非線性控制系統(tǒng)理論習(xí)題及答案習(xí)題1考慮如下非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：$$\begin{cases}\dot{x}_1=x_2-x_1^3\\\dot{x}_2=-x_1-x_2^3\end{cases}$$問題：(1)判斷該系統(tǒng)是否為自治系統(tǒng)；(2)求所有平衡點(diǎn)；(3)對(duì)每個(gè)平衡點(diǎn)進(jìn)行局部線性化，計(jì)算雅可比矩陣并分析其局部穩(wěn)定性。解答(1)自治系統(tǒng)的定義是狀態(tài)方程不顯含時(shí)間變量\(t\)。觀察給定系統(tǒng)，方程右側(cè)僅包含狀態(tài)變量\(x_1,x_2\)，無顯式時(shí)間項(xiàng)，因此該系統(tǒng)為自治系統(tǒng)。(2)平衡點(diǎn)滿足\(\dot{x}_1=0\)且\(\dot{x}_2=0\)，即：$$\begin{cases}x_2-x_1^3=0\\-x_1-x_2^3=0\end{cases}$$將第一個(gè)方程\(x_2=x_1^3\)代入第二個(gè)方程，得：$$-x_1-(x_1^3)^3=-x_1-x_1^9=0\impliesx_1(x_1^8+1)=0$$由于\(x_1^8+1>0\)對(duì)所有實(shí)數(shù)\(x_1\)成立，唯一解為\(x_1=0\)，代入\(x_2=x_1^3\)得\(x_2=0\)。因此，系統(tǒng)僅有一個(gè)平衡點(diǎn)\((x_1,x_2)=(0,0)\)。(3)局部線性化需計(jì)算系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣\(J\)，其元素為\(J_{ij}=\frac{\partial\dot{x}_i}{\partialx_j}\)。計(jì)算得：$$J=\begin{bmatrix}\frac{\partial\dot{x}_1}{\partialx_1}&\frac{\partial\dot{x}_1}{\partialx_2}\\\frac{\partial\dot{x}_2}{\partialx_1}&\frac{\partial\dot{x}_2}{\partialx_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3x_1^2&1\\-1&-3x_2^2\end{bmatrix}$$在平衡點(diǎn)\((0,0)\)處，雅可比矩陣為：$$J(0,0)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$$其特征值由\(\det(\lambdaI-J)=\lambda^2+1=0\)解得\(\lambda=\pmj\)（純虛數(shù)）。根據(jù)李雅普諾夫第一方法（線性近似法），當(dāng)線性化系統(tǒng)的特征值實(shí)部全為零且存在純虛根時(shí)，原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性無法由線性近似直接判定，需進(jìn)一步用李雅普諾夫第二方法分析。習(xí)題2考慮一維非線性系統(tǒng)：$$\dot{x}=-x+x^3$$問題：(1)用李雅普諾夫第一方法分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性；(2)用李雅普諾夫第二方法構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)，判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性；(3)若系統(tǒng)改為\(\dot{x}=-x^3\)，重復(fù)(2)。解答(1)李雅普諾夫第一方法通過線性近似分析。系統(tǒng)在原點(diǎn)\(x=0\)處的線性化模型為\(\dot{x}=\left.\frac{d\dot{x}}{dx}\right|_{x=0}\cdotx=(-1+3x^2)|_{x=0}\cdotx=-x\)。線性化系統(tǒng)的特征值\(\lambda=-1\)（實(shí)部為負(fù)），因此線性近似系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。但需注意，當(dāng)非線性項(xiàng)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)足夠小時(shí)，原系統(tǒng)與線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性一致，故原點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。(2)李雅普諾夫第二方法需構(gòu)造正定函數(shù)\(V(x)\)，并驗(yàn)證其導(dǎo)數(shù)\(\dot{V}(x)\)的符號(hào)。選擇\(V(x)=\frac{1}{2}x^2\)（正定），計(jì)算導(dǎo)數(shù)：$$\dot{V}(x)=x\cdot\dot{x}=x(-x+x^3)=-x^2+x^4=-x^2(1-x^2)$$在原點(diǎn)鄰域\(|x|<1\)內(nèi)，\(1-x^2>0\)，因此\(\dot{V}(x)=-x^2(1-x^2)\leq0\)（半負(fù)定）。進(jìn)一步分析\(\dot{V}(x)=0\)的情況：僅當(dāng)\(x=0\)或\(|x|=1\)時(shí)\(\dot{V}(x)=0\)。但\(|x|=1\)時(shí)，原系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是否停留在該點(diǎn)？代入原方程，當(dāng)\(x=1\)時(shí)\(\dot{x}=-1+1=0\)，即\(x=1\)是平衡點(diǎn)；同理\(x=-1\)也是平衡點(diǎn)。因此，在\(|x|<1\)內(nèi)，除原點(diǎn)外無其他平衡點(diǎn)，根據(jù)拉薩爾不變性原理，所有從\(|x|<1\)出發(fā)的軌跡最終會(huì)收斂到原點(diǎn)。故原點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。(3)系統(tǒng)改為\(\dot{x}=-x^3\)，仍選擇\(V(x)=\frac{1}{2}x^2\)，則：$$\dot{V}(x)=x\cdot(-x^3)=-x^4$$顯然\(\dot{V}(x)\leq0\)，且\(\dot{V}(x)=0\)僅當(dāng)\(x=0\)。因此\(V(x)\)是正定的，\(\dot{V}(x)\)是負(fù)定的，根據(jù)李雅普諾夫定理，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的（因\(V(x)\)徑向無界，且\(\dot{V}(x)\)負(fù)定）。習(xí)題3考慮單輸入仿射非線性系統(tǒng)：$$\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=\sin(x_1)+u\end{cases}$$問題：(1)驗(yàn)證系統(tǒng)是否為仿射非線性系統(tǒng)；(2)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律\(u=\alpha(x)+\beta(x)v\)，使得閉環(huán)系統(tǒng)在新坐標(biāo)\(z=[z_1,z_2]^T\)下線性化為雙積分器形式\(\dot{z}_1=z_2,\dot{z}_2=v\)；(3)若期望軌跡為\(x_1^d(t)=\sin(t)\)，設(shè)計(jì)跟蹤控制器。解答(1)仿射非線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式為\(\dot{x}=f(x)+g(x)u\)，其中\(zhòng)(f(x)\)為漂移向量場(chǎng)，\(g(x)\)為輸入向量場(chǎng)。給定系統(tǒng)可表示為：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}x_2\\\sin(x_1)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$$符合仿射形式，故為仿射非線性系統(tǒng)。(2)反饋線性化的目標(biāo)是通過坐標(biāo)變換\(z=\Phi(x)\)和反饋\(u=\alpha(x)+\beta(x)v\)，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性可控標(biāo)準(zhǔn)型。選擇坐標(biāo)變換\(z_1=x_1\)，則\(z_2=\dot{z}_1=\dot{x}_1=x_2\)，進(jìn)一步計(jì)算\(\dot{z}_2=\dot{x}_2=\sin(x_1)+u\)。為使其線性化為\(\dot{z}_2=v\)，需令：$$\sin(x_1)+u=v\impliesu=v-\sin(x_1)$$因此，反饋控制律為\(u=-\sin(x_1)+v\)（即\(\alpha(x)=-\sin(x_1)\)，\(\beta(x)=1\)）。此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在\(z\)坐標(biāo)下為：$$\dot{z}_1=z_2,\quad\dot{z}_2=v$$即雙積分器形式，實(shí)現(xiàn)了輸入-狀態(tài)線性化。(3)跟蹤控制的目標(biāo)是使\(x_1(t)\)跟蹤期望軌跡\(x_1^d(t)=\sin(t)\)。定義跟蹤誤差\(e_1=z_1-x_1^d=x_1-\sin(t)\)，則\(e_2=\dot{e}_1=z_2-\cos(t)\)。期望的\(z_2^d=\dot{x}_1^d=\cos(t)\)，期望的\(\dot{z}_2^d=-\sin(t)\)。設(shè)計(jì)線性跟蹤控制律\(v=\dot{z}_2^d-k_1e_1-k_2e_2\)（\(k_1,k_2>0\)為增益），代入得：$$v=-\sin(t)-k_1(x_1-\sin(t))-k_2(x_2-\cos(t))$$結(jié)合反饋律\(u=-\sin(x_1)+v\)，最終跟蹤控制器為：$$u=-\sin(x_1)-\sin(t)-k_1(x_1-\sin(t))-k_2(x_2-\cos(t))$$此控制律可保證誤差動(dòng)態(tài)\(\ddot{e}_1+k_2\dot{e}_1+k_1e_1=0\)漸近穩(wěn)定（通過選擇\(k_1,k_2\)使特征方程根實(shí)部為負(fù)）。習(xí)題4考慮一維非線性系統(tǒng)：$$\dot{x}=\mux-x^3$$其中\(zhòng)(\mu\)為實(shí)參數(shù)。問題：(1)求所有平衡點(diǎn)；(2)分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性隨\(\mu\)的變化；(3)判斷分岔類型，畫出分岔圖（定性）。解答(1)平衡點(diǎn)滿足\(\dot{x}=0\)，即\(\mux-x^3=x(\mu-x^2)=0\)，解得：-當(dāng)\(\mu\leq0\)時(shí)，僅\(x=0\)是實(shí)平衡點(diǎn)；-當(dāng)\(\mu>0\)時(shí)，平衡點(diǎn)為\(x=0\)、\(x=\sqrt{\mu}\)、\(x=-\sqrt{\mu}\)。(2)穩(wěn)定性分析通過計(jì)算平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\mu-3x^2\)（\(f(x)=\mux-x^3\)）：-對(duì)于\(x=0\)，\(f'(0)=\mu\)：-當(dāng)\(\mu<0\)時(shí)，\(f'(0)<0\)，平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定；-當(dāng)\(\mu>0\)時(shí)，\(f'(0)>0\)，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定；-當(dāng)\(\mu=0\)時(shí)，\(f'(0)=0\)，需分析高階項(xiàng)：此時(shí)\(\dot{x}=-x^3\)，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（因\(x>0\)時(shí)\(\dot{x}<0\)，\(x<0\)時(shí)\(\dot{x}>0\)，軌跡收斂到原點(diǎn)）。-對(duì)于\(x=\pm\sqrt{\mu}\)（僅當(dāng)\(\mu>0\)存在），\(f'(\pm\sqrt{\mu})=\mu-3(\sqrt{\mu})^2=\mu-3\mu=-2\mu<0\)，故這兩個(gè)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。(3)分岔發(fā)生在\(\mu=0\)處。當(dāng)\(\mu<0\)時(shí)，僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)\(x=0\)；當(dāng)\(\mu>0\)時(shí)，原平衡點(diǎn)\(x=0\)變?yōu)椴环€(wěn)定，同時(shí)分支出兩個(gè)新的穩(wěn)定平衡點(diǎn)\(x=\pm\sqrt{\mu}\)。這種分岔類型為“叉型分岔”（PitchforkBifurcation）。分岔圖的橫軸為參數(shù)\(\mu\)，縱軸為平衡點(diǎn)\(x\)，當(dāng)\(\mu<0\)時(shí)，實(shí)線（穩(wěn)定）在\(x=0\)；當(dāng)\(\mu>0\)時(shí)，\(x=0\)為虛線（不穩(wěn)定），\(x=\pm\sqrt{\mu}\)為實(shí)線（穩(wěn)定），整體呈“叉”狀。習(xí)題5考慮如下兩個(gè)非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)A：$$\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=u\\y=x_1\end{cases}$$系統(tǒng)B：$$\begin{cases}\dot{x}_1=x_1^2+u\\\dot{x}_2=x_2\\y=x_1\end{cases}$$問題：(1)判斷系統(tǒng)A是否小范圍能控；(2)判斷系統(tǒng)B是否小范圍能控。解答(1)系統(tǒng)A的狀態(tài)空間模型可表示為：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$$這是一個(gè)線性系統(tǒng)（盡管形式上是“非線性”描述，但狀態(tài)方程無二次以上項(xiàng)），其能控性矩陣為：$$Q_c=\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$$\(\det(Q_c)=-1\neq0\)，故線性系統(tǒng)完全能控。對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍能控等價(jià)于完全能控，因此系統(tǒng)A小范圍能控。(2)系統(tǒng)B是非線性仿射系統(tǒng)，形式為\(\dot{x}=f(x)+g(x)u\)，其中\(zhòng)(f(x)=\begin{bmatrix}x_1^2\\x_2\end{bmatrix}\)，\(g(x)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。小范圍能控性需驗(yàn)證能控性秩條件：計(jì)算李括號(hào)生成的向量空間在原點(diǎn)的秩是否等于狀態(tài)維數(shù)（2）。首先計(jì)算\(g(x)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)，\([f,g]=L_fg-L_gf\)（李括號(hào)）。其中\(zhòng)(L_fg=\frac{\partialg}{\partialx}f=0\)（因\(g\)與\(x\)無關(guān)），\(L_gf=\frac{\partialf}{\partialx}g=\begin{bmatrix}2x_1\\0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=2x_1\)，故\([f,g]=-L_gf=\begin{bmatrix}-2x_1\\0\end{bmatrix}\)。在原點(diǎn)\(x=0\)處，\(g(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)，\([f,g](0)=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)（因\(x_1=0\)）。進(jìn)一步計(jì)算高階李括號(hào)\([f