第十六講余角和補角【課程解讀】————小學(xué)初中課程解讀————小學(xué)課程初中課程小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系;能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會用三角尺畫30°，45°，60°，90°角。初中數(shù)學(xué)中，理解角的概念，能比較角的大小;認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、差;理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補角相等的性質(zhì)?！局R銜接】————小學(xué)知識回顧————（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.（2）銳角：小于90°的角叫做銳角；鈍角：大于90°小于180°的角叫做鈍角.————初中知識鏈接————1.余角與補角的概念一般情況下,如果兩個角的和等于90度(直角),我們就說這兩個角互為余角,即其中每一個角是另一個角的余角.例如,∠1與∠2互為余角,∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.同樣,如果兩個角的和等于180度(平角),就說這兩個角互為補角,即其中一個角是另一個角的補角.2.余角與補角的性質(zhì)等角(同角)的余角相等;等角(同角)的補角相等.3.方位角表示方位的角叫做方位角，是由標準方向線北端或者南端開始順時針方向到某一直線的夾角.方位的表示通常用“北偏東多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏東多少度”、“南偏西多少度”來表示.“北偏東45度”、“北偏西45度"、“南偏東45度”、“南偏西45度”,分別稱為“東北方向”、“西北方向”,“東南方向”、“西南方向”.說明:用量角器畫射線要注意兩點:一是先從正南或正北方向作角的始邊,二要分清東南西北,理解偏東、偏西的意義.【經(jīng)典題型】小學(xué)經(jīng)典題型1．從7:00到7:30,分針旋轉(zhuǎn)了（）。A．30° B．90° C．180°【答案】C【解析】【詳解】分針一小時轉(zhuǎn)一圈，半個小時轉(zhuǎn)180°2．當(dāng)3：30時，鐘面上時針與分針所夾的較小角是（______）90度。（填大于、小于或等于）【答案】小于【解析】當(dāng)3：30時，分針正指6，時針指在3和4中間，它們之間夾角是2格半，1格是30°，2格半小于90°，故答案為：小于。3．三角形不可能有兩個鈍角。（______）【答案】√【解析】三角形的內(nèi)角和為180度，而鈍角的度數(shù)大于90度，如果一個三角形內(nèi)有兩個鈍角，則三角形的內(nèi)角和就大于180度，所以一個三角形中，不可能有兩個鈍角；故答案為：√4．鐘面上6時整，時針與分針形成的角是平角。（______）【答案】√【解析】鐘面上6時整，時針與分針形成的角是平角；故答案為：√5．從6：00到12：00時針旋轉(zhuǎn)了180°。（______）【答案】√【解析】30°×6＝180°所以鐘面上時針從12走到6，時針旋轉(zhuǎn)了180度；故答案為：√初中經(jīng)典題型1．若與互為補角，且是的3倍，則為（）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【解析】解：∵∠α與∠β互為補角，∴∠α＋∠β=180°，∵a是∠β的3倍，∴∠α=3∠β，∴3∠β＋∠β=180°，解得：∠β=45°．故選：A．2．一副直角三角板有不同的擺放方式，圖中滿足∠α與∠β相等的擺放方式是（）A． B．C．D．【答案】B【解析】解：A.∠α、∠β互余,不合題意；B.根據(jù)根據(jù)同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合題意；C.∠α=60°，∠β=75°，不合題意；D.∠α=45°，∠β=60°，不合題意．故選：B．3．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于O,∠COE=55°,則∠BOD的度數(shù)是（）A．35° B．45° C．30° D．40°【答案】A【解析】解：∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°，

∵∠COE=55°，

∴∠AOC=90°∠COE=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°．

故選：A．4．如果一個角是50°，那么它的余角的度數(shù)是()．A．40° B．50° C．100° D．130°【答案】A【解析】解：設(shè)這個角為x°，由題意得：90°﹣x°＝50°，解得：x＝40°，故選A.5．若∠A與∠B互為余角，∠A=40°，則∠B=()A．140° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解析】∵∠A與∠B互為余角，∠A=40°，∴∠B=90°﹣40°=50°，故選：C．6．下列圖形中和互為余角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)余角的定義，兩角之和為90°，這兩個角互余．

D中∠1和∠2之和為90°，互為余角．

故選D．7．如圖所示，，，則圖中互為余角的共有（）A．5對 B．4對 C．3對 D．2對【答案】B【解析】如圖，，即與互余，與互余，即，即與互余，與互余綜上，互為余角的共有4對故選：B.8．如果兩個不相等的角互為補角，那么這兩個角（）A．都是銳角 B．都是鈍角 C．一個銳角，一個鈍角 D．以上答案都不對【答案】C【解析】∵兩個不相等的角互為補角，∴這兩個角一個角大于90°，一個角小于90°，即一個是鈍角，一個是銳角，故選：C9．若∠A與∠B互為余角，∠A=30°，則∠B的補角是（）A．60° B．120° C．30° D．150°【答案】B【解析】解：∵∠A與∠B互為余角，∠A=30°，∴∠B=90°－∠A=60°∴∠B的補角為180°－60°=120°故選B．10．已知∠α與∠β互余，且∠α=35°18′23″，則∠β=______．【答案】54°41′37″【解析】∵∠α與∠β互余，∴∠β=9035°18′23″=54°41′37″.11．已知∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，則∠COD的度數(shù)為_____【答案】30°或120°【解析】解：設(shè)∠AOB＝x°，則∠COD＝3x°﹣60°，分兩種情況：①如圖1，∵∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，即3x﹣60＝90+90﹣x，x＝60°，∴∠COD＝3×60°﹣60°＝120°；②如圖2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，x+90＝3x﹣60+90，x＝30°，∴∠COD＝30°，綜上所述，∠COD的度數(shù)為30°或120°，故答案為：30°或120°．12．若∠AOB=65°，則它的余角是_________，它的補角是________．【答案】25°115°【解析】解：∵∠AOB=65°，∴它的余角是90°－65°=25°它的補角是180°－65°=115°故答案為：25°；115°．13．已知∠AOB＝25°42′，則∠AOB的補角為_____．【答案】154°18′【解析】解：∠AOB的補角為：180°﹣25°42′＝154°18′．故答案為：154°18′．14．若的余角是它的倍，則的度數(shù)為_________°.【答案】【解析】題意可知，的余角是，∴+=90°，∴=30°，故答案為：．15．如圖，O是直線上一點，OC是的平分線，若，則__________.【答案】【解析】∵O是直線AB上的一點，OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=90°.∴∠COD=∠AOC∠AOD=90°，故答案為：．16．∠1和∠2互余，∠2和∠3互補，∠1=63°，∠3=_________。【答案】153°【解析】解：∵∠1+∠2=90°，∠1=63°，∴∠2=90°63°=27°，又∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°27°=153°．故答案為：153°.17．一個角的余角是這個角的2倍，求這個角的度數(shù)？【答案】30【解析】解：設(shè)這個角的度數(shù)為x，則其余角為，根據(jù)題意得解得所以這個角的度數(shù)為30.18．互補的兩個角之差是，求其中較小角的余角度數(shù)．【答案】14°【解析】解：設(shè)較小的角為x，則其補角為180°－x，根據(jù)題意得：180°－x－x＝28°，解得x＝76°，則90°－x＝90°－76°＝14°，答：其中較小角的余角的度數(shù)為14°．19．一個角與它的補角的度數(shù)之比為1：8，求這個角的余角的度數(shù)．【答案】70°【解析】設(shè)這個角是x，則它的補角=180°?x，根據(jù)題意得，x∶(180°?x)＝1∶8，解得x＝20°，90°?20°＝70°．答：這個角的余角是70°．20．如圖，O是直線AB上一點，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出圖中∠AOD與∠BOE的補角；（2）試判斷∠COD與∠COE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）∠AOD的補角為∠BOD，∠COD；∠BOE的補角為∠AOE，∠COE；（2）∠COD+∠COE=90o，理由參見解析．【解析】（1）因為∠AOD+∠BOD=180o，所以∠AOD的補角為∠BOD，又因為OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD，所以∠AOD的補角為∠BOD，∠COD；同理因為∠AOE+∠BOE=180o，所以∠BOE的補角為∠AOE，又因為OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOE，所以∠BOE的補角為∠AOE，∠COE；（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC，∠COD=∠BOC，∴∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=∠AOB=90o，即∠COD與∠COE的數(shù)量關(guān)系是∠COD+∠COE=90o．【實戰(zhàn)演練】————先作小學(xué)題——夯實基礎(chǔ)————1．在下面三角形中，∠1=38°，∠2+∠3=90°，求∠3和∠4各是多少度？【答案】∠3是38°，∠4是52°【解析】∠4=180°﹣∠1﹣（∠2+∠3），∠4=180°﹣38°﹣90°，∠4=52°；∠3=180°﹣90°﹣∠4，∠3=180°﹣90°﹣52°，∠3=38°．答：∠3是38°，∠4是52°．2．下圖中，∠1=33°，求∠2的度數(shù)。（寫出必要的計算過程。）【答案】∠2=90°33°=57°【解析】【詳解】∠2=90°33°=57°3．如下圖，已知∠1=28°，求∠2，∠3，∠5的度數(shù)?！敬鸢浮俊?=152°；∠3=28°；∠5=62°【解析】∠2=180°－28°=152°∠3=180°－152°=28°∠5=90°－28°=62°4．如圖，∠1＝40°，那么∠2、∠3各是多少度？【答案】∠2是50°，∠3是140°【解析】因為∠1+∠2+90°＝180°，∠1＝40°所以∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°因為，∠1+∠3＝180°，∠1＝40°所以∠3＝180°﹣40°＝140°答：∠2是50°，∠3是140°．5．下圖中∠1=50°，求∠2，∠4，∠5的度數(shù)。【答案】∠2=40°；∠5=130°；∠4=50°【解析】【詳解】∠2=90°50°=40°；∠5=180°50°=130°；∠4=180°130°=50°————再戰(zhàn)初中題——能力提升————1．一個角的度數(shù)是40°，那么它的余角的補角度數(shù)是（）A．130° B．140° C．50° D．90°【答案】A【解析】°?40°=50°，50°角的補角是：180°?50°=130°.故選:A.2．如果一個角的補角是150°，那么這個角的余角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】根據(jù)定義一個角的補角是150°，則這個角是180°150°=30°，這個角的余角是90°30°=60°．

故選：B．3．已知，則的補角是()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵∴的補角==，故選A．4．若，則的余角等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵，∴的余角=，故選：．5．如圖，直線a，b相交于點O，因為∠1＋∠2=180°，∠3＋∠2=180°，所以∠1=∠3，這是根據(jù)（）A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的補角相等 D．等角的補角相等【答案】C【解析】∵∠1＋∠2=180°，∠3＋∠2=180°，∠1與∠3都是∠2的補角，∴∠1=∠3（同角的補角相等）．故選：C．6．如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】∵∠α和∠β互補，∴∠α+∠β＝180°．因為90°﹣∠β+∠β＝90°，所以①正確；又∠α﹣90°+∠β＝∠α+∠β﹣90°＝180°﹣90°＝90°，②也正確；（∠α+∠β）+∠β180°+∠β＝90°+∠β≠90°，所以③錯誤；（∠α﹣∠β）+∠β（∠α+∠β）180°＝90°，所以④正確．綜上可知：①②④均正確．故選B．7．如果的補角與的余角互補，那么是（）A．銳角 B．直角C．鈍角 D．以上三種都可能【答案】B【解析】解：∵的補角為180°∠A，的余角為90°∠A∴180°∠A+（90°∠A）=180∴=90°故答案為B．8．已用點A、B、C、D、E的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．∠AOB＝130° B．∠AOB＝∠DOE C．∠DOC與∠BOE互補 D．∠AOB與∠COD互余【答案】C【解析】解：∵∠AOB=50°，∠DOE=40°，∠DOC=50°，∠BOE=130°，∴∠DOC+∠BOE=180°；故選：C．9．下面說法:①若線段AC=BC,則C是線段AB的中點;②兩點之間,直線最短;③延長直線AB;④若一個角既有余角又有補角,則它的補角一定比它的余角大.其中正確的有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】①如圖，AC=BC，但C不是線段AB的中點，故①不正確；②兩點之間線段最短，故②不正確；③直線向兩邊無限延伸，不能延長，故③不正確；④一個角有余角，說明這個角是銳角，所以它的補角一定比它的余角大，故④正確．故選B．10．若，則，理由是____________．【答案】同角的余角相等【解析】解：若∠A+∠B=90°，∠B+∠C=90°，則∠A=∠C，其根據(jù)是同角的余角相等．

故答案為：同角的余角相等．11．如圖，OA⊥OC，OB⊥OD，垂足都是點O，如果∠AOB=153°，那么∠COD=____________．【答案】27°【解析】∵OA⊥OC，OB⊥OD，

∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，

∵∠AOB=153°，

∴∠BOC=153°∠AOC=63°，

∴∠COD=90°∠BOC=90°63°=27°．

故答案為：27°．12．若∠α與∠β互余，且∠α=35°，則∠β的補角為_________．【答案】125°【解析】∵∠α與∠β互余，∠α=35°，

∴∠β=90°35°=55°，

∴∠β的補角為：180°55°=125°；

故答案為：125°．13．已知∠A=50°35＇，則∠A的余角是_____．【答案】39°25’【解析】∠A的余角為：90°－∠A=90°－50°35＇=39°25’故答案為：39°25’．14．一個角的補角是它的余角的4倍，則這個角是_____________度．【答案】60【解析】設(shè)這個角為x，則它的余角為90°?x，補角為180°?x，根據(jù)題意得，180°?x＝4（90°?x），解得x＝60°．故答案為：60．15．一個角與它的補角之差是20°,則這個角的大小是____.【答案】100°【解析】設(shè)這個角為α，則它的補角180°α，根據(jù)題意得，α（180°α）=20°，解得：α=100°，故答案為100°．16．若一個角比它的補角大36°48＇，則這個角為______°_____＇.【答案】10824【解析】36°48′=36.8°，設(shè)這個角為x°,則這個角的補角為(180?x)°，x?(180?x)=36.8，解得：x=108.4，108.4°=108°24′，故答案為：108；24.17．將一副三角板按圖甲的位置放置．（1）那么∠AOD和∠BOC相等嗎?請說明