20222023學(xué)年小學(xué)五年級(jí)思維拓展舉一反三精編講義專題16最大公約數(shù)知識(shí)精講知識(shí)精講專題簡析：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。我們可以把自然數(shù)a、b的最公約數(shù)記作（a、b），如果（a、b）=1，則a和b互質(zhì)。求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以用分解質(zhì)因數(shù)和短除法等方法。典例分析典例分析【典例分析01】一張長方形的紙，長7分米5厘米，寬6分米。現(xiàn)在要把它裁成一塊塊正方形，而且正方形邊長為整厘米數(shù)，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？【思路引導(dǎo)】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因?yàn)椴贸傻恼叫蔚倪呴L必須能同時(shí)整除75和60，所以邊長是75和60的公約數(shù)。75和60的公約數(shù)有1、3、5、15，所以有4種裁法。如果要使正方形面積最大，那么邊長也應(yīng)該最大，應(yīng)該取75和60的最大公約數(shù)15作為正方形的邊長，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20塊?！镜淅治?2】一個(gè)長方體木塊，長2.7米，寬1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？【思路引導(dǎo)】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把長方體切成大小相等的正方體，不許有剩余，正方體的棱長應(yīng)該是長、寬、高的公約數(shù)?，F(xiàn)要求正方體的棱長最大，所以棱長就是長、寬、高的最大公約數(shù)。（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米【典例分析03】有三根鋼管，它們的長度分別是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它們截成同樣長的小段，每小段最長可以是多少厘米？【思路引導(dǎo)】要把三根鋼管截成同樣長的小段，每小段的長度數(shù)應(yīng)該是240、200和480的公約數(shù)，而每小段要取最長，也就是求240、200和480的最大公約數(shù)。240、200和480的最大公約數(shù)是40，所以每小段最長是40厘米?！镜淅治?4】一條道路由甲村經(jīng)過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米?，F(xiàn)在準(zhǔn)備在路邊裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點(diǎn)都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？【思路引導(dǎo)】由于甲乙、乙丙的兩村中點(diǎn)各要種上一棵樹，所要要將360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的長度最長。因?yàn)椋?75、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相鄰兩棵樹之間距離最多是22.5米。【典例分析05】用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？【思路引導(dǎo)】前面的例題已經(jīng)告訴了我們，解決這道題只要求出長方形長和寬的最大公約數(shù)就行了。但是這題中，長和寬的數(shù)比較大，最大公約數(shù)比較難求出，這里再介紹一種求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法。第一步：1072÷469，余134；第二步：469÷134，余67；第三步：134÷67，沒有余數(shù)，所以用67毫米為正方形的邊長來剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112個(gè)正方形，即這些正方形的邊長最大是67毫米。這種求兩個(gè)較大數(shù)的最大公約數(shù)的方法叫輾轉(zhuǎn)相除法。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022春?沭陽縣月考）如果A＝2×3×7，B＝2×5×3，那么A和B的最大公因數(shù)是（）A．2 B．6 C．35【思路引導(dǎo)】根據(jù)求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的方法，首先把兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，兩個(gè)數(shù)公因數(shù)質(zhì)因數(shù)的乘積就是它們的最大公因數(shù)。據(jù)此解答即可【規(guī)范解答】解：A＝2×3×7B＝2×5×3所以A和B的最大公因數(shù)是：2×3＝6。故選：B?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法及應(yīng)用。2．（2分）（2022春?韓城市期末）下面第（）組中的兩數(shù)的最大公因數(shù)是6。A．6和18 B．2和3 C．24和12 D．30和5【思路引導(dǎo)】對(duì)于一般的兩個(gè)數(shù)來說，這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；對(duì)于互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)來說，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積；對(duì)于成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)來說，最大公因數(shù)是較小的那個(gè)數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的那個(gè)數(shù)。【規(guī)范解答】解：A.因?yàn)?8÷6＝3，18是6的三倍，所以6和18的最大公因數(shù)是6，符合題意；B.因?yàn)?和3互質(zhì)，所以2和3的最大公因數(shù)是1，不符合題意；C.因?yàn)?4÷12＝2，24是12的兩倍，所以24和12的最大公因數(shù)是12，不符合題意；D.因?yàn)?0÷5＝6，30是5的6倍，所以30和5的最大公因數(shù)是5，不符合題意。故選：A?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題需要學(xué)生熟練掌握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法。3．（2分）（2022春?坊子區(qū)期末）如果4a＝b，那么a和b的最大公因數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．4【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，4a＝b，則b÷a＝4，a和b成倍數(shù)關(guān)系，為倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。【規(guī)范解答】解：因?yàn)?a＝b，則b÷a＝4，那么b是a的4倍，所以a和b的最大公因數(shù)是a。故選：A?！究键c(diǎn)評(píng)析】熟練掌握為倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵。4．（2分）（2022春?貴陽期中）兩個(gè)相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個(gè)自然數(shù)的和是（）A．72 B．15 C．17【思路引導(dǎo)】根據(jù)自然數(shù)的排列規(guī)律可知，相鄰的兩個(gè)自然數(shù)相差1，也就是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積，據(jù)此確定這兩個(gè)自然數(shù)，求和即可?！疽?guī)范解答】解：72＝8×98+9＝17故選：C?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法及應(yīng)用，關(guān)鍵是明確：兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積；兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是較大數(shù)。5．（2分）（2021春?長垣市期末）m是一個(gè)質(zhì)數(shù)，n是一個(gè)合數(shù)（m、n都是大于20的自然數(shù)），下列說法正確的是（）A．m+n一定是偶數(shù) B．mn一定是奇數(shù) C．m+2n不可能是偶數(shù) D．2（m+n）可能是奇數(shù)【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的意義，一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個(gè)自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。再根據(jù)偶數(shù)、奇數(shù)的性質(zhì)，奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：由分析得：A、m+n一定是偶數(shù)。此說法錯(cuò)誤。B、mn一定是奇數(shù)。此說法錯(cuò)誤。C、m+2n不可能是偶數(shù)，此說法正確。D、2（m+n）可能是奇數(shù)。此說法錯(cuò)誤。故選：C?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的意義及應(yīng)用，以及偶數(shù)、奇數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022春?羅源縣期末）如果A÷B＝5（A，B為自然數(shù)），那么A和B最大公因數(shù)是B。【思路引導(dǎo)】兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；據(jù)此求解即可?！疽?guī)范解答】解：如果A÷B＝5（A，B為自然數(shù)），那么A和B最大公因數(shù)是B。故答案為：B?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題主要考查兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系的最大公因數(shù)，為倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是較小的數(shù)。7．（2分）（2022春?德江縣期中）已知a＝2×3×5，b＝2×5×7，它們的公因數(shù)有1、2、5、10，最大公因數(shù)是10?！舅悸芬龑?dǎo)】兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，以此解答問題即可?！疽?guī)范解答】解：因?yàn)閍＝2×3×5，b＝2×5×7，所以他們的公因數(shù)有：1、2、5、2×5＝10；因此最大公因數(shù)是10。故答案為：1、2、5、10；10。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要是需要學(xué)生熟練掌握根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法求幾個(gè)數(shù)公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法。8．（2分）（2022春?福鼎市期中）在24、8和9中，8是24的因數(shù)，24是8的倍數(shù)，8和9的最大公因數(shù)是1?！舅悸芬龑?dǎo)】在整數(shù)除法中，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，商和除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：因?yàn)?4÷8＝3，所以8是24的因數(shù)，24是8的倍數(shù)；又因?yàn)?和9互質(zhì)，所以8和9的最大公因數(shù)是1。故答案為：8；24；24；8；8；9?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查因數(shù)和倍數(shù)的定義，還需記住兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，它們的最大公約數(shù)是1。9．（2分）（2022春?沈丘縣期中）五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把兩個(gè)班的學(xué)生分別分成若干小組，要使每個(gè)班每個(gè)小組的人數(shù)相同，每組最多有6人?！舅悸芬龑?dǎo)】求每組最多有多少人，就是求42與48的最大公因數(shù)是多少，可以利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)的積就是最大公因數(shù)；據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：42＝2×3×748＝2×2×2×2×3所以42和48的最大公因數(shù)是：2×3＝6故答案為：6?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題主要考查最大公因數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解求每組最多有多少人實(shí)際是求兩數(shù)的最大公因數(shù)。10．（2分）（2021?張家川縣模擬）分?jǐn)?shù)分子和分母的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是40?！舅悸芬龑?dǎo)】兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積?！疽?guī)范解答】解：8＝2×2×210＝2×5所以分?jǐn)?shù)分子和分母的最大公因數(shù)是：2；最小公倍數(shù)是：2×2×2×5＝40。故答案為：2；40?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題需要學(xué)生熟練掌握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法并靈活運(yùn)用。11．（2分）（2021春?武岡市期中）如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它們的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是210?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的方法，把兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)的最大公因數(shù)，公有質(zhì)因數(shù)與各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是它們的最小公倍數(shù)。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：A＝2×3×5B＝3×7所以A、B的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是3×2×5×7＝210。故答案為：3，210?！究键c(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的方法及應(yīng)用。12．（2分）（2019春?東麗區(qū)期末）從1，3，5，6中選出3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)同時(shí)有因數(shù)3和5的最大三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是615。【思路引導(dǎo)】因?yàn)檫@個(gè)數(shù)有因數(shù)5，所以是能被5整除，而能被5整除的特征是末尾為0或者5；所以個(gè)位只能選5，又因?yàn)槭墙M成最大的三位數(shù)，所以百位選6，又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)有因數(shù)3，所以是能被3整除，而能被3整除特征是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，5+6+1＝12能被3整除，所以十位為1?！疽?guī)范解答】解：從1，3，5，6中選出3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)同時(shí)有因數(shù)3和5的最大三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是615；故答案為：615?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查了數(shù)的整除特征即能被2、3、5整除的數(shù)的特征，同時(shí)考查了數(shù)的大小組成。13．（2分）（2022春?江寧區(qū)期末）手工課上張老師準(zhǔn)備了兩根彩帶（如圖所示）折五角星，把這兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是14厘米，一共有11根?！舅悸芬龑?dǎo)】兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米，就是求70和84的最大公因數(shù)；再用70和84分別除以它們的最大公因數(shù)，然后相加就是至少可剪成的彩帶根數(shù)?！疽?guī)范解答】解：70＝2×5×784＝2×2×3×7所以70和84的最大公因數(shù)是2×7＝1470÷14+84÷14＝5+6＝11（根）答：每根短彩帶最長是14厘米，一共有11根。故答案為：14；11。【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握求最大公因數(shù)的方法是解決此題的關(guān)鍵。三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2022春?莘縣期中）如果a＝2×3×5，b＝2×3×3，那么a和b的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90?！蹋ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積。據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：2×3＝62×3×3×5＝90a和b的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90。原題干說法正確。故答案為：√?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查了求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。15．（2分）（2022春?長垣市期中）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一定小于這兩個(gè)數(shù)。×（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】根據(jù)“當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較大的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，較小的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)?！笨芍寒?dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于較小的那個(gè)數(shù)，據(jù)此判斷即可?！疽?guī)范解答】解：例如12、36這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，所以題目的結(jié)論是錯(cuò)的。故答案為：×。【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查最大公因數(shù)的概念，當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)就是較小的那個(gè)數(shù)，這是求最大公因數(shù)的特殊方法。16．（2分）（2022春?市中區(qū)期末）甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是它們的積，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1。√（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是它們的積，則這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積?！疽?guī)范解答】解：甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是它們的積，則這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，所以這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1。所以原題說法正確。故答案為：√?！究键c(diǎn)評(píng)析】明確兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積是解題的關(guān)鍵。17．（2分）（2022春?輝縣市期末）23和92的最大公因數(shù)是1。×（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)。【規(guī)范解答】解：因?yàn)?2÷23＝4，所以23和92的最大公因數(shù)是23。所以原題說法錯(cuò)誤。故答案為：×。【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了為倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的求法：兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，則最大公因數(shù)是較小的數(shù)。18．（2分）（2022春?輝縣市期末）如果兩個(gè)非0自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的積，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1?！蹋ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】如果兩個(gè)非0自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的積，那么這兩個(gè)非0自然數(shù)互質(zhì)，互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1?！疽?guī)范解答】解：如果兩個(gè)非0自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的積，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1。所以原題說法正確。故答案為：√。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查互質(zhì)數(shù)的概念和意義，以及判斷兩個(gè)數(shù)是否是互質(zhì)數(shù)的方法。四．計(jì)算題（共2小題，滿分12分，每小題6分）19．（6分）（2022春?莘縣期中）求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。24和1835和4219和387和12【思路引導(dǎo)】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；兩數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積?！疽?guī)范解答】解：24＝2×2×2×3、18＝2×3×32×3＝6、2×2×2×3×3＝7224和18的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。35＝5×7、42＝2×3×72×3×5×7＝21035和42的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。19×2＝3819和38的最大公因數(shù)是19，最小公倍數(shù)是38。7和12互質(zhì)，7×12＝84，7和12的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是84。【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。20．（6分）（2022春?東昌府區(qū)期末）用短除法求出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。①36和24②16和56③32、12和16【思路引導(dǎo)】求最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，對(duì)于兩個(gè)數(shù)來說：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)，由此依次解答即可?！疽?guī)范解答】解：①36和24所以36和24的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是12×3×2＝72。②16和56所以16和56的最大公因數(shù)是8，最小公倍數(shù)是8×2×7＝112。③32、12和16所以32、12和16的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是4×4×2×3×1＝96。【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除解答。五．應(yīng)用題（共9小題，滿分52分）21．（5分）（2022春?禹城市期中）幼兒園買回49塊水果糖和30塊奶糖，李老師把兩種糖分別平均分給小班的每位小朋友，結(jié)果水果糖多出4塊，奶糖正好。小班最多有多少個(gè)小朋友？【思路引導(dǎo)】結(jié)果水果糖多出4塊，奶糖正好。說明小班人數(shù)是（49﹣4）的因數(shù)，同時(shí)也是30的因數(shù)，問小班最多有多少個(gè)小朋友，就是求（49﹣4）和30的最大公因數(shù)是多少。據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：49﹣4＝4545＝3×3×530＝2×3×5所以45和30的最大公因數(shù)是3×5＝15（人）答：小班最多有15個(gè)小朋友?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查學(xué)生解決稍復(fù)雜的應(yīng)用題的能力，本題中水果糖不能平均分，用（49﹣4）轉(zhuǎn)化成平均分，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，從而使問題得以解決。22．（5分）（2022春?滎陽市期中）插花師計(jì)劃用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵數(shù)相同，玫瑰的朵數(shù)也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？這時(shí)每束花中有多少朵花？【思路引導(dǎo)】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因數(shù)，先把要求的兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把它們公有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數(shù)；再用百合花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中百合花的朵數(shù)，用玫瑰花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中玫瑰花的總朵數(shù)，再把每束花中百合花的朵數(shù)與每束花中玫瑰花的總朵數(shù)相加即可?！疽?guī)范解答】解：70＝2×5×742＝2×3×7所以70和42的最大公因數(shù)是2×7＝1470÷14＝5（朵）42÷14＝3（朵）5+3＝8（朵）答：最多可以做14束花，這時(shí)每束花中有8朵花?！究键c(diǎn)評(píng)析】本題考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用以及最大公因數(shù)的求法。23．（6分）（2022春?黃陵縣期末）五年級(jí)（1）（2）班要參加學(xué)校組織的義務(wù)勞動(dòng)，五（1）班來了48人，五（2）班來了42人。如果把兩個(gè)班的學(xué)生分別分成若干小組，要使兩個(gè)班每個(gè)小組的人數(shù)相同，每組最多有多少人？一共有多少個(gè)小組？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，把兩個(gè)班的學(xué)生分別分成若干小組，要使兩個(gè)班每個(gè)小組的人數(shù)相同，求每組的人數(shù)就是求兩班人數(shù)的公因數(shù)，因?yàn)榍蟮氖敲拷M最多有多少人，所以就是求兩班人數(shù)的最大公因數(shù)，然后用兩個(gè)班總?cè)藬?shù)÷每組人數(shù)＝小組數(shù)量?！疽?guī)范解答】解：48＝2×2×2×2×342＝2×3×72×3＝6（人）（48+42）÷6＝90÷6＝15（個(gè)）答：每組最多有6人，一共有15個(gè)小組。【考點(diǎn)評(píng)析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。24．（6分）有兩根鋼筋，一根長50米，一根長40米，現(xiàn)在要把這兩根鋼筋鋸成同樣長的小段，且每根鋼筋不許有剩余，每小段鋼筋最長多少米？一共要鋸幾次？【思路引導(dǎo)】求出兩根鋼筋長度的最大公因數(shù)就是每小段最長的長度，分別求出兩根鋼筋可以截成的段數(shù)，次數(shù)＝段數(shù)﹣1，據(jù)此分析?！疽?guī)范解答】解：（50，40）＝1050÷10﹣1＝5﹣1＝4（次）40÷10﹣1＝4﹣1＝3（次）4+3＝7（次）答：每小段鋼筋最長10米，一共要鋸7次?！究键c(diǎn)評(píng)析】關(guān)鍵是掌握最大公因數(shù)的求法，理解鋸的次數(shù)和段數(shù)之間的關(guān)系。25．（6分）（2022春?慶云縣期中）把這兩根彩帶截成同樣長的幾段且沒有剩余，每段彩帶最長是多少厘米？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，把這兩根彩帶截成同樣長的幾段且沒有剩余，那么截成的小段既是32的因數(shù)，又是56的因數(shù)，那么小段的長度就是32與56的公因數(shù)，因?yàn)榍蟮氖敲扛《蔚淖铋L多少厘米，所以求的是32與56的最大公因數(shù)。【規(guī)范解答】解：32＝2×2×2×2×256＝2×2×2×732和56的最大公因數(shù)是：2×2×2＝8，所以每段彩帶最長是8厘米。答：每段彩帶最長是8厘米。【考點(diǎn)評(píng)析】此題需要學(xué)生熟練掌握求幾個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法并靈活運(yùn)用。26．（6分）（2020秋?贛州期末）有兩根繩子，一根長36分米，一根長48分米，把它們都剪成長度相等的小段，而且沒有剩余．每小段最長是多少分米？一共可以剪成幾段？【思路引導(dǎo)】先求36、48的最大公因數(shù)，再求可以剪成多少段．【規(guī)范解答】解：36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3，2×2×3＝12（分米），36÷12+48÷12，＝3+4，＝7（段），答：每小段最長12分米，一共可以剪成7段．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查學(xué)生應(yīng)用求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法解決實(shí)際問題的能力．27．（6分）（2022春?迎澤區(qū)期末）把45厘米、60厘米的兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余．（1）每根短彩帶最長是多少厘米？（2）一共可以剪成多少段？【思路引導(dǎo)】要把兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶