§10.7概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題分值：30分1.(15分)某種藥材的種植、加工過程受天氣、施肥、管理等因素影響，農(nóng)民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產(chǎn)了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.(1)若在去年生產(chǎn)的藥材中隨機抽取4箱，設(shè)X為上等藥材的箱數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(7分)(2)已知每箱藥材的利潤如表：等級上等藥材中等藥材普通藥材利潤(元/箱)400020001200今年市場需求增加，某農(nóng)戶計劃增加產(chǎn)量，且生產(chǎn)的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相應(yīng)增加(1000m2000lnm)元，假設(shè)你為該農(nóng)戶決策，你覺得目前應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果需要增加產(chǎn)量，增加多少箱最好？如果不需要增加產(chǎn)量，請說明理由.(8分)2.(15分)(2024·福州質(zhì)檢)從一副撲克牌中挑出4張Q和4張K，將其中2張Q和2張K裝在一個不透明的袋中，剩余的2張Q和2張K放在外面.現(xiàn)從袋中隨機抽出一張撲克牌，若抽出Q，則把它放回袋中；若抽出K，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張Q放入袋中.如此操作若干次，直到將袋中的K全部置換為Q.(1)在操作2次后，袋中K的張數(shù)記為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望；(3分)(2)記事件“在操作n+1(n∈N*)次后，恰好將袋中的K全部置換為Q”為An，記Pn=P(An).①在第1次取到Q的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；(5分)②試探究Pn+1與Pn的遞推關(guān)系，并說明理由.(7分)答案精析1.解(1)X的可能取值為0，1，2，P(X=0)=C20P(X=1)=C21P(X=2)=C22X的分布列為X012P31447314X的數(shù)學期望為E(X)=0×314+1×47+2×3(2)按原計劃生產(chǎn)藥材每箱平均利潤為14×4000+14×2000+12×(1200)=900(則增加m箱藥材，利潤增加為900m元，成本相應(yīng)增加(1000m2000lnm)元，所以增加凈利潤為900m1000m+2000lnm=2000lnm100m(m∈N*).設(shè)f(x)=2000lnx100x(x∈N*)，則f'(x)=2000x100令f'(x)=0，得x=20，當1≤x<20時，f'(x)>0，當x>20時，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函數(shù)f(x)在[1，20)上單調(diào)遞增，在(20，+∞)上單調(diào)遞減，當x=20時，f(x)取得最大值，所以需要增加產(chǎn)量，增加20箱最好.2.解(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P(X=0)=24×P(X=1)=24×24P(X=2)=24×所以X的分布列為X012P185814所以E(X)=0×18+1×58+2×14=9(2)①記事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“總共4次操作恰好完成置換”，則P(E)=12依題意，若第一次取到Q，則剩余的3次操作，須將袋中K全部置換為Q，若第二次也取出Q，則第三次和第四次均須取出K，其概率為12×2若第二次取出K，則第三次取出Q，第四次取出K，其概率為12×2綜上所述，P(EF)=132+364所以P(F|E)=P(EF)P即在第1次取到Q的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為532②Pn+1=12n+3+3設(shè)事件B表示“n次操作后袋中還剩1張K”，依題意，Pn為(n+1)次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q的概率，而發(fā)生這樣的情況需n次操作后袋中還剩1張K，且第(n+1)次抽中K，則Pn=14P(B)，即P(B)=4PnPn+1為(n+2)次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q的概率，有2種情況：n次操作后袋中還剩2張K，即前n次全取Q，概率為12n，并且第(n+1)次和第(n+2