第2章電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型2.1

輸電線路的分布參數(shù)2.2

輸電線路的等值計算模型2.3

變壓器等值電路及其參數(shù)2.4

標幺制2.5

電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型

本章主要介紹輸電線路、變壓器以及電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型和等值計算電路，以及電力系統(tǒng)中常用的標幺制系統(tǒng)。

輸電線路由四個分布參數(shù)來表征，分別是串聯(lián)電阻、串聯(lián)電感、并聯(lián)電導(dǎo)和并聯(lián)電容。串聯(lián)電感和并聯(lián)電容分別用來模擬電力在線路上傳播的磁場和電場，串聯(lián)電阻代表線路的熱損耗，并聯(lián)電導(dǎo)表征了輸電線路對地的泄漏電流。本章主要探討如下兩個問題：

①上述四個分布參數(shù)與輸電線路的桿塔結(jié)構(gòu)、導(dǎo)線幾何尺寸之間的關(guān)系；

②將輸電線路等效為一個等值計算電路的方法及其計算模型。需要注意的是，這里只探討對稱三相輸電線路的正序參數(shù)(平衡系統(tǒng)的負序參數(shù)和正序參數(shù)相同)，而不考慮零序參數(shù)，故而不考慮大地或架空地線的影響(三相正序是以相間為回路，與大地無關(guān)，考慮地線影響的零序參數(shù)，請參見第七章)。

變壓器是電力系統(tǒng)的重要元件，在電機學(xué)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了變壓器的等值電路。本章主要探討三個問題：變壓器等值電路中的參數(shù)如何得到?如何根據(jù)變壓器出廠的銘牌試驗參

數(shù)計算變壓器等值電路中的電路參數(shù)?變壓器的等值電路中具有理想變壓器，如何得到其等值計算電路?

標幺制實際上是相對值，即選擇了基準值以后，其有名值(實際量值)與基準值的比。標幺制對電力系統(tǒng)的計算很有好處。首先，可以簡化計算量，其次可以根據(jù)計算結(jié)果更方便地分析系統(tǒng)電壓、功率、頻率等參數(shù)。本章主要介紹如何選擇電力系統(tǒng)的基準值，如何利用標幺制形成電力系統(tǒng)的等值電路模型。

電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型，實際上是由電力網(wǎng)組成的節(jié)點導(dǎo)納矩陣或節(jié)點阻抗矩陣。節(jié)點導(dǎo)納矩陣的物理含義和形成原理很簡單，本章主要探討如何用追加支路法形成或者修改系統(tǒng)

的節(jié)點導(dǎo)納和節(jié)點阻抗矩陣，為以后的計算機輔助計算奠定基礎(chǔ)。

2.1輸電線路的分布參數(shù)

輸電線路在傳輸電能時，伴隨著一系列的物理現(xiàn)象。首先，電流流經(jīng)導(dǎo)線時，會產(chǎn)生損耗而發(fā)熱。其次，電能在導(dǎo)線上是以電磁波形成傳播的，交變的磁場感應(yīng)出交變的電場，交變的電場又感應(yīng)出交變的磁場，以這樣電場和磁場不斷變化的形式傳播。第三，由于電力線路的電壓等級高，高電壓將使得導(dǎo)線周圍空氣電離而產(chǎn)生空氣游離放電以及絕緣子少量的泄漏電流。

根據(jù)電磁波在輸電線路上的傳播規(guī)律，輸電線路可以等效為無窮多級串聯(lián)電阻電感和并聯(lián)電容電導(dǎo)的級聯(lián)。假設(shè)線路參數(shù)是均勻分布的，單相線路可以等效為如圖2-1所示的電路。用電阻來模擬導(dǎo)線的熱效應(yīng)，用串聯(lián)電感和并聯(lián)電容分別模擬磁場和電場，用并聯(lián)電導(dǎo)來反映線路周圍的放電(電暈現(xiàn)象)和泄漏現(xiàn)象。

圖2-1單相輸電線路的等效電路

2.1.1線路的電感參數(shù)

1.單相線路的電感

在物理學(xué)中，要想得到一個電感線圈的電感量，需要在電感中通入一個電流，得到交鏈該線圈的磁鏈，那么磁鏈與電流之比，就是該線圈的電感。對于輸電線路的電感也是如此，在線路上通入一個電流，求出交鏈每一相回路或者另一相回路的磁鏈，用這個磁鏈與電流之比就是線路的自感以及互感。要想求出三相的自感和互感，就必須從單相線路的自感開始研究。

如圖2-2所示的單相輸電線路，為無窮長導(dǎo)線，半徑為R

，與大地之間的距離為D

。線路的自感可以用如下方式來確定：在線路中通一個電流為i

，交鏈閉合回路(導(dǎo)線與大地)的總磁鏈ψ與電流i的比值為自感L

。當在導(dǎo)線中通入電流i時，根據(jù)在導(dǎo)線周圍會產(chǎn)生磁場，磁場方向滿足右手螺旋法則。交鏈閉合回路的磁鏈ψ

分為兩部分，一部分交鏈導(dǎo)線內(nèi)部，記為ψ1

；另一部分交鏈導(dǎo)線外部和大地之間，記為ψ

2

。圖2-2單相輸電線路示意圖

根據(jù)安培定律，磁場強度沿包圍導(dǎo)體的閉合曲線的積分等于通入導(dǎo)體的電流，即

(2-1)

因此，導(dǎo)體內(nèi)部和導(dǎo)體外部的任意點x處的磁場強度分別為(假設(shè)導(dǎo)體內(nèi)部的電流分布是均勻的)

(2-2)

單位長度上，第一部分交鏈閉合回路的磁鏈為磁通乘上“匝數(shù)”(由于在導(dǎo)體內(nèi)部，因此其交鏈的磁鏈應(yīng)為穿越此截面積的一部分，假設(shè)磁通的分布也是均勻的)

其中，μ

0=4π×10-7

H/m為真空的磁導(dǎo)率，

μr

為相對磁導(dǎo)率，非鐵磁材料的相對磁導(dǎo)率μr

≈1。因此，交鏈該閉合回路的總磁鏈為

(2-5)

單位長度單相輸電線路的自感為

(2-6)

2.三相導(dǎo)線的自感和互感

考慮三相導(dǎo)線的情形，假如A、B、C三相輸電線路，它們都與地線G構(gòu)成回路，各相導(dǎo)線的半徑都為R，任意兩相之間的距離分別為DAB

、DBC

、DCA

，各相與地線回路G之間的距離分別為DA

，

DB

，

DC

，如圖2-3所示。圖2-3三相導(dǎo)線的結(jié)構(gòu)

假設(shè)在ABC三相中分別通入電流iA

、iB

和iC

，根據(jù)疊加定理，任意一相線路中的磁鏈包括三部分：該相自身產(chǎn)生的磁通交鏈該相，其余兩相產(chǎn)生的磁場交鏈該相(未考慮大地中電流產(chǎn)生的磁鏈，因為三相對稱運行時，大地中的電流為零)。通過上節(jié)可以知道，單位長度A、B、C三相線路的磁鏈為

(2-7)

考慮到DA≈DB≈DC

以及對稱運行時iA+iB+iC

=0，三相線路的磁鏈經(jīng)過化簡后以矩陣形式表示為

(2-8)

其中，

R'=Re

-μr/4。對于非鐵磁性材料的導(dǎo)體，μr=1，因此R'=Re-1/4=0.7788R。

3.分裂導(dǎo)線的電感

為了提高傳輸容量，降低線路的熱損耗，通常采用分裂導(dǎo)線，即用多根導(dǎo)線構(gòu)成一相。三相任意排列的四分裂導(dǎo)線的結(jié)構(gòu)如圖2-4所示。三相分裂導(dǎo)線的幾何中心之間的距離

分別為

DAB

、DBC

、DCA

，任意兩條分裂導(dǎo)線之間的距離用dij來表示，

i

和j

分別表示1~12號分裂導(dǎo)線，每條分裂導(dǎo)線的半徑為r圖2-4三相對稱排列四分裂導(dǎo)線結(jié)構(gòu)

當在三相分裂導(dǎo)線中分別通入電流iA

、iB

和iC

后，每一條分裂導(dǎo)線中通入的電流是相電流的1/4，考慮交鏈A相1號分裂導(dǎo)線的磁鏈為

由于每一相的分裂導(dǎo)線間距遠小于相間距，因此分裂導(dǎo)線1到

B相的幾何均距約等于A

相和B相幾何中心的距離DAB

，分裂導(dǎo)線1到

C相的幾何均距約等于DAC

?？梢越频卣J為交鏈每一相的磁鏈與交鏈每一條分裂導(dǎo)線的磁鏈相等，因此交鏈三相的磁鏈分別為(交鏈每一相的磁鏈是分裂導(dǎo)線的平均值)：

(2-10)

同理，我們將之推廣到任意多分裂導(dǎo)線的輸電線路的自感和互感。假設(shè)有

m分裂導(dǎo)線，導(dǎo)線半徑為r

，任意兩相之間的距離為Dkl

，每一相任意兩分裂導(dǎo)線之間的距離為dnm

(下標n代表相，下標m

代表分裂導(dǎo)線標號)，那么任意一相分裂導(dǎo)線的自感和互感為

4.三相換位線路的電感

通過前面的分析，發(fā)現(xiàn)任意排列的三相導(dǎo)線，其自感只與導(dǎo)線的半徑(對于分裂導(dǎo)線來說，是平均幾何半徑)和材料有關(guān)，只要每一相導(dǎo)線選擇的導(dǎo)體材料和幾何尺寸相同，三相導(dǎo)線的自感就相等；而三相導(dǎo)線的互感則與三相導(dǎo)線之間的距離(對于分裂導(dǎo)線，為幾何平均距離)有關(guān)。很顯然，只有三相導(dǎo)線的排列為正三角形的情況下，三相之間的互感相等。

如果三相線路自感相同，互感也相同，那么這三相線路就是平衡的。平衡參數(shù)的三相線路能夠保證系統(tǒng)運行的對稱性，只有三相線路正三角對稱排列，線路間的互感才是相等的。然而在實際的線路結(jié)構(gòu)中，一般都采用水平或者垂直三相排列，其相與相之間的距離不相等。因此為了保證對稱性，采用換位排列的方案。即A、B、C三相每隔一段就換位一次，如圖2-5所示。圖2-5三相換位導(dǎo)線的結(jié)構(gòu)

對于換位導(dǎo)線，我們求各相導(dǎo)線的平均磁鏈為

(2-11)

其中，下標1、2、3分別代表三個不同的位置，三個位置之間的距離分別是d

12

、d

23

和d

13

，如圖2-5所示。假設(shè)每相導(dǎo)線的半徑都是R

，那么各相的平均磁鏈為

上面的式子表示成矩陣形式，就可以很容易地看出各相的自感和互感：

因此可以得到換位三相線路的單位長度的平均自感和互感為

各相單位長度的自感用Ls表示，互感用Lm表示，則式(213)可簡化為：

考慮到對稱運行時，

iA+iB+iC=0，因此：

其中，

L

1

稱為正序電感?？梢?，當三相線路平衡時，自感相等互感也相等，此時每一相的磁鏈只與本相電流有關(guān)，而與其他兩相電流無關(guān)，這樣就保證了系統(tǒng)的對稱性。如果將電

感以電抗形式表示，則每千米長的線路正序電抗為

式(2-15)是電力系統(tǒng)工程計算時的典型公式，對于非鐵磁性材料導(dǎo)線，

μr

=1，因此R'=0.779R

。如果為分裂導(dǎo)線，則R'為幾何平均半徑。

2.1.2線路的電容參數(shù)

1.無限長直導(dǎo)線的電場分布

根據(jù)物理學(xué)的知識，要想得到平行極板電容參數(shù)，通常的做法是在兩個電極板之間加上一個電荷，得到兩個極板之間的電壓，電荷與電壓之比就是該電容。對于輸電線路的電容參數(shù)也是如此，首先必須知道，在線路上加上電荷q，其線路與大地之間以及線路與線路之間的電壓是多少，這就必須從單根導(dǎo)線的電場分布談起。

假設(shè)單根無限長直導(dǎo)線，帶有電荷q

，導(dǎo)線與距離導(dǎo)線dm

處的M

點之間的電壓降落是多少呢?首先考慮一下電場的分布，當在長直導(dǎo)線中加入電荷q

時，其電場的分布是以

導(dǎo)線的軸線為圓心向外部發(fā)散的，如圖2-6所示。圖2-6無限長直導(dǎo)線的電場分布

根據(jù)高斯通量定律，任何一個包含帶電導(dǎo)體閉合曲面，其電通密度D

沿曲面的積分等于導(dǎo)體的電荷，如圖2-6中，包含導(dǎo)體的曲面S

，半徑為x的曲面，長度為h

。那么在x處，電通密度D

與電荷q

的關(guān)系為

(2-16)

因此，在距離導(dǎo)線任何位置

x處，單位長度(h=1m)導(dǎo)體穿越曲面S

的電通密度為

(2-17)

假設(shè)以任意距離導(dǎo)線dP

處的點P

作為參考電位，那么M

點的電位為

再考慮下面的問題，有兩根無限長直導(dǎo)體，分別帶有正電荷+q和負電荷-q

，以P

點為參考電位點，那么空間任意點M

處的電位是多少?如圖2-7所示。圖2-7兩根無限長直導(dǎo)線示意圖

M

點的電位可以用疊加原理來計算，先考慮帶有正電荷q

的一根導(dǎo)線，

M點的電位(M

點與P點之間的電壓)為

然后再考慮帶有負電荷q的另一根導(dǎo)線，

M

點的電位(M

點與P

點之間的電壓)為

因此，當兩根分別帶有正負電荷q的導(dǎo)線共同作用時，

M點的電位(M點與P點之間的電壓)為

如果，參考電位點在兩條導(dǎo)線的連線的中心線上，那么dP

1=dP

2

，因此M

點的電位為

如果選擇兩條分別帶有正負電荷±q

的平行長直導(dǎo)線的中心線作為參考電位點，那么空間任何一點的電位為該點到負電荷-q

的距離與到正電荷+q的距離之比的自然對數(shù)與q

/2π

ε

的乘積。根據(jù)上述結(jié)論，我們就可以分析單位長度單根導(dǎo)線的對地分布電容。

2.單根導(dǎo)線的對地分布電容

考慮一條無限長直導(dǎo)線，導(dǎo)線的半徑為R，導(dǎo)線對地的距離為H

。那么如何來分析其對地的分布電容呢?根據(jù)電容的基本概念，考慮到大地的影響，根據(jù)物理學(xué)中的理論，我們可以用鏡像法來分析，即大地的作用等價于有另一個帶有-q

電荷的導(dǎo)線位于以大地為中心線的對稱位置，如圖2-8所示。圖2-8單根無限長直導(dǎo)線

當在導(dǎo)線上加上+q

的電荷，相當于在與其以大地為中心線對稱的位置有一根帶有-q電荷的導(dǎo)線，根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論，可以得到單位長度長直導(dǎo)線的電位為(考慮到H?R

)

因此單位長度的單根導(dǎo)線對地分布電容為

3.三相線路的分布電容

對于三相導(dǎo)線，除了每一相導(dǎo)線對大地有分布電容以外，導(dǎo)線與導(dǎo)線之間也存在互電容，因為當在任意一相加上一個電荷后，在另外兩相上都會產(chǎn)生出感應(yīng)電壓，三相電壓與電荷之間的關(guān)系可以用如下的矩陣形式表示

其中，對角線元素為導(dǎo)線自身對地電容，非對角線元素為導(dǎo)線與導(dǎo)線之間的互電容。上式也可以反過來表示

其中，

α稱為電位系數(shù)，對角線元素稱為自電位系數(shù)，非對角線元素稱為互電位系數(shù)。電位系數(shù)反映的是，當在三相導(dǎo)線上加上電荷后，三相導(dǎo)線的電位大小。很明顯，電容矩陣是電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，可以利用在三相線路上加上電荷來求得三相線路的電位，因此就可以利用求逆來得到三相線路的自電容和互電容。

任意排列的三相線路，線路半徑為R

，三相線路之間的距離分別是DAB

、DBC

、DCA

，其鏡像示意圖如圖2-9所示。圖2-9三相線路鏡像示意圖

當在三相線路上分別加上qA、qB

、qC

的電荷時，根據(jù)前面的結(jié)論，并再次利用疊加原理將另外兩相電荷感應(yīng)的電位考慮在內(nèi)，可以得到A、B、C三相線路的電位分別為(以大地為電位參考點)

因此，正序電位系數(shù)為

因此，正序電容為

2.1.3導(dǎo)線的電阻

根據(jù)物理學(xué)中的知識，任意一個導(dǎo)體的直流電阻與導(dǎo)線電阻率和長度成正比，與導(dǎo)線截面積成反比，即

其中，ρ

為導(dǎo)線電阻率(Ω/km

)，

l為導(dǎo)線長度(km)，

S

為導(dǎo)線截面積(mm2

)。

但是在實際工程計算中必須考慮如下因素:

(1)集膚效應(yīng)，即當導(dǎo)線中傳輸交流電流時，傳導(dǎo)電子總是有向?qū)Ь€外徑集中的效應(yīng)，而且頻率越高，這一效應(yīng)越明顯。很顯然，這一效應(yīng)減少了傳導(dǎo)有效截面積，增大了實際的電阻。因此，交流電阻總是比直流電阻要大，必須將直流電阻乘上集膚系數(shù)。

(2)實際的導(dǎo)線大多都是由多股導(dǎo)體扭絞而成的，因此實際距離約比導(dǎo)線長度增大2%~3%。

(3)導(dǎo)體在實際運行中會發(fā)熱，具有一定的溫度，因此必須考慮溫度的影響。

在電力系統(tǒng)實際計算中，線路的電阻隨著溫度的變化按下式進行修正

其中，

R20為導(dǎo)線在20℃時的電阻值，α為溫度系數(shù)，

t為實際運行溫度。

2.1.4線路的電導(dǎo)

線路的電導(dǎo)主要由于高電壓引起的電暈現(xiàn)象以及絕緣介質(zhì)的泄漏，通常對于較低電壓等級(110kV以下)的架空線路，除了在惡劣氣候條件下以外，電暈放電現(xiàn)象不是很普遍，因此由電壓引起的功率損耗主要是由泄漏電流引起的，而泄漏電流一般很小，可以忽略不計。對于較高電壓等級，電暈放電現(xiàn)象比較常見，主要原因是超高壓引起導(dǎo)體表面的電場強度非常大，引起了導(dǎo)體表面空氣的電離，在導(dǎo)體表面形成一層藍色的暈光環(huán)，稱為電暈，從而使線路產(chǎn)生損耗。這個損耗只與電壓有關(guān)，而與導(dǎo)線內(nèi)的電流無關(guān)，因此用電導(dǎo)參數(shù)來表示。

假設(shè)三相線路對稱運行，已知三相線路每千米的電暈損耗為ΔP

0

，那么其對地電導(dǎo)可以表示為

其中，

U是線路的線電壓。

只有當線路的運行電壓超過某個臨界值時，才會發(fā)生電暈現(xiàn)象，這個臨界相電壓近似為(高電壓工程中的經(jīng)驗公式)

其中，

m1為導(dǎo)體表面光滑系數(shù)，

m2為氣象系數(shù)，δ為空氣相對密度。

對于分裂導(dǎo)線，電暈臨界相電壓為

其中，n為分裂導(dǎo)線數(shù)，

d為分裂

導(dǎo)線中相鄰兩根導(dǎo)線之間的距離(cm)，

R

為導(dǎo)線半徑，

Req分裂導(dǎo)線的半徑；可見，分裂導(dǎo)線可以有效地提高臨界電壓，避免電暈的發(fā)生。電暈除了增加有功損耗外，更重要的是有輻射作，會對無線電通訊產(chǎn)生干擾。因此在電力系統(tǒng)設(shè)計時，應(yīng)盡量避免產(chǎn)生電暈防止電暈的有效手段是增大導(dǎo)線半徑，減少導(dǎo)體表面的電場強度；采用分裂導(dǎo)線?？紤]到這些因素，在一般電力系統(tǒng)計算中，通常忽略電暈損耗和泄漏電流，即認為導(dǎo)線的對地電導(dǎo)為零。

2.2輸電線路的等值計算模型前面分析了每千米長線路的電路參數(shù)R

0

、L

0

、G

0

和C

0

，這些參數(shù)是沿線均勻分布的，線路任意微小的長度內(nèi)都存在串聯(lián)電阻和電感、并聯(lián)電導(dǎo)和電納，整條線路是由無限多串聯(lián)電阻

R和電感L

以及并聯(lián)電導(dǎo)

G和電容C

電路的級聯(lián)，如圖2-1所示。那么問題是，對于這樣的一條輸電線路，假設(shè)上述分布參數(shù)已知，線路兩端的電壓和電流是什么關(guān)系呢?知道這個關(guān)系就能得到輸電線路的等值計算電路。要解決這個問題，首先從輸電線路分布參數(shù)下的微分方程開始談起。

2.2.1線路的電報方程

如圖2-10所示的單相輸電線路，假設(shè)其分布參數(shù)R

0

、L

0

、G

0

和C

0

已知，且沿線路均勻分布，首端記為M

，末端計為N

，且以首端為原點，即距離的起始端，線路長度為L

。

那么在線路上任意距離原點x

處與x+dx處的電壓電流的關(guān)系為:

式(2-37)寫成偏微分形式就得到了均勻分布參數(shù)在x

點的電壓電流關(guān)系

式(2-38)為時域內(nèi)的偏微分方程，

ux

和ix

分別是在x

點處的電壓、電流的瞬時值。該偏微分方程的初始條件為:在x=0處，

u

0

(t)=u

M

(t)，

i0(t)=iM

(t)。圖2-10線路分布參數(shù)示意圖

求解這個偏微分方程，需要先將方程進行拉普拉斯變換，得到其通解，根據(jù)初始值再計算出其解，然后再進行拉氏反變換。對于工頻穩(wěn)態(tài)量，由于電壓和電流為正弦波，因此可以用相量方程來表示。事實上，相量方程和拉氏變換后的方程在形式上沒有區(qū)別，唯一的區(qū)別是前者為某一特定的頻率，后者頻率為變量，二者都是頻域內(nèi)的方程。在電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析中，需要用相量方程，而在電磁暫態(tài)計算時則需要拉氏變換的頻域方程。

2.2.2線路相量微分方程的解

將時域偏微分方程的兩邊進行拉氏變換，可以得到

只需要將上式中的s

替換為jω0

，就可以得到線路的相量微分方程，其中，

ω0=2π

f

0

，f

0

=50Hz，為工頻頻率，我們用?U

和?I分別表示電壓電流相量

將上式分別對x

再求導(dǎo)數(shù)，得

其中，

γ=(R

0+jω

0

L

0

)(G

0+jω

0

C

0)，稱為線路的傳播參數(shù)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)的知識，由式(2-41)可以得到電壓的通解

將這個通解求導(dǎo)，并代入(2-29)式中的第一個方程中，可得到電流的通解

其中，稱為線路的波阻抗或者特征阻抗；

A(x

)=e-γx

，稱為線路的傳播函數(shù)，因為傳播參數(shù)是個復(fù)數(shù)，可以表示為

γ=α+jβ

，因此傳播函數(shù)可以表示為A

(x)=e-αx

e-jβx，前一部分e-αx反映為行波的衰減，后一部分e-jβx反映為行波的相位移(時間的延遲)。

根據(jù)初始條件，

x=0時，?U

(0)=?UM

，I

(0)=?IM

，可以得到線路相量微分方程的特解，即可以得到線路上任意一點的電壓和電流：

將x=L代入上面的特解中，就可以得到M

側(cè)和N側(cè)電壓電流的關(guān)系：

2.2.3線路的等值計算電路

根據(jù)輸電線路微分方程的解，可以看出，輸電線路相當于一個無源二端口網(wǎng)絡(luò)，二端口網(wǎng)絡(luò)用傳輸參數(shù)A、B、C、D表示為

其中，

A=D=cosh(γL)，B

=-Zc

sinh(γL)，

C

=-sinh(γL)/Z

c

。

對于無源二端口網(wǎng)絡(luò)可以用π

型或者T

型等效電路來替代，以π

型等效電路為例說明，

T

型等效電路由讀者自行推導(dǎo)。應(yīng)該注意的是，所謂等效，事實上是利用集中參數(shù)來反映二端口兩端電壓電流的傳輸關(guān)系，并不能反映內(nèi)部的物理過程。

對于如圖2-11所示的π

型電路，可以得到兩端電壓和電流的關(guān)系為

將上式(2-46a)、(2*46b)與(2*44)式作比較，可以得到π型等效電路中的參數(shù)如下

式中，

Z

1=R

0

+jω0

L

0

，為工頻下每千米的線路阻抗；

Y

1

=G

0+jω

0

C

0

，為工頻下每千米長的線路導(dǎo)納。

圖2-11輸電線路的PI型等效電路

通過上面的分析，可以根據(jù)輸電線路的原始參數(shù)得到輸電線路的正序分布電感、電容、電阻和電導(dǎo)，并得到其正序參數(shù)的等值計算電路，如圖2-11所示。通常在電力系統(tǒng)穩(wěn)

態(tài)計算中，當線路長度超過240km時，采用上面的精確模型；當線路不超過240km時，采用簡化的π型電路，即認為Z=Z

0

L

，

Y=Y

0

L

，且忽略對地電導(dǎo)。當線路長度不超過90km時，僅考慮Z=Z

0

L

而忽略Y

就可以滿足要求。

2.3變壓器等值電路及其參數(shù)

電力變壓器是電力系統(tǒng)中另一個重要的元件，它的作用是將發(fā)電機端的電壓，升高至某個高電壓等級，將電能輸送到電網(wǎng)；或者將輸送來的高電壓等級的電能轉(zhuǎn)換為較低電壓，供給用戶。變壓器的結(jié)構(gòu)類型很多，除了有雙繞組變壓器、三繞組變壓器外，還有自耦變壓器等。本節(jié)主要介紹根據(jù)變壓器的銘牌試驗參數(shù)求取變壓器正序等值電路及其參數(shù)的方法。

2.3.1雙繞組變壓器

1.變壓器的等值電路

任意接線的三相變壓器，都可以將三角型連接轉(zhuǎn)化為星型連接，并將三相轉(zhuǎn)化為單相來考慮。單相雙繞組變壓器的原理圖如圖2-12所示。兩個繞組的匝數(shù)分別為N1和N2，

分別纏繞在一個鐵芯上，鐵芯的作用是將繞組中電流產(chǎn)生的磁場傳遞到對側(cè)。圖2-12變壓器原理圖

1)兩側(cè)繞組產(chǎn)生的磁場及磁場強度

當在原邊加上電壓u1

后，會產(chǎn)生電流

i1

，同時，將產(chǎn)生磁場。該磁場一部分通過空氣(繞組和鐵芯間的氣隙)構(gòu)成回路，這部分磁場稱為漏磁，其磁場強度用Hσ1

表示；另一部分通過鐵芯交鏈對側(cè)繞組，稱為勵磁，這部分磁場強度用Hm1

來表示。交變的勵磁磁場在對側(cè)繞組產(chǎn)生感應(yīng)電勢，如果副邊繞組是閉合回路，則將產(chǎn)生電流i2

，同樣，這個電流也會產(chǎn)生磁場。磁場分為兩部分，一部分是漏磁，用Hσ2

表示，另一部分通過鐵芯交鏈到原邊，稱為勵磁，用Hm2

表示。

這樣，在鐵芯中的總勵磁為兩邊電流產(chǎn)生的勵磁磁場之代數(shù)和，根據(jù)其參考方向，由右手螺旋法則可知，兩側(cè)勵磁磁場的方向是一致的，因此是兩側(cè)勵磁磁場的和

根據(jù)安培環(huán)流定律可知，原邊和副邊的漏磁磁場強度為

其中，

lσ

1

和lσ2

分別為兩側(cè)繞組漏磁回路的長度。

兩側(cè)繞組共同產(chǎn)生的勵磁磁場強度為

其中，

lm為勵磁磁場回路的長度。

鐵芯中總的勵磁磁場是兩側(cè)勵磁磁場的疊加，可以等效為是由一個勵磁電流產(chǎn)生

可見，如果將勵磁電流折算到原邊，則

如果將勵磁電流折算到副邊，則

2)交鏈原邊和副邊的磁通和磁鏈

交鏈兩側(cè)繞組的磁通量有兩部分，一部分是自身產(chǎn)生漏磁通φσ

，另一部分是兩側(cè)繞組共同產(chǎn)生的勵磁磁通φm

。

假設(shè)在兩側(cè)繞組中的磁感應(yīng)強度是均勻分布的，那么穿越兩側(cè)繞組的磁通量為磁感應(yīng)強度和繞組截面積的乘積。磁感應(yīng)強度等于磁場強度與磁導(dǎo)率的乘積，即B=μH。鐵芯的截面積為S

，空氣的磁導(dǎo)率為μ0

，鐵芯的磁導(dǎo)率為μr

，勵磁電流被折算到原邊，如式(2-51a

)所示。那么原邊和副邊的磁通量分別為

實際上，可以定義磁勢

F=Ni

，磁導(dǎo)λ=μS/l，磁通就等于磁導(dǎo)乘以磁勢

φ=λF

磁鏈是磁通量與匝數(shù)的乘積，即ψ=Nφ。那么交鏈兩側(cè)繞組的磁鏈分別為

將副邊的磁鏈也折算到原邊，即將上式中的副邊的磁鏈乘以N1/N2

，同時考慮到i'2=(N2/N1

)i

2

，折算后的磁鏈方程為

令

其中，

Lσ1、Lσ2

分別為原邊和副邊的漏感，

L'σ

2為副邊的漏感折算到原邊的等效電感；

Lm

為折算到原邊的等效勵磁電感。這樣原邊和副邊的電壓分別為(折算到原邊)

3)考慮繞組銅耗和鐵芯損耗的變壓器原邊和副邊的方程

考慮到原邊和副邊繞組的發(fā)熱損耗(銅耗)，可以用一個電阻來模擬，原邊的損耗用r1來模擬，副邊用r2

來模擬。

另外，在變壓器的鐵芯中將產(chǎn)生渦流，也將產(chǎn)生損耗，這部分損耗稱為鐵耗。根據(jù)法拉第定律，渦流電流的方向總是試圖抵消勵磁磁通的增量。因此渦流電流、原邊電流和副邊電流共同疊加產(chǎn)生勵磁磁場，則勵磁電流可以等效為

其中ie

為渦流電流。

另外，由于鐵芯存在磁滯，因此也會存在磁滯損耗。磁滯的效果同樣等價于抵消了一部分勵磁磁場，即產(chǎn)生去磁效應(yīng)

其中，

ih

為等效的磁滯電流。磁滯損耗和渦流損耗共同構(gòu)成了變壓器的鐵耗。不考慮變壓器的鐵芯飽和，則磁滯電流和渦流電流等效為

即鐵耗可以用一個與勵磁電抗并聯(lián)的等效的電導(dǎo)gm

來模擬。

因此，變壓器的原邊和副邊等效方程為

4)變壓器的等值電路

變壓器的等值電路如圖2-13所示(折算到原邊)。圖2-13變壓器等值電路

由于變壓器的勵磁阻抗比變壓器漏抗大得多，因此，變壓器的勵磁支路電流較小，一般為額定電流的0.5%~2%，在電力系統(tǒng)計算中，為了簡化，通常把勵磁支路移到變壓器的端部(通常移動到電源側(cè))，并把原邊和副邊的銅耗以及漏電抗合并，形成如圖2-14所示的等值電路。這樣簡化的目的是減少變壓器支路的節(jié)點，因為電力系統(tǒng)通常用節(jié)點電壓方程來求解，減少節(jié)點將減少節(jié)點電壓方程的個數(shù)。圖2-14簡化的變壓器等值電路

2.變壓器的空載和短路試驗

通常，變壓器等值電路(如圖2-14)中的串聯(lián)電阻與電抗以及并聯(lián)電導(dǎo)與電納可以由變壓器銘牌上提供的短路試驗和空載試驗數(shù)據(jù)得到。

1)空載試驗

變壓器在進行空載試驗時，將變壓器副邊開路，在原邊施加對稱的三相額定電壓(加的電壓為相電壓，而變壓器銘牌上的額定電壓UN

為線電壓)，從而測出三相空載時有功功率損耗P

0

和空載電流百分數(shù)I

0%。

由于空載電流與額定電流相比很小，在變壓器中引起的銅耗也很小，因此可以近似地認為空載損耗為變壓器鐵芯中的損耗，于是有

當P

0的單位用kW，

UN

的單位用kV

時，可以得到勵磁電導(dǎo)(單位為S)為

在勵磁支路的導(dǎo)納中，通常電導(dǎo)GT

的數(shù)值遠小于電納BT

，因此可以近似地認為，空載電流主要是等于流過BT

支路的電流，因此有

當額定容量采用MV·A，電壓單位為kV

時，勵磁電納為

2)短路試驗

變壓器的短路試驗是將變壓器的副邊三相短接，在原邊施加可調(diào)的三相對稱電壓，在試驗中，逐步增加外施電壓，使其相電流達到額定電流IN

，此時的外施電壓Uk

稱為短路電壓。測量這個短路電壓，并與額定電壓相比，得到短路電壓百分數(shù)Uk

%。然后測量三相的有功功率損耗ΔPk

，這個損耗稱為短路損耗。

通過變壓器的等值計算電路可以發(fā)現(xiàn)，當一側(cè)短路時，變壓器的短路電壓比額定電壓小得多，因此勵磁電抗和鐵芯損耗可以忽略不計，于是短路損耗，可以近似地看作是額定電流流過原邊和副邊的電阻所產(chǎn)生的銅耗：

式中，

SN為變壓器的容量，UN為變壓器的額定線電壓。當額定容量的單位用MV·A，額定電壓的單位用kV，短路損耗的單位用kW時，可以通過短路損耗確定變壓器的電阻為

另一方面，由于變壓器的漏抗的阻抗值比電阻大很多，因此，短路電壓可以看作是由電抗XT

產(chǎn)生的電壓。從而有

必須指出，通過上述公式得到的變壓器的等值計算參數(shù)，是將變壓器歸算到某一側(cè)的數(shù)值，當歸算到原邊側(cè)時，額定電壓應(yīng)該用原邊的額定電壓，而歸算到副邊時，電壓應(yīng)用副邊的額定電壓。

2.3.2三繞組變壓器的模型和參數(shù)

1.三繞組變壓器模型

根據(jù)《電機學(xué)》中的知識，以及前面建立的雙繞組變壓器模型，可以很容易推知三繞組變壓器的等值電路如圖2-15所示。與雙繞組變壓器一樣，三繞組變壓器的參數(shù)也需要歸算到同一側(cè)。當折算到Ⅰ側(cè)時，RT1和XT1

代表Ⅰ側(cè)的電阻和漏抗，RT2

、XT2

和RT3

、XT3分別代表Ⅱ側(cè)和Ⅲ側(cè)繞組的電阻和漏抗折算到Ⅰ側(cè)的值。當歸算到Ⅰ側(cè)時，分別在Ⅱ和Ⅲ繞組接有一個理想變壓器，其變比分別為：圖2-15三繞組變壓器等值電路

與雙繞組變壓器不同，三繞組變壓器的等值電路參數(shù)的計算相對比較復(fù)雜。另外，三繞組變壓器的三個繞組的容量也有可能不相同，我國制造的三繞組變壓器的額定容量有如

下三種類型:

第一類額定容量比為100/100/100，即三個繞組的額定容量相同。這類變壓器各個繞組的額定容量都等于變壓器銘牌標稱的額定容量。

第二類額定容量比為100/100/50，這類變壓器的第三繞組的導(dǎo)線截面減少一半，其額定電流也相應(yīng)減少一半，第三繞組額定容量為變壓器銘牌標稱容量的50%。

第三類額定容量比為100/50/100，這類變壓器與第二類相似，只是第二繞組的容量為變壓器標稱容量的一半。

2.三繞組變壓器的空載試驗

通過三繞組變壓器的等值電路(如圖2-15)不難發(fā)現(xiàn)，當變壓器進行空載試驗時，其效果與雙繞組變壓器的開路試驗類似。因為Ⅱ側(cè)繞組和Ⅲ側(cè)繞組開路，所以Ⅰ側(cè)繞組中只

有勵磁電流，而且由于勵磁阻抗很大，因此這個電流很小，在Ⅰ側(cè)繞組中產(chǎn)生的損耗可以忽略不計。因此，三繞組變壓器的開路試驗與等效勵磁導(dǎo)納的求解與雙繞組變壓器的相同。

3.三繞組變壓器的短路試驗

與雙繞組變壓器不同，三繞組變壓器的短路試驗是兩兩繞組進行三次，先將第二繞組短路，第三繞組開路，在第一繞組中加入電壓，直至電流為額定電流IN1

，測得的損耗為繞組Ⅰ和Ⅱ的損耗，記為ΔPk

，1-2，短路電壓也是繞組Ⅰ和Ⅱ串聯(lián)后的短路電壓，短路電壓百分數(shù)記為Uk，1-2%。同理，可以得到繞組Ⅱ和Ⅲ，繞組Ⅰ和Ⅲ的短路損耗和短路電壓百分數(shù)，分別記為ΔPk，

2-3、ΔP

k

，

1-3和Uk，

2-3%、Uk，

1-3%。

根據(jù)三繞組變壓器的等效電路可以知道，測量到的兩個繞組損耗是兩個繞組損耗之和，測量到的兩個繞組的短路電壓百分數(shù)是兩個繞組短路電壓百分數(shù)之和:

根據(jù)上面兩個式子，可以得到每一個繞組的短路損耗和短路電壓百分數(shù):

上面的試驗和推導(dǎo)是針對三個繞組容量比為100/100/100類型的三繞組變壓器，對于容量比為100/50/100和100/100/50類型的三繞組變壓器，由于第Ⅱ或者第Ⅲ繞組的容量為變壓器整體額定容量的一半，因此該繞組的額定電流也是其他繞組的一半。從而，在進行短路試驗時，加入的短路電壓必須使得電流為最小容量的額定電流。以容量比為100/100/50的變壓器為例(即第Ⅲ繞組的額定容量為其他繞組的一半)，當進行Ⅰ→Ⅲ繞組和2-3繞組的短路試驗時，加入的短路電壓，必須使得電流為第Ⅲ繞組的額定電流，這樣測量到的Ⅰ—Ⅲ和Ⅱ→Ⅲ繞組的短路損耗為

ΔP'k

，

1-3和ΔP'k，

2-3為等價于容量比相同的三繞組變壓器的損耗，因此，需要將容量比為100/100/50的三繞組變壓器測量到的短路損耗折算為容量比為100/100/100的短路損耗

然后利用式(2-72)求出容量比為100/100/100的變壓器的計算公式求出各個繞組的短路損耗(2-72)式，再利用式(2-67)就可以得到各繞組的電阻。

對于容量比為100/100/50的三繞組變壓器的短路電壓百分數(shù)的處理也和短路損耗類似，測量Ⅰ→Ⅲ繞組以及Ⅱ→Ⅲ繞組的短路電壓百分數(shù)分別與其折算到100/100/100的短路電壓百分數(shù)的關(guān)系如下

U'k，

1-3%=2Uk

，

1-3%為折算后的Ⅰ和Ⅲ繞組短路電壓百分數(shù)，

U'k，

2-3%=2Uk，

2-3%為折算后的Ⅱ和Ⅲ繞組短路電壓百分數(shù)，

Ⅰ和Ⅱ繞組短路電壓百分數(shù)無需折算。

2.3.3自耦變壓器

普通的變壓器繞組之間只有磁路的耦合，而自耦變壓器除了磁路耦合之外，還有電路的聯(lián)系。三繞組自耦變壓器的原理接線如圖2-16所示，其中，高壓和中壓繞組由串聯(lián)繞

組和公共繞組組成。圖2-16自耦變壓器的原理結(jié)構(gòu)示意圖

高壓繞組Ⅰ和中壓繞組Ⅱ共用的繞組稱為公共繞組，高壓繞組Ⅰ單獨部分為串聯(lián)繞組。假設(shè)公共繞組和串聯(lián)繞組的總匝數(shù)為N

1

，公共繞組的匝數(shù)為N

2

，那么在鐵芯中的勵磁磁通為

其中，

λm為勵磁磁導(dǎo)，?Im為折算到高壓側(cè)的等效勵磁電流。高壓繞組和中壓繞組的漏磁通分別為

其中，

λⅠ0

、λⅡ0

分別為高壓繞組和中壓繞組的漏磁磁導(dǎo)。因此交鏈兩個繞組的磁鏈分別為

將中壓繞組的磁鏈和電流折算到高壓側(cè)

可見，在自耦變壓器對稱運行的情況下，其等效電路和普通變壓器沒有區(qū)別。只有當考慮零序等效電路時，才和普通變壓器有區(qū)別。因為對地零序電流是兩側(cè)零序電流之和，其零序等效電路參見7.2.3節(jié)。

為了防止一側(cè)故障影響到另一側(cè)，三相自耦變壓器的高壓和中壓繞組一般連接為星型，其中性點直接接地。另外，三相自耦變壓器通常還有一個通過磁路耦合的低壓繞組，其容量約為額定容量的30%~50%，一般為三角型接線，用于消除因變壓器鐵芯飽和產(chǎn)生的三次諧波，同時還可以用來供給低壓負載。

自耦變壓器的參數(shù)計算與三繞組變壓器的參數(shù)計算基本相同，不同的是，在測量短路電壓百分數(shù)時，高低壓和中低壓的短路電壓百分數(shù)是在低壓繞組中通入短路電流所得到的數(shù)據(jù)，因此需要折算。折算的原理很簡單，這里不再贅述。

2.3.4變壓器等值電路中理想變比的處理

在上面的變壓器模型中，還有一個問題需要處理，那就是無論你將變壓器的參數(shù)歸算到哪一側(cè)(歸算到哪一側(cè)，求變壓器參數(shù)的式子中的額定電壓就采用哪一側(cè)的額定電壓值)，在變壓器串聯(lián)支路中總存在一個理想變壓器，當歸算到原邊時，變壓器支路如圖2-17(a)所示，當歸算到副邊時，變壓器支路如圖2-17(b)所示。圖2-17含理想變比的支路模型

無論歸算到哪一側(cè)，均可以把圖2-17中含有理想變比的支路當作一個二端口網(wǎng)絡(luò)，確定輸入輸出的關(guān)系，并得到其π型等值電路如圖2-18所示。圖2-18包含理想變比支路的PI型等效電路

以歸算到原邊為例來求取π型等效電路中的參數(shù)，對于π型電路中，兩側(cè)電流之間的關(guān)系為

而對于歸算到原邊的包含理想變壓器的串聯(lián)支路的兩側(cè)電流的關(guān)系為

對比式(2-82)和式(2-83)，不難得出π型電路中的三個參數(shù)：

于歸算到副邊(如圖2-17b)的情況，請讀者自行推導(dǎo)。

2.4標幺制

本小節(jié)主要介紹標幺制的基本概念、基準值的選取以及電力網(wǎng)的標幺制等效電路。電力系統(tǒng)的分析和計算中，通常采用標幺制。所謂標幺制就是一種相對值，它是某種物理量的有名值與同單位的基準值的比值。由于電力系統(tǒng)是多電壓等級的電路和磁路聯(lián)系在一起的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如果采用有名值進行計算，則必須對變壓器兩側(cè)的參數(shù)進行歸算，即都歸算到同一側(cè)。這樣不僅計算復(fù)雜，而且參數(shù)之間的差別也非常大。

如圖2-19所示的電路，當把二次側(cè)串聯(lián)的阻抗歸算到一次側(cè)后，其阻抗值的歸算過程如下

如果采用標幺制，只要合理選擇基準值，兩側(cè)的參數(shù)差異就不大。另外，采用標幺制后，無需進行折算，因此可以簡化計算。圖2-19理想變壓器兩側(cè)參數(shù)的歸算

另外，采用標幺制時，計算出的電氣量比較直觀。例如電壓的基準值如果采用該等級的額定電壓，那么當計算出的電壓標幺制為1.05或0.95時，可以直觀地看出電壓是否超

出允許的范圍。

標幺制的計算關(guān)鍵在于選擇基準值，合理的選擇基準值是電力系統(tǒng)精確計算的一個保證。電壓、電流、功率、阻抗、導(dǎo)納等基準值之間是有一定聯(lián)系的，因此基準值的選取非常

重要。

2.4.1標幺制概述

1.標幺制的定義

標幺制是物理量的有名值與同單位的基準值比，即

顯然，標幺制是一個無量綱的量。對于同一個物理量，基準值不同，標幺制也不同。因此，必須選擇基準值后，標幺制才有意義。各個物理量的標幺制的表示方法通常是在物理量的下標上加上一個“*”。

2.基準值

理論上講，基準值的選取是任意的。比如，

35kV等級的電壓，當基準電壓選35kV時，其標幺制為1.0，而當基準選1kV時，其標幺制為35.0。顯然，選擇35kV作為電壓基準值更有意義，因為可以通過標幺制直接看出該電壓的大小。另外各物理量(功率、電壓、電流、阻抗以及導(dǎo)納等)之間存在必然的聯(lián)系，因此基準值的選擇也必須滿足它們之間的關(guān)系。

(1)三相有功功率、無功功率和視在功率取同一個功率基準值SB

，稱為三相功率基準值，功率的標幺制為

(2)線電壓及其實部與虛部，以及電壓降落、電壓損耗等都取同一基準值U

B

(一般為線電壓)，稱為線電壓基準值。因此，線電壓的標幺制

(3)電流及其實部與虛部，取同一基準值IB，稱為電流基準值，電流的標幺制為

(4)阻抗與電抗、電阻取同一基準值ZB

，稱為阻抗基準值，相應(yīng)的標幺制為

(5)導(dǎo)納與電導(dǎo)和電納取相同的基準值YB

，稱為導(dǎo)納基準值，導(dǎo)納的標幺制為

對于功率因數(shù)和用弧度表示的電壓相位、電流相位、阻抗角和導(dǎo)納角等量，由于本身就沒有量綱，因此本身就是標幺制。

基準值SB

、UB

、IB

、ZB

以及YB

的關(guān)系如下

因此有

由此可見，對于上述5個基準值，只需要知道其中的兩個SB

和UB

就可以了，因此在電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)計算中，整個電力系統(tǒng)可以定義一個功率基準值SB

，然后每個電壓等級下定義電壓基準值UB

就可以了。

3.標幺制的換算

電力系統(tǒng)元件的銘牌參數(shù)通常是以標幺制或者百分數(shù)的形式給出的，比如同步發(fā)電機的同步電抗、變壓器的短路電壓百分數(shù)等，它們都是以電力元件的額定電壓和容量為基準

值的標幺制。例如，雙繞組變壓器的短路電壓百分數(shù):

其中下標“(N)”表示以額定電壓和額定容量下的基準值的標幺制。

當設(shè)定的基準值與銘牌參數(shù)上給定的額定基準值不相同時，需要進行標幺制的換算。例如，以S

B

和UB

作為基準值，

SN

和UN

為電力元件銘牌上的額定值，其換算過程是先將以額定值為基準值下的標幺制換算為有名值，然后再將這個有名值換算為設(shè)定的基準值下的標幺制。

2.4.2多電壓等級下基準值的選擇

通過上面的分析可以知道，對于同一個電壓等級下的電力網(wǎng)絡(luò)，只需要選擇基準功率SB

和基準電壓UB

就可以。通常，選擇全系統(tǒng)中最大容量作為基準功率，選擇額定電壓作為基準電壓，這樣計算就比較方便。然而對于多電壓等級的電網(wǎng)，我們需要選擇多個基準電壓UB

，有幾個電壓等級，就選擇幾個基準電壓。

然而這里面有一個問題，就是變壓器兩側(cè)的實際變比與額定變比不相同，稱為“非標準變比”。例如，為了保證輸電電壓符合要求，通常變壓器的高壓側(cè)有很多抽頭，根據(jù)電力系統(tǒng)調(diào)壓需要，變壓器有可能運行在任何一個抽頭上，另外為了保證供電電壓滿足要求，通常降壓變壓器的副邊電壓比電網(wǎng)額定電壓高5%，這些都導(dǎo)致變壓器的變比不是標準的變比。那么，在選擇電壓基準值的時候，是按照系統(tǒng)的額定電壓選擇呢，還是按照變壓器的實際變比來選擇呢?這兩種選擇都有什么特點?下面舉例來說明。

1.按照變壓器實際變比選擇基準值

很明顯，當具有多個電壓等級時，如果電壓基準值的選擇與變壓器的實際變比相匹配，那么變壓器的理想變比的標幺制k

*=kN/kB=(UN1UB2)/(UN2UB1)=1∶1，這樣變壓器的等值計算電路就無需考慮理想變壓器變比，其等值計算電路就得到了相應(yīng)的簡化。

如圖2-20所示的單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)，兩臺變壓器T1

和T2

將該系統(tǒng)分為三個電壓等級。發(fā)電機、變壓器、線路、電抗器以及電纜的銘牌參數(shù)如下:(1)發(fā)電機G:額定容量SGN=30MVA，額定電壓uGN=10.5kV，等效電抗在額定電壓和額定容量下的標幺制為X

GN*=0.26;

(2)變壓器T1:額定容量ST1N=31.5MVA，短路電壓百分數(shù)Us

%=10.5，變比kT1=10.5/121;

(3)變壓器T2:額定容量ST1N=15MVA，短路電壓百分數(shù)Us%=10.5，變比kT

2=110/6.6;

(4)電抗器R:額定電壓URN

=6kV，

IRN

=0.3kA，電抗百分數(shù)XR

%=5;

(5)架空線路L:線路長度80km，每公里電抗為0.4Ω;

(6)電纜C:長度為2.5km，每公里長電抗為0.08Ω。圖2-20單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)

首先選擇功率基準值，取全系統(tǒng)的基準功率SB

=100MVA。理論上，基準功率的選擇是任意的，但是在選擇基準功率時，要考慮到標幺制不能太小，也不能過大，同時還要有利于計算的簡化。

其次選擇電壓的基準值，如果按照變壓器的實際變比選擇，三段電壓等級下的基準電壓分別為:UB

Ⅰ=10.5kV，

UB

Ⅱ=10.5/kT1=121kV，

UB

Ⅲ=121/kT2=7.26kV。

需要注意的是兩個變壓器的電抗參數(shù)的計算，如果將電抗參數(shù)歸算到高壓側(cè)(本例即歸算到高壓側(cè))，那么在計算標幺制時，應(yīng)該用高壓側(cè)的基準值;同理，如果歸算到低壓側(cè)，則需要用低壓側(cè)的基準值。

通過上面的例子可以得到如下結(jié)論:

(1)基準電壓按照變壓器的實際變比選擇，使變壓器的回路中理想變壓器的變比的標幺制為1∶1，這樣就簡化了變壓器的等值電路。

(2)基準電壓按照變壓器實際變比選擇，將大大簡化變壓器參數(shù)的計算。

(3)通過上面例子可知，當按照變壓器實際變比選擇基準電壓時，第三段(6kV等級)的基準電壓為7.26kV，與該電壓等級的額定電壓相差較大。

2.按照平均額定電壓來選擇電壓基準值

按照變壓器變比選擇電壓基準值雖然計算簡單，但只適合單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)，對于環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，即使按照變壓器實際變比選擇基準值，也無法消除所有變壓器的理想變比，另外，有時可能導(dǎo)致同一電壓等級出現(xiàn)不同的基準值。例如圖2-21所示的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)(這是由不同電壓等級構(gòu)成的環(huán)網(wǎng)，稱為電磁環(huán)網(wǎng)，因為在環(huán)網(wǎng)中既有電路又有磁路的聯(lián)系，在實際的工程中，電磁環(huán)網(wǎng)是盡量避免的，這里只是作為一個例子)，發(fā)電機G連接兩個不同變比的變壓器，兩個變壓器的高壓側(cè)電壓等級不同，分別為220kV等級和110kV等級。

如果選擇UBⅠ=10.5kV，那么UBⅡ=121kV，

UBⅢ=242kV，

UBⅣ=12.1kV。可見，對于第Ⅰ和第Ⅳ段來說，它們都是10kV的電壓等級，卻有不同的基準值。另外，對于變壓器T3來說，其變比的標幺制為kT3*=(220/121)/(242/121)=0.91，仍然需要按照π型等效電路來考慮這個非標準變比。圖2-21多電壓等級的環(huán)網(wǎng)

為了解決上述困難，在工程計算中規(guī)定，各個電壓等級都以平均額定電壓作為基準值，根據(jù)我國的電壓等級，各等級的平均額定電壓分別為(單位為kV):3.15，

6.3，

10.5，15.75，

37，

115，

230，

345，

525。

當選擇的基準值與變壓器的實際變比不匹配時，變壓器變比的標幺制就不等于1，因此需要利用上一節(jié)中的包含理想變壓器支路的π型等效電路來等效該支路。

2.5電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型

本節(jié)主要介紹描述電網(wǎng)的基本數(shù)學(xué)方程———節(jié)點導(dǎo)納方程和節(jié)點阻抗方程。電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型中，不包含同步發(fā)電機和負荷，主要講述節(jié)點導(dǎo)納方程和節(jié)點阻抗方程的物理意義以及追加支路法的形成和修改節(jié)點導(dǎo)納/阻抗矩陣的方法。

2.5.1節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其物理意義

根據(jù)電路理論，一個由N個節(jié)點(不計參考節(jié)點)組成的電網(wǎng)絡(luò)(如圖2-22所示)，其各個節(jié)點相對參考節(jié)點的電壓滿足節(jié)點導(dǎo)納方程圖2-22N個節(jié)點的電網(wǎng)絡(luò)

其中，

Yii

為節(jié)點i的自導(dǎo)納，Yij為節(jié)點

i和節(jié)點j

之間的互導(dǎo)納，

?Ui

為節(jié)點i對參考節(jié)點的電壓，?ISi

為注入到節(jié)點i的電流。式(2-97)可以簡寫為:YU=IS

，

Y

稱為節(jié)點導(dǎo)納矩陣。根據(jù)電路理論，節(jié)點導(dǎo)納矩陣中任意一個節(jié)點i

的自導(dǎo)納為與該節(jié)點相連接的所有支路導(dǎo)納之和;任意節(jié)點i和

j之間的互導(dǎo)納為這兩個節(jié)點之間直接相連的所有支路導(dǎo)納之和的負數(shù)。那么節(jié)點導(dǎo)納矩陣中各個元素即各個節(jié)點的自導(dǎo)納和互導(dǎo)納具有什么物理含義呢?這一點可以從式(2-97)中看出。

以第

i

號節(jié)點來說明節(jié)點導(dǎo)納矩陣的物理意義，該節(jié)點的電壓方程為

Yi

1?U1+…+YiiUi

+…YijUj+…YiN

?UN

=?ISi

(2-98)

不難發(fā)現(xiàn)，如果令除了i

號節(jié)點以外所有的節(jié)點電壓為零，即讓這些節(jié)點與參考節(jié)點短路，在i

號節(jié)點上加上一個單位電壓，那么注入到i

號節(jié)點的電流即為節(jié)點

i的自導(dǎo)納Yii

，如圖2-23所示。

圖2-23節(jié)點i自導(dǎo)納的物理含義

實際上，節(jié)點i

的自導(dǎo)納就是將除了i號節(jié)點以外的其余所有節(jié)點接地，從節(jié)點

i和參考節(jié)點這個端口看進去的等效導(dǎo)納。通過下面的例子就不難發(fā)現(xiàn)為什么節(jié)點i

的自導(dǎo)納為與

i直接相連的所有支路導(dǎo)納之和(如圖2-24)。圖2-24節(jié)點

i自導(dǎo)納示意圖

與節(jié)點i非直接相連的支路被短接，從節(jié)點

i和公共參考節(jié)點看進去的等效導(dǎo)納為與該節(jié)點直接相連的支路并聯(lián)，即與之相連的各個支路導(dǎo)納之和。

同理，如果令節(jié)點j

的電壓為單位電壓，其余所有節(jié)點的電壓為零，注入到節(jié)點i的電流為節(jié)點i

和

j之間的互導(dǎo)納，即除了ij以外，所有節(jié)點接地，從端口ij看進去的等效導(dǎo)納，如圖2-25所示。圖2-25互導(dǎo)納的物理含義

2.5.2追加支路法形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣

1.追加樹枝

所謂樹枝，是指追加支路的另一個節(jié)點是一個新節(jié)點，假設(shè)原來的網(wǎng)絡(luò)中有N

個節(jié)點，節(jié)點導(dǎo)納矩陣為Y

，在第k

號節(jié)點上增加了一條支路，支路導(dǎo)納為yb，追加的節(jié)點號為l

，如圖2-26所示。追加樹枝后，新網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣為

Y'，假如矩陣Y

的元素已知，那么Y'矩陣中各元素如何計算?圖2-26追加樹枝

因為追加了一條樹枝，新系統(tǒng)多了一個節(jié)點l

，因此，新系統(tǒng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣也就增加了一階。首先看新節(jié)點導(dǎo)納矩陣中的自導(dǎo)納Y'ii

(i

為所有節(jié)點，不包含k

和l

)，根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的物理含義，自導(dǎo)納為在i

節(jié)點輸入一個單位電壓源，其余節(jié)點均接地，注入到節(jié)點

i的電流即為自導(dǎo)納的值。很顯然，當節(jié)點k

接地后，增加的支路

yb

不會對原來網(wǎng)絡(luò)注入到i節(jié)點的電流產(chǎn)生任何影響，如圖2-27(a)所示，因此，追加樹枝后，各節(jié)點的自導(dǎo)納不會發(fā)生任何變化，因此有圖2-27追加樹枝物理含義

如圖2-27(b)所示對于節(jié)點k的自導(dǎo)納，根據(jù)物理意義，在k號節(jié)點上加一個單位電壓源，其余所有節(jié)點短路，注入到節(jié)點k的電流即為k點的自導(dǎo)納

Y′

kk=Ykk+yb

很顯然，對于追加的節(jié)點

l，有

Y′ll

=yb

同理，任意兩個節(jié)點i和j

之間的互導(dǎo)納(i，

j≠k

，

l)

Y'ij=Yij，

Y'ik

=Yik

，Y'il=0，Y'kl

=-y

2.追加連枝

當在原有的網(wǎng)絡(luò)中追加一條連枝時，例如在k

和

l節(jié)點之間追加一條支路，導(dǎo)納為yb

。很顯然，當追加一條連枝時，節(jié)點數(shù)沒有增加，因此節(jié)點導(dǎo)納矩陣的階數(shù)沒有增加。根據(jù)節(jié)點導(dǎo)納矩陣的物理意義，任意節(jié)點

i的自導(dǎo)納為在i

號節(jié)點加一個單位電壓源，其余節(jié)點均短路，注入到節(jié)點i的電流即為自導(dǎo)納的值。由于節(jié)點k