2025年北京市東城區(qū)第二十二中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．正方形的邊長(zhǎng)為，是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個(gè)幾何體的表面積是（）A． B． C． D．4．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．5．若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．76．3本不同的語(yǔ)文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是（）A． B． C． D．7．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．8．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面10．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意，滿足，則（）A． B． C． D．12．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為______.14．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.15．三棱錐中，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：①若平面，則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號(hào)是__________．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：萬臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺(tái)）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.19．（12分）如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（平面）．（1）若為直線上任意一點(diǎn)，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．20．（12分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.若射線與，交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離.22．（10分）設(shè)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）對(duì)，證明：恒為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】試題分析：由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗(yàn)f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.2．C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，可求，而，化簡(jiǎn)求解.【詳解】解：建立以為原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，則，，由，即，得.所以=，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的，所以它的表面積為.故選：C本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.4．C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長(zhǎng)，由此求得邊上的高.【詳解】過作，交的延長(zhǎng)線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.5．B【解析】

先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.本題考查二項(xiàng)展開式問題，屬于基礎(chǔ)題6．D【解析】

把5本書編號(hào)，然后用列舉法列出所有基本事件．計(jì)數(shù)后可求得概率．【詳解】3本不同的語(yǔ)文書編號(hào)為，2本不同的數(shù)學(xué)書編號(hào)為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個(gè)，恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率．7．B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平?在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B．本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為，用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．8．B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．10．D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.11．D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，．所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．12．C【解析】

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作面,垂足為,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14．.【解析】.15．①②③【解析】

對(duì)①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對(duì)②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；對(duì)③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；對(duì)④，由動(dòng)點(diǎn)分析可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槠矫?，所以，，，又，所以平面，所以，故四個(gè)面都是直角三角形，∴①正確；對(duì)于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對(duì)于③，設(shè)內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對(duì)于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題16．【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得，解得.故答案為：.本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù)，涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)(2)【解析】

（1）零點(diǎn)分段去絕對(duì)值解不等式即可（2）由題在上有解，去絕對(duì)值分離變量a即可.【詳解】（1）不等式，即等價(jià)于或或解得，所以原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．本題考查絕對(duì)值不等式解法，不等式有解求參數(shù)，熟記零點(diǎn)分段，熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵，是中檔題.18．（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計(jì)算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計(jì)算平均數(shù)μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計(jì)算獎(jiǎng)金總數(shù)是多少.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，所以；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎(jiǎng)金總數(shù)大約為：（元）.本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計(jì)算概率，進(jìn)而估計(jì)總體情況，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補(bǔ)，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點(diǎn)，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.20．(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出的值，從而可求出數(shù)列的