人教版數(shù)列的概念選擇題專項訓(xùn)練單元測試綜合卷學(xué)能測試試卷一、數(shù)列的概念選擇題1．?dāng)?shù)列前項和為，若，則的值為（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)，求出，，，，，尋找規(guī)律，即可求得答案.【詳解】當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)奇數(shù)時，當(dāng)偶數(shù)時，，故故選：A.【點睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列值，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.2．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當(dāng)或時，取得最小值．，，的最小值為．．?dāng)?shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；3．定義：在數(shù)列中，若滿足（為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，則等于（）A．4×20162－1 B．4×20172－1 C．4×20182－1 D．4×20182答案：C解析：C【分析】根據(jù)“等差比”數(shù)列的定義，得到數(shù)列的通項公式，再利用求解.【詳解】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以.故選：C【點睛】本題考查數(shù)列新定義，等差數(shù)列，重點考查理解題意，轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題型.4．已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項的序號是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A解析：A【分析】首先將化簡為，即可得到答案?！驹斀狻恳驗楫?dāng)時，取得最小值。故選：A5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項為（）A．184 B．174 C．188 D．160答案：B解析：B【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的知識，結(jié)合累加法求得數(shù)列的通項公式，由此求得.【詳解】所以，所以.所以.故選：B【點睛】本小題主要考查數(shù)列新定義，考查累加法，屬于基礎(chǔ)題.6．已知數(shù)列{an}滿足若a1=,則a2019=(

)A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，得到數(shù)列的取值具備周期性，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故數(shù)列的取值具備周期性，周期數(shù)是4，則＝＝，故選B．【點睛】本題主要考查數(shù)列項的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的取值具備周期性是解決本題的突破口．7．已知等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式代入可得的值.【詳解】由，得，則有.故選：B.【點睛】考查等差數(shù)列通項公式的運用，知識點較為簡單.8．已知數(shù)列，，其中，且，是方程的實數(shù)根，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．64答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到，，求得，推出，進(jìn)而可求出，，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為，是方程的實數(shù)根，所以，，又，所以；當(dāng)時，，所以，因此，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列中的項，屬于?？碱}型.9．在數(shù)列中，，則等于A． B． C． D．答案：D解析：D【解析】分析：已知逐一求解．詳解：已知逐一求解．故選D點睛：對于含有的數(shù)列，我們看作擺動數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項的規(guī)律．10．?dāng)?shù)列滿足，，則的值為（）A．1 B．-1 C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，代入計算可得選項.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列中的項，屬于基礎(chǔ)題.11．?dāng)?shù)列的一個通項公式是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項公式為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求通項公式，屬于基礎(chǔ)題.12．設(shè)數(shù)列的前項和為已知且，若，則的最大值為（）A．49 B．50 C．51 D．52答案：A解析：A【分析】對分奇偶性分別討論，當(dāng)為偶數(shù)時，可得，發(fā)現(xiàn)不存在這樣的偶數(shù)能滿足此式，當(dāng)為奇數(shù)時，可得，再結(jié)合可討論出的最大值.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時，，因為，所以不可能為偶數(shù)；當(dāng)為奇數(shù)時，因為，，又因為，，所以所以當(dāng)時，的最大值為49故選：A【點睛】此題考查的是數(shù)列求和問題，利用了并項求和的方法，考查了分類討論思想，屬于較難題.13．已知數(shù)列的前項和，則（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根據(jù)題目已知條件求出數(shù)列的通項公式，問題得解.【詳解】,時，時滿足，故選：A.【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項.已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式．(3)對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．．14．已知數(shù)列滿足，，則（）.A．2 B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用遞推關(guān)系可得數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，從而可得.【詳解】在數(shù)列中，，且，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：B【點睛】本題考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.15．在數(shù)列中，，，且都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.B．存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.C．對常數(shù)，一定存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.D．對常數(shù)，一定存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有.答案：A解析：A【分析】運用數(shù)列的單調(diào)性和不等式的知識可解決此問題.【詳解】數(shù)列中，，，且都有，，設(shè)，則，數(shù)列是遞減數(shù)列.對于A，由，，則，所以，又，所以，故，時，，，時，即存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有，故A正確；結(jié)合A，故B不正確；對于C，當(dāng)，且時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則無最大值，故C不正確；對于D，由數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)存在時，則無最小值，故D不正確；故選：A【點睛】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性以及不等式，屬于基礎(chǔ)題.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列中，，，.若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)可能為（）A．－4 B．－2 C．0 D．2答案：AB【分析】由題意可得，利用裂項相相消法求和求出，只需對于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，然后將選項逐一驗證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對于任意的恒成立解析：AB【分析】由題意可得，利用裂項相相消法求和求出，只需對于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，然后將選項逐一驗證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對于任意的恒成立，整理得對于任意的恒成立，對A，當(dāng)時，不等式，解集，包含，故A正確；對B，當(dāng)時，不等式，解集，包含，故B正確；對C，當(dāng)時，不等式，解集，不包含，故C錯誤；對D，當(dāng)時，不等式，解集，不包含，故D錯誤，故選：AB.【點睛】本題考查了裂項相消法、由遞推關(guān)系式求通項公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.17．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值可能為（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)解析：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：ABC.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用和周期數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.18．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8答案：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因為，所以為200的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗證可知滿足題意.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知等差數(shù)列的公差不為，其前項和為，且、、成等差數(shù)列，則下列四個選項中正確的有（）A． B． C．最小 D．答案：BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件、、成等差數(shù)列可求得與的等量關(guān)系，可得出、的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷各選項的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因為、、成等差數(shù)列，則，即，解得，，解析：BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件、、成等差數(shù)列可求得與的等量關(guān)系，可得出、的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷各選項的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因為、、成等差數(shù)列，則，即，解得，，.對于A選項，，，A選項錯誤；對于B選項，，，B選項正確；對于C選項，.若，則或最??；若，則或最大.C選項錯誤；對于D選項，，D選項正確.故選：BD.【點睛】在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程（組）獲得解，另外在求解等差數(shù)列前項和的最值時，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)或者數(shù)列的單調(diào)性來求解.20．（多選題）在數(shù)列中，若，（，，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BCD【分析】根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結(jié)論的正誤.【詳解】對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結(jié)論錯誤；對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結(jié)論正解析：BCD【分析】根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結(jié)論的正誤.【詳解】對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結(jié)論錯誤；對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結(jié)論正確；對于C選項，若是等方差數(shù)列，則存在常數(shù)，使得，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以，則數(shù)列（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，C選項中的結(jié)論正確；對于D選項，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則存在，使得，則，由于數(shù)列也為等方差數(shù)列，所以，存在實數(shù)，使得，則對任意的恒成立，則，得，此時，數(shù)列為常數(shù)列，D選項正確.故選BCD.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義，解題時要充分利用題中的定義進(jìn)行判斷，也可以結(jié)合特殊數(shù)列來判斷命題不成立，考查邏輯推理能力，屬于中等題.21．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當(dāng)時，答案：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A解析：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A正確；選項不正確；，所以，故選項C不正確；當(dāng)時，，即，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬于基礎(chǔ)題.22．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．答案：AC【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式、通項公式列出方程組，求出，，由此能求出與．【詳解】等差數(shù)列的前項和為．，，，解得，，．故選：AC．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式求和公解析：AC【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式、通項公式列出方程組，求出，，由此能求出與．【詳解】等差數(shù)列的前項和為．，，，解得，，．故選：AC．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式求和公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題，其中的真命題為（）.A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列答案：AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對四個選項逐一判斷，即可得正確選項.【詳解】，，所以是遞增數(shù)列，故①正確，，當(dāng)時，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故②不正確，，當(dāng)時，不是遞增數(shù)列，故③不正確，，因解析：AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對四個選項逐一判斷，即可得正確選項.【詳解】，，所以是遞增數(shù)列，故①正確，，當(dāng)時，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故②不正確，，當(dāng)時，不是遞增數(shù)列，故③不正確，，因為，所以是遞增數(shù)列，故④正確，故選：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.24．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列答案：ABC【分析】由可求得的表達(dá)式，利用定義判定得出答案．【詳解】當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當(dāng)時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當(dāng)時，從第二項開始是等差數(shù)列．解析：ABC【分析】由可求得的表達(dá)式，利用定義判定得出答案．【詳解】當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當(dāng)時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當(dāng)時，從第二項開