1.3不等式的性質(zhì)與解法五年高考考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)考點(diǎn)2不等式的解法目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練創(chuàng)新風(fēng)向練五年高考考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)1.(2019課標(biāo)Ⅱ理,6,5分,易)若a>b,則

(

)A.ln(a-b)>0

B.3a<3bC.a3-b3>0

D.|a|>|b|C解析

取a=0,b=-1,則ln(a-b)=ln1=0,排除A;3a=30=1,3b=3-1=

,則3a>3b,排除B;|a|=0,b=|-1|=1,則|a|<|b|,排除D.函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,所以由a>b可得a3>b3,所以a3-b3>0,C正確.故選C.2.(2017山東,7,5分,中)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是

(

)A.a+

<

<log2(a+b)B.

<log2(a+b)<a+

C.a+

<log2(a+b)<

D.log2(a+b)<a+

<

B解析

由題意得a>1,0<b<1,所以

<1,a+

=a+a=2a>2,a+b>2

,所以log2(a+b)>log2(2

)=1,結(jié)合選項(xiàng)可知B正確.3.(2018課標(biāo)Ⅲ理,12,5分,難)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則

(

)A.a+b<ab<0

B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+bB解析

因?yàn)閍=log0.20.3∈(0,1),b=log20.3∈(-2,-1),所以ab<0,因?yàn)?/p>

=log0.30.2,

=log0.32,所以

+

=log0.3(0.2×2)=log0.30.4∈(0,1),所以0<

+

<1,即0<

<1,而ab<0,所以a+b<0,a+b>ab.綜上,ab<a+b<0,故選B.考點(diǎn)2不等式的解法1.(2020浙江,9,4分,中)已知a,b∈R且ab≠0,對(duì)于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則

(

)A.a<0

B.a>0

C.b<0

D.b>0C解析

解法一:利用“數(shù)軸標(biāo)根法”求解因?yàn)閍b≠0,所以a≠0且b≠0,設(shè)f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則f(x)的零點(diǎn)為x1=a,x2=b,x3=2a+b,

(在數(shù)軸上標(biāo)出三個(gè)根,從右上方開始依次穿過(guò))①a,b,2a+b均為不同的根,則不等式可標(biāo)根為圖(1),此時(shí)應(yīng)滿足

可得a<0,b<0.

②a,b,2a+b中有兩個(gè)根為相等的根,則(i)a=2a+b>0,即b=-a<0,此時(shí)(x-a)2(x+a)≥0,符合圖(2).(ii)a=b<0,此時(shí)(x-a)2(x-3a)≥0,符合圖(3).綜合①②,可知b<0符合題意,故選C.解法二:特殊值法當(dāng)b=-1,a=1時(shí),(x-1)(x+1)(x-1)≥0在x≥0時(shí)恒成立;當(dāng)b=-1,a=-1時(shí),(x+1)(x+1)(x+3)≥0在x

≥0時(shí)恒成立;當(dāng)b=1,a=-1時(shí),(x+1)(x-1)(x+1)≥0在x≥0時(shí)不一定成立,故選C.2.(2019天津文,10,5分,易)設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.解析

3x2+x-2<0?(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x<

.3.(2019北京理,14,5分,中)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草

莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷

量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆

訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,需要支付

元;②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的

最大值為

.13015解析

①x=10時(shí),一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,共140元,由題可知顧客需支付140-10=130元.②設(shè)每筆訂單金額為m元,當(dāng)m<120時(shí),李明得到的金額為m×80%,符合要求.當(dāng)m≥120時(shí),根據(jù)題意得(m-x)80%≥m×70%,所以x≤

,而m≥120,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x≤

,而

=15,∴x≤15.所以x的最大值為15.三年模擬1.(2025屆廣東江門調(diào)研,3)下列命題為真命題的是

(

)A.若a>b>c>0,則

<

B.若a>b>0,c<0,則

<

C.若a>b>0,則ac2>bc2D.若a>b,則a>

>bD解析

對(duì)于A,

-

=

=

,因?yàn)閍>b>c>0,所以a-b>0,b(b+c)>0,所以

-

=

>0,即

>

,故A錯(cuò)誤;(根據(jù)不等式的性質(zhì)用作差法比較大小)對(duì)于B,因?yàn)閍>b>0,所以

<

,又c<0,所以

>

,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2=0,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若a>b,則2a>a+b,a+b>2b,所以a>

>b,故D正確.故選D.2.(2024北京東城一模,2)已知a,b∈R,ab≠0,且a<b,則

(

)A.

>

B.ab<b2C.a3<b3

D.lg|a|<lg|b|C解析

當(dāng)a=-1,b=1時(shí),

>

不成立,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)a=-2,b=-1時(shí),有ab=2,b2=1,則ab>b2,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上單調(diào)遞增,所以a<b必有a3<b3,選項(xiàng)C正確;當(dāng)a=-2,b=-1時(shí),lg|a|=lg2,lg|b|=lg1=0,則lg|a|>lg|b|,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.3.(2024湖南雅禮中學(xué)月考(六),2)若實(shí)數(shù)a,b滿足a2>b2>0,則下列不等式中成立的是

(

)A.a>b

B.2a>2b

C.a>|b|

D.log2a2>log2b2D解析

因?yàn)閍2>b2>0,所以log2a2>log2b2,故D成立,當(dāng)a=-2,b=-1時(shí),a2>b2>0,但a<b,2a<2b,a<|b|,故選項(xiàng)

A,B,C不成立,故選D.4.(2024河南六市部分學(xué)校聯(lián)考,4)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m(m>0)克糖

(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了,能恰當(dāng)表示這一事實(shí)的不等式為

(

)A.bm>am

B.b+m>a+mC.

>

D.

>

D解析

原糖水的濃度為

,加入糖后糖水的濃度為

.易知

>

,所以加入糖后糖水變甜了.故選D.5.(2023山東聊城期末,4)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},則不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集為

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},所以x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的兩根,且a<0,所以

解得b=-3a,c=-4a,所以不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化為-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0,因?yàn)閍<0,所以不等式等價(jià)于3(x2-1)-(x+3)+4>0,即3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,解得x>1或x<-

,即不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集為

.故選B.6.(2024山西運(yùn)城康杰中學(xué)開學(xué)考,4)當(dāng)x∈(1,2)時(shí),x2+mx+4<0恒成立,則m的取值范圍是

(

)A.(-∞,-4]

B.(-∞,-4)

C.(-∞,-5)

D.(-∞,-5]D解析

設(shè)f(x)=x2+mx+4,因?yàn)楫?dāng)x∈(1,2)時(shí),x2+mx+4<0恒成立,所以

即

解得m≤-5.故選D.7.(2025屆浙江金華期中,7)某高中高三(15)班打算下周開展辯論賽活動(dòng),現(xiàn)有辯題A、B

可供選擇,每位學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備,

已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù),經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù),則

(

)A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)A解析

設(shè)選辯題A的男生有x人,選辯題A的女生有y人,選辯題B的男生有m人,選辯題B的女生有

n人.已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù),即y+n>x+m,又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的

人數(shù),即x+y>m+n.將這兩個(gè)不等式相加得2y+x+n>2m+x+n,則2y>2m,即y>m.故選辯題A

的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).故選A.1.(多選)(2025屆安徽合肥四中診斷(四),9)下列命題正確的是

(

)A.要使關(guān)于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,則a的取值范圍是-2<

a<1B.x2-kx+k-1<0在(1,2)上恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k>3C.若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式

≥0的解集是{x|x≤-1或x≥2}D.若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},則abc>0AD解析

對(duì)于A,令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,則有f(1)=1+(a2-1)+a-2<0,(可結(jié)合f(x)的圖象理解)解得-2<a

<1,故A正確;對(duì)于B,令g(x)=x2-kx+k-1,則有

解得k≥3,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),所以a=b>0,則關(guān)于x的不等式

≥0等價(jià)于

即

解得x≤-1或x>2,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},則

得a>0,b=-2a<0,c=-8a<0,所以abc>0,故D正確.故選AD.2.(多選)(2025屆湖北鄂東南教學(xué)改革聯(lián)盟期中,10)已知兩個(gè)正數(shù)a,b滿足a+b=2,則下列

結(jié)論正確的是

(

)A.|a-1|=|b-1|

B.2a+2b≥4C.lga≥lg

D.b-

<-1ABD解析

對(duì)于A,由a+b=2,得a-1=1-b,因此|a-1|=|b-1|,A正確;對(duì)于B,由a+b=2,得2a+2b≥2

=2

=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào),B正確;對(duì)于C,取a=

,b=

,滿足a+b=2,而lga=lg

<lg2=lg

,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由a+b=2,得a=2-b,0<b<2,則b-

+1=b-

+1=

=

<0,D正確.故選ABD.3.(2024北京八一學(xué)校開學(xué)考試,12)關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1個(gè)

整數(shù),寫出滿足條件的一個(gè)a的取值范圍:

.[-1,3](答案不唯一,集合[-1,3]的子集均可)解析

關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0,當(dāng)a<1時(shí),解不等式得a<x<1,當(dāng)a>1時(shí),解不等式得1<x<a,因?yàn)椴坏仁降慕饧兄炼喟?個(gè)整數(shù),所以-1≤a<1或1<a≤3,當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為?,滿足題意,所以a的取值范圍是[-1,3](答案不唯一,集合[-1,3]的子集均可).4.(2024河南中原名校聯(lián)考,12)若關(guān)于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集為{x|-1≤x

≤3},則3a+b+2c的取值范圍是

.解析

因?yàn)椴坏仁?≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集為{x|-1≤x≤3},所以二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的

圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,且需滿足

即

解得

所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0?a≤

,所以a∈

,所以3a+b+2c=3a-2a-6a+4=4-5a∈

.5.(2024九省聯(lián)考,14)以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤

1,則max{b-a,c-b,1-c}的最小值為

.解析

設(shè)

那么

①若b≥2a,則1-y-z≥2(1-x-y-z),從而2x+y+z≥1,記m=max{b-a,c-b,1-c},從而

所以4m≥2x+y+z≥1,解得m≥

.②若a+b≤1,則1-x