2025自控期末試題及答案一、單項選擇題（每題3分，共15分）1.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，當(dāng)\(K\)增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將（）。A.保持穩(wěn)定B.由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定C.由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定D.始終不穩(wěn)定2.二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，當(dāng)輸入為單位斜坡信號時，其穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}\)為（）。A.\(\frac{2\zeta}{\omega_n}\)B.\(\frac{1}{\omega_n^2}\)C.\(\frac{2\zeta}{\omega_n^2}\)D.\(\frac{1}{\zeta\omega_n}\)3.根軌跡圖中，分離點（或會合點）的位置可通過（）確定。A.勞斯判據(jù)B.模值條件C.幅角條件D.對開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零4.某最小相位系統(tǒng)的伯德圖中，中頻段斜率為\(-40dB/dec\)，且穿越頻率\(\omega_c\)處的相位裕度為\(-10^\circ\)，則系統(tǒng)（）。A.穩(wěn)定B.臨界穩(wěn)定C.不穩(wěn)定D.無法判斷5.離散控制系統(tǒng)中，若采樣周期\(T\)增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常會（）。A.增強B.減弱C.不變D.先增強后減弱二、填空題（每題3分，共15分）1.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的______和輸入信號的______有關(guān)。2.二階欠阻尼系統(tǒng)的超調(diào)量僅由______決定，調(diào)節(jié)時間主要由______決定。3.奈奎斯特判據(jù)中，若開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面有\(zhòng)(P\)個極點，且奈奎斯特曲線逆時針包圍\((-1,j0)\)點\(N\)圈，則閉環(huán)系統(tǒng)右半平面極點個數(shù)為______。4.串聯(lián)超前校正的主要作用是提高系統(tǒng)的______，改善系統(tǒng)的______性能。5.線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性由______矩陣的秩決定，能觀性由______矩陣的秩決定。三、計算題（共70分）1.（15分）已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)。（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）當(dāng)輸入為\(r(t)=1(t)+2t\)時，計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}\)。2.（15分）某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}\)（\(K>0\)）。（1）繪制根軌跡的大致形狀（標(biāo)注起點、終點、漸近線、分離點）；（2）確定系統(tǒng)穩(wěn)定時\(K\)的取值范圍；（3）若要求閉環(huán)主導(dǎo)極點的阻尼比\(\zeta=0.5\)，求對應(yīng)的\(K\)值。3.（15分）某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖1所示（圖中未畫出，文字描述：低頻段斜率為\(0dB/dec\)，轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1rad/s\)處斜率變?yōu)閈(-20dB/dec\)，\(\omega_2=10rad/s\)處斜率變?yōu)閈(-40dB/dec\)，\(\omega_3=100rad/s\)處斜率變?yōu)閈(-60dB/dec\)，且\(\omega_c=5rad/s\)處的幅值為\(0dB\)）。（1）寫出開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)\)；（2）計算相位裕度\(\gamma\)；（3）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.（15分）某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)}\)，要求校正后系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)，截止頻率\(\omega_c'\geq10rad/s\)。（1）判斷原系統(tǒng)是否滿足要求；（2）設(shè)計串聯(lián)超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（求出\(\alpha\)和\(T\)）；（3）繪制校正后系統(tǒng)的伯德圖（標(biāo)注關(guān)鍵參數(shù)）。5.（10分）離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為\(\Phi(z)=\frac{0.5z}{z^2-1.2z+0.35}\)。（1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）若采樣周期\(T=1s\)，求輸入\(r(t)=t\)時的穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}(\infty)\)。四、分析題（10分）某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：\[\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}-1&1\\0&2\end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u\]\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\mathbf{x}\]（1）判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性；（2）若系統(tǒng)不完全能控或能觀，說明其不能控/能觀的狀態(tài)變量；（3）設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣\(\mathbf{K}\)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置為\(-2\)和\(-3\)。---答案及解析一、單項選擇題1.B解析：系統(tǒng)開環(huán)極點為\(0,-1,-2\)，3階系統(tǒng)，勞斯表首列符號變化次數(shù)隨\(K\)增大而增加，當(dāng)\(K\)超過臨界值時，系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。2.A解析：二階系統(tǒng)型別\(v=0\)，斜坡輸入時穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\frac{1}{K_v}\)，而\(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=\omega_n^2/(2\zeta\omega_n)=\omega_n/(2\zeta)\)，故\(e_{ss}=2\zeta/\omega_n\)。3.D解析：分離點滿足\(\frac1cjgwn6{ds}\left[\frac{1}{G(s)H(s)}\right]=0\)，即對開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和求導(dǎo)。4.C解析：最小相位系統(tǒng)相位裕度\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，若\(\gamma<0^\circ\)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.B解析：采樣周期\(T\)增大，離散化后的極點可能向單位圓外移動，穩(wěn)定性減弱。二、填空題1.型別；類型（或形式）2.阻尼比\(\zeta\)；\(\zeta\omega_n\)（或無阻尼自然頻率與阻尼比的乘積）3.\(Z=N-P\)（或\(N-P\)）4.相位裕度（或截止頻率）；動態(tài)5.能控性（\(\mathbf{Q}_c=[\mathbf{B}\\mathbf{AB}\\cdots\\mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}]\)）；能觀性（\(\mathbf{Q}_o=[\mathbf{C}^T\(\mathbf{CA})^T\\cdots\(\mathbf{CA}^{n-1})^T]^T\)）三、計算題1.（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{4}{s^2+2s+4}\)；（2）特征方程\(s^2+2s+4=0\)，根為\(s=-1\pmj\sqrt{3}\)，實部均負(fù)，系統(tǒng)穩(wěn)定；（3）輸入\(r(t)=1(t)+2t\)，對應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}\)。系統(tǒng)型別\(v=1\)，階躍輸入穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss1}=0\)；斜坡輸入穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss2}=\frac{2}{K_v}\)，其中\(zhòng)(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=4/2=2\)，故\(e_{ss2}=2/2=1\)，總穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=1\)。2.（1）根軌跡起點：\(0,-1,-3\)；終點：無窮遠(yuǎn)；漸近線夾角\(\pm60^\circ,180^\circ\)，交點\(\sigma_a=(0-1-3)/3=-4/3\)；分離點滿足\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3}=0\)，解得\(s=-0.45\)（舍去負(fù)實部不合理根）；（2）勞斯表首行為\(1,4,K\)；第二行\(zhòng)(4,K\)；第三行\(zhòng)((16-K)/4,0\)；第四行\(zhòng)(K\)。穩(wěn)定條件\(16-K>0\)且\(K>0\)，故\(0<K<16\)；（3）主導(dǎo)極點滿足\(s=-\zeta\omega_n\pmj\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)（\(\zeta=0.5\)），代入根軌跡方程\(|G(s)H(s)|=1\)，解得\(K=6\)。3.（1）低頻段斜率\(0dB/dec\)說明\(v=0\)；轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1\)（慣性環(huán)節(jié)），\(\omega_2=10\)（慣性環(huán)節(jié)），\(\omega_3=100\)（慣性環(huán)節(jié)），故\(G(s)=\frac{K}{(s+1)(0.1s+1)(0.01s+1)}\)。由\(\omega_c=5rad/s\)處\(L(\omega_c)=0dB\)，計算得\(K=5\times1\times0.1\times0.01\)（需修正，實際應(yīng)為\(L(\omega)=20\lgK-20\lg\omega_1-20\lg(\omega/\omega_2)-20\lg(\omega/\omega_3)\)在\(\omega_c=5\)時為0，解得\(K=5\)），故\(G(s)=\frac{5}{(s+1)(0.1s+1)(0.01s+1)}\)；（2）相位裕度\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，其中\(zhòng)(\varphi(\omega_c)=-\arctan5-\arctan(5/10)-\arctan(5/100)\approx-78.7^\circ-26.6^\circ-2.9^\circ=-108.2^\circ\)，故\(\gamma=180^\circ-108.2^\circ=71.8^\circ\)；（3）\(\gamma>0^\circ\)，系統(tǒng)穩(wěn)定。4.（1）原系統(tǒng)\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)}\)，截止頻率\(\omega_c\)滿足\(20\lg(10/\omega_c)=0\)（中頻段斜率\(-20dB/dec\)），解得\(\omega_c=10rad/s\)；相位裕度\(\gamma=180^\circ-90^\circ-\arctan(0.1\times10)=90^\circ-45^\circ=45^\circ\)，原系統(tǒng)剛好滿足\(\gamma'=45^\circ\)，但題目要求\(\geq45^\circ\)，可能需校正（實際原系統(tǒng)相位裕度為45°，若嚴(yán)格要求可認(rèn)為不滿足，需提升）；（2）設(shè)超前校正提供\(10^\circ\)附加相位，\(\alpha=\frac{1+\sin\phi_m}{1-\sin\phi_m}\approx4\)（\(\phi_m=15^\circ\)時\(\alpha=2\)，此處取\(\alpha=4\)），校正后截止頻率\(\omega_c'=10rad/s\)，則\(T=1/(\omega_c'\sqrt{\alpha})=1/(10\times2)=0.05s\)，故\(G_c(s)=\frac{1+0.2s}{1+0.05s}\)；（3）伯德圖低頻段與原系統(tǒng)一致，中頻段在\(\omega=1/\sqrt{\alpha}T=10rad/s\)處斜率提升\(+20dB/dec\)，截止頻率處相位裕度增加。5.（1）特征方程\(z^2-1.2z+0.35=0\)，根為\(z=0.5\)和\(z=0.7\)，均在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）輸入\(r(t)=t\)對應(yīng)\(R(z)=\frac{Tz}{(z-1)^2}\)（\(T=1\)），穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)\Phi_e(z)R(z)\)，其中\(zhòng)(\Phi_e(z)=1-\Phi(z)=\frac{z^2-1.7z+0.35}{z^2-1.2z+0.35}\)，代入得\(e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}\frac{(z-1)\cdotz}{(z-1)^2}\cdot\frac{z^2-1.7z+0.35}{z^2-1.2z+0.35}=\lim_{z\to1}\frac{z(z^2-1.7z+0.35)}{(z-1)(z^2-1.2z+0.35)}\)，分母\((z-1)(z^2-1.2z+0.35)\)在\(