自動(dòng)控制原理及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，當(dāng)輸入為\(r(t)=t\)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}\)為（）。A.\(\frac{1}{K}\)B.\(\frac{2}{K}\)C.\(\frac{K}{2}\)D.\(\frac{1}{2K}\)2.二階欠阻尼系統(tǒng)的阻尼比\(\zeta\)增大時(shí)，其階躍響應(yīng)的超調(diào)量將（）。A.增大B.減小C.不變D.先增大后減小3.某最小相位系統(tǒng)的伯德圖中，中頻段斜率為\(-40dB/dec\)，則系統(tǒng)（）。A.穩(wěn)定B.不穩(wěn)定C.臨界穩(wěn)定D.穩(wěn)定性無法直接判斷4.若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}\)，則根軌跡的分支數(shù)為（）。A.1B.2C.3D.45.采用滯后校正改善系統(tǒng)性能時(shí)，主要目的是（）。A.提高截止頻率B.增大相位裕度C.減小穩(wěn)態(tài)誤差D.增加系統(tǒng)帶寬二、填空題（每空2分，共20分）1.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)中，靜態(tài)位置誤差系數(shù)\(K_p\)定義為開環(huán)傳遞函數(shù)在\(s\to0\)時(shí)的極限值，對(duì)于\(v\)型系統(tǒng)，\(K_p=\)______（用開環(huán)增益\(K\)表示）。2.二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其單位階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間\(t_p=\)______（用\(\zeta\)和\(\omega_n\)表示）。3.相位裕度\(\gamma\)定義為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性在截止頻率\(\omega_c\)處的相位與\(-180^\circ\)的差值，數(shù)學(xué)表達(dá)式為\(\gamma=\)______。4.勞斯判據(jù)中，若某行所有系數(shù)均為零，說明系統(tǒng)存在______（填寫“共軛虛根”或“正實(shí)部根”）。5.根軌跡的分離點(diǎn)滿足的方程為______（用開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)H(s)\)表示）。6.頻率特性\(G(j\omega)\)的幅頻特性\(|G(j\omega)|\)表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入的______（填寫“幅值放大/衰減”或“相位偏移”）能力。7.PID控制器的傳遞函數(shù)為\(G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds\)，其中微分環(huán)節(jié)的作用是______。8.奈奎斯特判據(jù)中，若開環(huán)傳遞函數(shù)有\(zhòng)(P\)個(gè)右半平面極點(diǎn)，且奈奎斯特曲線逆時(shí)針包圍\((-1,j0)\)點(diǎn)\(N\)圈，則閉環(huán)系統(tǒng)右半平面極點(diǎn)數(shù)目\(Z=\)______。9.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，調(diào)整時(shí)間\(t_s\)通常定義為響應(yīng)進(jìn)入并保持在終值______（填寫百分比）范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間。10.超前校正裝置的傳遞函數(shù)一般形式為\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（\(\alpha>1\)），其主要作用是______。三、簡答題（每題8分，共24分）1.簡述勞斯穩(wěn)定判據(jù)的基本步驟，并說明如何根據(jù)勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.根軌跡的主要繪制規(guī)則包括哪些？請(qǐng)列舉至少5條。3.伯德圖（對(duì)數(shù)頻率特性圖）由哪兩部分組成？分別說明其物理意義，并簡述如何通過伯德圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、分析計(jì)算題（共41分）1.（10分）已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)。（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)\)；（2）判斷系統(tǒng)的阻尼類型（欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼）；（3）計(jì)算單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量\(\sigma\%\)和調(diào)整時(shí)間\(t_s\)（取\(5\%\)誤差帶）。2.（12分）某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\)。（1）用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)\(K\)的取值范圍；（2）若\(K=10\)，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，說明不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。3.（10分）繪制開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}\)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線（伯德圖），并計(jì)算截止頻率\(\omega_c\)（保留兩位小數(shù)）。4.（9分）已知系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡如圖所示（注：此處假設(shè)根軌跡從\(s=0,-1,-3\)出發(fā)，終止于\(s=-2\)和無窮遠(yuǎn)，分離點(diǎn)在\(s=-0.5\)），分析當(dāng)增益\(K\)增大時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化趨勢，并說明根軌跡與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。答案及解析一、選擇題1.B解析：系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，輸入為斜坡信號(hào)\(r(t)=t\)，穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\frac{1}{K_v}\)，其中\(zhòng)(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=\frac{K}{2}\)，故\(e_{ss}=\frac{2}{K}\)。2.B解析：二階欠阻尼系統(tǒng)超調(diào)量公式\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，\(\zeta\)增大時(shí)，指數(shù)項(xiàng)絕對(duì)值減小，超調(diào)量減小。3.D解析：最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性需結(jié)合相位裕度判斷，僅中頻段斜率為\(-40dB/dec\)無法直接確定穩(wěn)定性，需計(jì)算相位裕度是否大于0。4.C解析：根軌跡分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)（分母階數(shù)），此處開環(huán)極點(diǎn)為\(s=0,-1,-3\)（3個(gè)），故分支數(shù)為3。5.C解析：滯后校正通過低頻段增益提升減小穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)高頻段衰減降低截止頻率，增大相位裕度為次要作用。二、填空題1.\(\lim_{s\to0}G(s)H(s)\)（或直接寫\(K\)，當(dāng)\(v=0\)時(shí)）2.\(\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\)3.\(180^\circ+\angleG(j\omega_c)H(j\omega_c)\)4.共軛虛根5.\(\frachd99b5z{ds}[G(s)H(s)]=0\)（或\(\sum\frac{1}{s-p_i}=\sum\frac{1}{s-z_j}\)，\(p_i\)為極點(diǎn)，\(z_j\)為零點(diǎn)）6.幅值放大/衰減7.預(yù)測誤差變化趨勢，減小超調(diào)，改善動(dòng)態(tài)性能8.\(P-N\)9.\(\pm5\%\)（或\(\pm2\%\)，通常取5%）10.增大相位裕度，提高截止頻率，改善動(dòng)態(tài)性能三、簡答題1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)步驟：（1）列寫系統(tǒng)特征方程\(D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_1s+a_0=0\)；（2）構(gòu)造勞斯表，首兩行由特征方程系數(shù)交替排列，后續(xù)行按公式\(b_i=\frac{a_{n-1}a_{n-2i}-a_na_{n-2i-1}}{a_{n-1}}\)計(jì)算；（3）若勞斯表第一列元素全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定；若出現(xiàn)負(fù)數(shù)，不穩(wěn)定，且負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)為右半平面根的個(gè)數(shù)。2.根軌跡繪制規(guī)則：（1）根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)（或無窮遠(yuǎn)）；（2）根軌跡分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（\(n\)）；（3）實(shí)軸上根軌跡存在于其右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的區(qū)間；（4）漸近線與實(shí)軸夾角\(\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}\)（\(k=0,1,\dots,n-m-1\)）；（5）分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）滿足\(\sum\frac{1}{s-p_i}=\sum\frac{1}{s-z_j}\)；（6）根軌跡與虛軸交點(diǎn)可通過勞斯判據(jù)或令\(s=j\omega\)代入特征方程求解。3.伯德圖由對(duì)數(shù)幅頻特性\(L(\omega)=20\lg|G(j\omega)|\)和對(duì)數(shù)相頻特性\(\varphi(\omega)=\angleG(j\omega)\)組成。對(duì)數(shù)幅頻特性反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的幅值放大/衰減能力，低頻段對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)性能（增益越高，穩(wěn)態(tài)誤差越?。?，中頻段斜率和寬度影響動(dòng)態(tài)性能（斜率越接近\(-20dB/dec\)越穩(wěn)定），高頻段反映抗噪聲能力。對(duì)數(shù)相頻特性反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的相位滯后/超前。穩(wěn)定性分析：最小相位系統(tǒng)中，若截止頻率\(\omega_c\)處相位裕度\(\gamma>0\)且幅值裕度\(h>1\)（或\(20\lgh>0\)），則系統(tǒng)穩(wěn)定。四、分析計(jì)算題1.（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{4}{s(s+2)+4}=\frac{4}{s^2+2s+4}\)。（2）標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)形式\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，對(duì)比得\(\omega_n^2=4\)（\(\omega_n=2\)），\(2\zeta\omega_n=2\)（\(\zeta=0.5\)）。因\(0<\zeta<1\)，為欠阻尼。（3）超調(diào)量\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=e^{-0.5\pi/\sqrt{1-0.25}}\times100\%\approxe^{-1.813}\times100\%\approx16.3\%\)。調(diào)整時(shí)間\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times2}=3s\)（5%誤差帶）。2.（1）特征方程\(s(s+1)(s+5)+K=0\)，展開得\(s^3+6s^2+5s+K=0\)。構(gòu)造勞斯表：\(s^3\)|1|5\(s^2\)|6|K\(s^1\)|\(\frac{6\times5-1\timesK}{6}=\frac{30-K}{6}\)|0\(s^0\)|K|穩(wěn)定條件：勞斯表第一列全正，即\(\frac{30-K}{6}>0\)（\(K<30\)）且\(K>0\)，故\(0<K<30\)。（2）當(dāng)\(K=10\)時(shí)，\(10<30\)，勞斯表第一列全正，系統(tǒng)穩(wěn)定。3.開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}=\frac{10}{s}\cdot\frac{1}{(0.1s+1)}\cdot\frac{1}{(0.5s+1)}\)。各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率：\(\omega_1=1/0.5=2rad/s\)，\(\omega_2=1/0.1=10rad/s\)。對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線：-\(\omega<2rad/s\)：積分環(huán)節(jié)（\(-20dB/dec\)）和比例環(huán)節(jié)（\(20\lg10=20dB\)），斜率為\(-20dB/dec\)，起點(diǎn)\(\omega=0.1rad/s\)時(shí)\(L(\omega)=20dB-20\lg0.1=40dB\)；-\(2rad/s\leq\omega<10rad/s\)：加入慣性環(huán)節(jié)\(1/(0.5s+1)\)，斜率變?yōu)閈(-40dB/dec\)；-\(\omega\geq10rad/s\)：加入慣性環(huán)節(jié)\(1/(0.1s+1)\)，斜率變?yōu)閈(-60dB/dec\)。截止頻率\(\omega_c\)滿足\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{10}{\omega_c\cdot\sqrt{(0.5\omega_c)^2+1}\cdot\sqrt{(0.1\omega_c)^2+1}}=1\)。近似計(jì)算（中頻段\(2<\omega_c<10\)，忽略高頻項(xiàng)\((0.1\omega_c)^2\)），則\(\frac{10}{\omega_c\cdot0.5\omega_c}\approx1\)，即\(\frac{10}{0.5\omega_c^2}=1\)，解得\(\omega