先求出，進而可求出，即可求出，再結合（?。┲薪Y論即可得解；（2）先利用正弦定理化邊為角，再根據化簡，結合基本不等式即可得解.【詳解】（1）（?。┯深}意得，，因為，，所以，，所以，所以；（ⅱ）由（ⅰ）得，在中，，所以，又，所以，所以；（2）由正弦定理得，由（1）得，故，令，因為，所以，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現“邊化角”；（2）利用余弦定理實現“角化邊”.求三角形有關代數式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數，利用函數思想求解.跟蹤訓練3（23-24高一下·上海寶山·階段練習）2021年5月，第十屆中國花卉博覽會將在美麗的崇明島舉辦，主辦方要對布展區(qū)域精心規(guī)劃.如圖，凸四邊形ABCD是一個花卉布展區(qū)域的平面示意圖，為了展示不同品種的花卉，將BD連接，經測量已知(1)若，求此花卉布展區(qū)域總面積；(2)求證：為一個定值；(3)在銳角中，內角A，B，C對的邊分別為a，b，c.若，求的取值范圍【答案】(1)(2)證明見解析(3)【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、余弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）先求出的面積，BD，在中用余弦定理求出可以求出面積，即可求出總面積；（2）分別在和中，用余弦定理表示出BD，即可證明為定值；（3）由，結合余弦定理可得，由正弦定理得，則，再由，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意，在中，且，則，又由余弦定理，得，解得，又在中，，得，所以，所以的面積為，所以花卉布展區(qū)域的總面積為（2）在中，因為，所以，在中，，由余弦定理，得，所以，則，得，所以為一個定值1.（3）因為在銳角中，內角A，B，C對的邊分別為a，b，c，因為，所以，則，所以，所以，所以，又，則，則，故所以的取值范圍為.拓展4三角形、四邊形面積最值，范圍問題典例1（24-25高三上·四川宜賓·階段練習）在銳角中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足．(1)求角B的大?。?2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】用定義求向量的數量積、三角恒等變換的化簡問題、求三角形面積的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）根據數量積定義可得，利用正弦定理結合三角恒等變換運算求解；（2）利用正弦定理結合三角恒等變換可得，結合角C的范圍即可得以及面積的取值范圍.【詳解】（1）因為，則，整理可得，利用正弦定理可得，又因為，則，可得，即，且，所以.（2）由正弦定理，可得，由題意可知：，解得，則，可得，即，又因為面積，所以面積的取值范圍為.典例2（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）在銳角中，角A，，的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且.(1)求的值；(2)已知，求的面積的最大值.【答案】(1)2(2)2【知識點】余弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、求三角形面積的最值或范圍【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理可得，即可得結果；（2）根據同角關系求，利用余弦定理結合面積公式可得，即可面積最大值.【詳解】（1）因為，且，可得，即，所以.（2）因為，又因為，即，整理可得，解得或，又因為，則，，由余弦定理可得：，即，整理可得，又因為，即，當且僅當時，等號成立，且此時為為銳角三角形，符合題意，所以的面積的最大值為.典例3（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、求三角形面積的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）由已知結合余弦定理和同角三角函數的基本關系可得，再由兩角和的正弦公式和正弦定理化簡求值即可；（2）由三角形的面積公式可得，再由正弦定理通過化簡變形可得，根據為銳角三角形，可得角的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，又，所以；（2）由（1）可知，所以，由正弦定理，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，即，又，所以，所以面積的取值范圍為.跟蹤訓練1（24-25高三上·湖北武漢·期中）在中，內角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若角的平分線交邊于點，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】輔助角公式、用和、差角的正弦公式化簡、求值、求三角形面積的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據三角形內角和定理結合兩角和差的正弦公式化簡即可得解；（2）根據角平分線性質，求得和，再將轉化為與的關系，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，則，即，又，所以，所以，又，所以，所以，所以；（2）如圖，由題意及第（1）問知，，且，∴，∴，化簡得，∵，，∴由基本不等式得，∴，當且僅當時，等號成立，∴，∴，故的面積的最小值為.

跟蹤訓練2（24-25高三上·廣東·階段練習）已知向量，，設函數．(1)當時，求函數的值域；(2)已知在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)1【知識點】數量積的坐標表示、三角恒等變換的化簡問題、求三角形面積的最值或范圍、求含sinx(型)函數的值域和最值【分析】（1）利用向量的坐標運算和數量積的坐標運算結合三角恒等變換得到，再利用整體法求解函數的值域；（2）在（1）基礎上，結合得到，再利用勾股定理和基本不等式得到，進而得到三角形面積的最大值.【詳解】（1），，又，則，故，因此可得，即函數的值域為．（2）由（1）可知，又，所以，因為，所以，故，因為，由可知，，由基本不等式得，解得，當且僅當時，等號成立，故三角形面積，即面積最大值為1．跟蹤訓練3（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.在中，內角、、的對邊分別是、、，且滿足（填條件序號）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分.【答案】(1)選①或②或③，(2)【知識點】基本不等式求積的最大值、余弦定理解三角形、求三角形面積的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】（1）選①，利用正弦定理化簡可得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；選②，利用正弦定理結合余弦定理求出的值，再由角的取值范圍可得出角的值；選③，利用正弦定理、兩角和的正弦公式、輔助角公式化簡可得出，求出角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用余弦定理結合基本不等式可求得的最大值，結合三角形的面積公式可得出的最大值.【詳解】（1）解：若選①，因為，由正弦定理可得，因為、，則，，所以，，所以，，故；若選②，因為，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因為，故；若選③，因為，由正弦定理可得，所以，，因為、，則，則，即，可得，因為，則，所以，，故.（2）解：因為，由余弦定理可得，由基本不等式可得，即，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為.一、單選題1．（24-25高三上·安徽·階段練習）已知向量，且向量與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知數量積求模、用定義求向量的數量積、坐標計算向量的模【分析】由平面向量數量積的定義、平面向量數量積的運算性質結合二次函數的基本性質可求得的最小值.【詳解】因為，則，由平面向量數量積的定義可得，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選：C.2．（2022·山東濟南·二模）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點，若△ABE與△ACD的面積相等，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用坐標表示平面向量、數量積的坐標表示【分析】由題可得為的中點，建立直角坐標系利用向量的坐標法即得.【詳解】在線段上，且，.又為線段上一點，若與的面積相等，，為的中點.如圖，建立平面直角坐標系，則，，，，，，，.故選：D.3．（2024·山東威?！ひ荒＃┰谥?，，，是所在平面內一點，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】已知模求數量積、數量積的運算律、垂直關系的向量表示、基本不等式求和的最小值【分析】根據向量的數量積以及基本不等式求解即可.【詳解】，，，，，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為.故選：D.4．（24-25高三上·山東泰安·階段練習）設是邊長為1的正三角形，是所在平面上的一點，且滿足，則當取最小值，的值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【知識點】平面向量基本定理的應用、數量積的運算律、向量的線性運算的幾何應用【分析】根據向量的線性運算得出，，再應用數量積公式化簡，利用二次函數配方法求得答案.【詳解】因為，，所以，得，所以，，，所以，，設，則，當，即，也就是時，取得最小值.故選：C.二、填空題5．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）在中，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的取值范圍為.【答案】【知識點】余弦定理解三角形、用定義求向量的數量積、數量積的運算律【分析】由余弦定理可得，從而得，根據向量的線性運算求解即可.【詳解】解：由，解得，設，則.故答案為：6．（24-25高三上·山東臨沂·階段練習）如圖所示，正的邊長為，以的中點為圓心，為直徑在點的另一側作半圓弧，點在圓弧上運動，則的取值范圍為.【答案】【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、數量積的坐標表示、三角恒等變換的化簡問題【分析】連接，以點為坐標原點，、所在直線別為、軸建立平面直角坐標系，設點，其中，利用平面向量數量積的坐標運算、輔助角公式以及正弦型函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】連接，因為為邊長為的等邊三角形，且為的中點，則，以點為坐標原點，、所在直線別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則點、，設點，其中，則，，所以，因為，則，所以，故.因此的取值范圍為.故答案為：.7．（2024·天津濱海新·三模）在平行四邊形中，，，點在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為（請用表示）；若，點，分別為線段，上的動點，滿足，則的最小值為．【答案】【知識點】數量積的坐標表示、求投影向量【分析】由向量在向量上的投影向量為，根據向量的線性運算和數量積的運算法則，求解即可；以為坐標原點建立平面直角坐標系，設，用含的式子表示出點和點的坐標，再根據向量的數量積的坐標運算法則，求解即可.【詳解】由，知，因為，，所以，所以向量在向量上的投影向量為；若，則，以為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，，所以，，所以，，所以，是關于的開口向上，對稱軸為的二次函數，當時，取得最小值.故答案為：；8．（24-25高三上·天津·期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點在上（包含端點），則；的取值范圍是．【答案】【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、數量積的坐標表示、輔助角公式【分析】由圖形特征，以O為坐標原點，OB為x軸建立平面直角坐標系，由點坐標寫出向量坐標，利用平面向量的坐標運算，即可得到結果.【詳解】以O為坐標原點，OB為x軸建立平面直角坐標系，由，，得，則，所以；設，，則，由，得，，，所以的取值范圍是.故答案為：；三、解答題9．（2025屆江西省“三新”協(xié)同教研共同體高三聯(lián)考模擬預測數學試題）在中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)12【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形【分析】（1）根據正弦定理以及三角恒等變換可得，即可求角；（2）利用三角形面積公式以及余弦定理計算可得，即可得的周長.【詳解】（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由題意可知的面積.因為，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周長為12.10．（24-25高三上·山西大同·階段練習）記的內角的對邊分別為.已知.(1)求；(2)若的面積為