自動(dòng)控制原理(非自動(dòng)化類)課后習(xí)題及答案一、習(xí)題部分1.試建立圖1所示RC串聯(lián)電路的微分方程，并求其傳遞函數(shù)。其中，輸入為電源電壓\(u_i(t)\)，輸出為電容電壓\(u_o(t)\)，電阻為\(R\)，電容為\(C\)。（注：圖1為簡單RC串聯(lián)電路，電源、電阻、電容依次串聯(lián)，輸出取自電容兩端）2.已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示（圖中\(zhòng)(G_1(s)=\frac{1}{s+1}\)，\(G_2(s)=\frac{2}{s}\)，\(H(s)=s+1\)），試通過結(jié)構(gòu)圖等效變換化簡，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\)。3.某二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(zhòng)(\zeta=0.5\)，\(\omega_n=4\,\text{rad/s}\)。試計(jì)算該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：上升時(shí)間\(t_r\)、峰值時(shí)間\(t_p\)、超調(diào)量\(\sigma\%\)和調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)（取\(\Delta=5\%\)）。4.已知系統(tǒng)的特征方程為\(s^4+3s^3+5s^2+4s+2=0\)，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；若系統(tǒng)不穩(wěn)定，指出不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。5.設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，試?yán)L制其根軌跡圖（要求標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)：起點(diǎn)、終點(diǎn)、分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn)），并分析當(dāng)\(K\)增大時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變化。6.某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為\(G(j\omega)H(j\omega)=\frac{10}{j\omega(0.1j\omega+1)(0.5j\omega+1)}\)，試?yán)L制其對數(shù)幅頻特性曲線（伯德圖），并利用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（假設(shè)系統(tǒng)無右半平面開環(huán)極點(diǎn)）。7.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)，試設(shè)計(jì)一個(gè)超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（其中\(zhòng)(\alpha>1\)），使得校正后系統(tǒng)的相位裕度不小于\(45^\circ\)，并保持開環(huán)增益不變。8.某位置隨動(dòng)系統(tǒng)的微分方程如下：比較元件：\(e(t)=r(t)-c(t)\)放大元件：\(u_a(t)=K_1e(t)\)執(zhí)行元件（直流電動(dòng)機(jī)）：\(T_m\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=K_2u_a(t)\)其中\(zhòng)(T_m\)、\(K_1\)、\(K_2\)為正常數(shù)。試推導(dǎo)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\frac{C(s)}{R(s)}\)，并分析當(dāng)\(K_1K_2\)增大時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化趨勢。二、答案部分1.RC串聯(lián)電路微分方程與傳遞函數(shù)根據(jù)基爾霍夫電壓定律，輸入電壓\(u_i(t)\)等于電阻電壓與電容電壓之和，即：\(u_i(t)=Ri(t)+u_o(t)\)電容電流\(i(t)=C\frac{du_o(t)}{dt}\)，代入上式得：\(u_i(t)=RC\frac{du_o(t)}{dt}+u_o(t)\)整理為微分方程：\(RC\frac{du_o(t)}{dt}+u_o(t)=u_i(t)\)對微分方程兩邊取拉普拉斯變換（初始條件為零），得：\(RCsU_o(s)+U_o(s)=U_i(s)\)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{RCs+1}\)。2.結(jié)構(gòu)圖等效變換求閉環(huán)傳遞函數(shù)原結(jié)構(gòu)圖中，\(G_1(s)\)與\(G_2(s)\)串聯(lián)，前向通路傳遞函數(shù)為\(G_1(s)G_2(s)=\frac{1}{s+1}\cdot\frac{2}{s}=\frac{2}{s(s+1)}\)；反饋通路傳遞函數(shù)為\(H(s)=s+1\)，反饋極性為負(fù)。根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)公式\(\Phi(s)=\frac{\text{前向通路傳遞函數(shù)}}{1+\text{前向通路}\times\text{反饋通路}}\)，代入得：\(\Phi(s)=\frac{\frac{2}{s(s+1)}}{1+\frac{2}{s(s+1)}\cdot(s+1)}=\frac{\frac{2}{s(s+1)}}{1+\frac{2}{s}}=\frac{2}{s(s+1)+2(s+1)}=\frac{2}{(s+1)(s+2)}\)。3.二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算已知\(\zeta=0.5\)，\(\omega_n=4\,\text{rad/s}\)，二階系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)（\(0<\zeta<1\)）。-上升時(shí)間\(t_r\)：公式為\(t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}\)，其中\(zhòng)(\beta=\arccos\zeta=\arccos0.5=\frac{\pi}{3}\)，阻尼振蕩頻率\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=4\times\sqrt{1-0.25}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\text{rad/s}\)。代入得\(t_r=\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\approx0.605\,\text{s}\)。-峰值時(shí)間\(t_p\)：公式為\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\approx0.907\,\text{s}\)。-超調(diào)量\(\sigma\%\)：公式為\(\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%\)，代入得\(\sigma\%=e^{-\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-0.25}}}\times100\%=e^{-\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\times100\%\approx16.3\%\)。-調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)（\(\Delta=5\%\)）：近似公式\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times4}=1.5\,\text{s}\)。4.勞斯判據(jù)穩(wěn)定性分析系統(tǒng)特征方程為\(s^4+3s^3+5s^2+4s+2=0\)，列勞斯表：|\(s^4\)|1|5|2||---------|-----|-----|-----||\(s^3\)|3|4|0||\(s^2\)|\(\frac{3\times5-1\times4}{3}=\frac{11}{3}\)|\(\frac{3\times2-1\times0}{3}=2\)|0||\(s^1\)|\(\frac{\frac{11}{3}\times4-3\times2}{\frac{11}{3}}=\frac{\frac{44}{3}-6}{\frac{11}{3}}=\frac{\frac{26}{3}}{\frac{11}{3}}=\frac{26}{11}\)|0|0||\(s^0\)|2|0|0|勞斯表第一列所有元素均為正，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。5.根軌跡圖繪制與穩(wěn)定性分析開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，極點(diǎn)為\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-2\)，無零點(diǎn)。-起點(diǎn)：三個(gè)極點(diǎn)\(0\)、\(-1\)、\(-2\)；終點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)處（因無有限零點(diǎn)）。-實(shí)軸上的根軌跡：區(qū)間\((-\infty,-2]\)、\([-1,0]\)（根據(jù)根軌跡規(guī)則，實(shí)軸上某段右側(cè)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，該段為根軌跡）。-分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)：設(shè)分離點(diǎn)為\(d\)，滿足\(\sum_{i=1}^3\frac{1}{d-p_i}=0\)，即\(\frac{1}8ge4u44+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}=0\)。通分后得\((d+1)(d+2)+d(d+2)+d(d+1)=0\)，展開為\(3d^2+6d+2=0\)，解得\(d=\frac{-6\pm\sqrt{36-24}}{6}=\frac{-6\pm2\sqrt{3}}{6}=-1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)。其中\(zhòng)(d_1\approx-0.423\)（位于\([-1,0]\)區(qū)間，為分離點(diǎn)），\(d_2\approx-1.577\)（位于\((-\infty,-2]\)區(qū)間外，舍去）。-與虛軸交點(diǎn)：令\(s=j\omega\)，代入特征方程\(s(s+1)(s+2)+K=0\)，展開得\(s^3+3s^2+2s+K=0\)。代入\(s=j\omega\)得\(-j\omega^3-3\omega^2+2j\omega+K=0\)，分離實(shí)部和虛部：實(shí)部：\(-3\omega^2+K=0\)虛部：\(-\omega^3+2\omega=0\)由虛部得\(\omega(\omega^2-2)=0\)，解得\(\omega=0\)（對應(yīng)\(K=0\)，為起點(diǎn)）或\(\omega=\sqrt{2}\)（\(\omega>0\)）。代入實(shí)部得\(K=3\omega^2=3\times2=6\)。因此，根軌跡與虛軸交點(diǎn)為\(s=\pmj\sqrt{2}\)，對應(yīng)\(K=6\)。穩(wěn)定性分析：當(dāng)\(0<K<6\)時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)\(K=6\)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)\(K>6\)時(shí)，存在右半平面極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。6.伯德圖繪制與奈奎斯特判據(jù)穩(wěn)定性判斷開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(j\omega)H(j\omega)=\frac{10}{j\omega(0.1j\omega+1)(0.5j\omega+1)}\)，可分解為比例環(huán)節(jié)\(K=10\)、積分環(huán)節(jié)\(\frac{1}{j\omega}\)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{0.1j\omega+1}\)和\(\frac{1}{0.5j\omega+1}\)。-對數(shù)幅頻特性\(L(\omega)=20\lg|G(j\omega)H(j\omega)|=20\lg10-20\lg\omega-20\lg\sqrt{(0.1\omega)^2+1}-20\lg\sqrt{(0.5\omega)^2+1}\)。-轉(zhuǎn)折頻率：慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率為\(\omega_1=\frac{1}{0.1}=10\,\text{rad/s}\)，\(\omega_2=\frac{1}{0.5}=2\,\text{rad/s}\)（按從小到大排序?yàn)閈(2\,\text{rad/s}\)、\(10\,\text{rad/s}\)）。-低頻段（\(\omega\ll2\)）：慣性環(huán)節(jié)近似為1，\(L(\omega)\approx20\lg10-20\lg\omega=20-20\lg\omega\)，斜率為\(-20\,\text{dB/dec}\)。-中頻段（\(2<\omega<10\)）：第一個(gè)慣性環(huán)節(jié)（\(\omega_2=2\)）起作用，斜率變?yōu)閈(-40\,\text{dB/dec}\)，\(L(\omega)\approx20-20\lg\omega-20\lg(0.5\omega)=20-20\lg\omega-20\lg\omega+20\lg2=20+20\lg2-40\lg\omega\)。-高頻段（\(\omega\gg10\)）：兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)均起作用，斜率變?yōu)閈(-60\,\text{dB/dec}\)，\(L(\omega)\approx20-20\lg\omega-20\lg(0.1\omega)-20\lg(0.5\omega)=20-20\lg\omega-20\lg\omega+20\lg10-20\lg\omega+20\lg2=20+20+20\lg2-60\lg\omega\)。-對數(shù)相頻特性\(\varphi(\omega)=-90^\circ-\arctan(0.1\omega)-\arctan(0.5\omega)\)。奈奎斯特判據(jù)：系統(tǒng)無右半平面開環(huán)極點(diǎn)（\(P=0\)），需判斷奈奎斯特曲線是否包圍\((-1,j0)\)點(diǎn)。開環(huán)頻率特性在\(\omega\to0^+\)時(shí)，\(G(j\omega)H(j\omega)\to\infty\angle-90^\circ\)；\(\omega\to\infty\)時(shí)，\(G(j\omega)H(j\omega)\to0\angle-270^\circ\)。通過計(jì)算截止頻率\(\omega_c\)（\(L(\omega_c)=0\)），近似得\(\omega_c\approx4.47\,\text{rad/s}\)（具體計(jì)算：\(20\lg10-20\lg\omega_c-20\lg\sqrt{(0.5\omega_c)^2+1}\approx0\)，解得\(\omega_c\approx4.47\)）。此時(shí)相位\(\varphi(\omega_c)=-90^\circ-\arctan(0.1\times4.47)-\arctan(0.5\times4.47)\approx-90^\circ-24.1^\circ-65.9^\circ=-180^\circ\)。由于奈奎斯特曲線在\(\omega_c\)處相位為\(-180^\circ\)，且\(|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\)，說明曲線恰好經(jīng)過\((-1,j0)\)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。7.超前校正裝置設(shè)計(jì)原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}=\frac{2}{s(0.5s+1)}\)，其對數(shù)幅頻特性的轉(zhuǎn)折頻率為\(\omega_1=2\,\text{rad/s}\)（對應(yīng)\(0.5s+1\)），截止頻率\(\omega_c\)滿足\(20\lg\frac{2}{\omega_c}=0\)（低頻段斜率\(-20\,\text{dB/dec}\)），解得\(\omega_c=2\,\text{rad/s}\)。原相位裕度\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，其中\(zhòng)(\varphi(\omega_c)=-90^\circ-\arctan(0.5\times2)=-90^\circ-45^\circ=-135^\circ\)，故\(\gamma=45^\circ\)。但題目要求相位裕度不小于\(45^\circ\)，可能原系統(tǒng)剛好滿足，但通常需考慮誤差，假設(shè)需提升至\(50^\circ\)（此處以\(50^\circ\)為例）。超前校正裝置提供的最大相位超前角\(\phi_m=50^\circ-45^\circ+5^\circ=10^\circ\)（加\(5^\circ\)補(bǔ)償幅值衰減）。由\(\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\)，解得\(\alpha=\frac{1+\sin\phi_m}{1-\sin\phi_m}\approx\frac{1+0.1736}{1-0.1736}\approx1.43\)。取\(\alpha=1.5\)，則\(\phi_m=\arcsin\frac{1.5-1}{1.5+1}=\arcsin0.2=11.5^\circ\)。超前校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率為\(\omega_1=\frac{1}{T}\)，\(\omega_2=\frac{1}{\alphaT}\)，最大相位超前角頻率\(\omega_m=\sqrt{\omega_1\omega_2}=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}}\)。為使\(\omega_m\)與校正后系統(tǒng)的截止頻率\(\omega_c'\)重合，需調(diào)整\(T\)使得校正后的幅頻特性在\(\omega_m\)處的增益為\(10\lg\alpha\approx1.76\,\text{dB}\)，以補(bǔ)償原系統(tǒng)在\(\omega_m\)處的幅值衰減。原系統(tǒng)在\(\omega_m\)處的幅值為\(20\lg\frac{2}{\omega_m\sqrt{(0.5\omega_m)^2+1}}\)，令其加上\(10\lg\alpha\)后等于\(0\)，解得\(\omega_m\approx3\,\text{rad/s}\)，則\(T=\frac{1}{\omega_m\sqrt{\alpha}}\approx\frac{1}{3\times\sqrt{1.5}}\appro