有限元第三章最小勢能原理和分片插值第1頁，共27頁。（優(yōu)選）有限元第三章最小勢能原理和分片插值第2頁，共27頁。§3-1最小勢能原理平衡問題，可以至少用以下叁種不同的方式加以描述：（i）平衡方程（ii）虛位移原理（iii）總勢能取駐值（函數的極值問題）

1.有限自由度系統(tǒng)質點系圖3-1(a)為兩個重分別為PA,PB的小球，由不計重量，彈性系數為k的彈簧相連，放置在光滑的曲面F(x,y)=0上。該系統(tǒng)的平衡問題可由以下三種方法來描述：F(x,y)=0ABAByxPBPAT’TrBrAo

（c）

圖３－１（a）ABTNANBPBPAT’xyo（b）(1)平衡方程

(2)虛位移原理

(3)總勢能取駐值

第3頁，共27頁。

在所有滿足給定位移邊界條件和協(xié)調條件的位移中，滿足平衡條件的位移使總勢能取駐值，若駐值是最小值，則平衡是穩(wěn)定的。最小勢能原理和平衡方程是否等價？

２.無限自由度系統(tǒng)彈性體

ＯＬf(x)x,uＰ圖3-2(1)軸向受拉的直桿。設桿長為Ｌ，截面積為Ａ，彈性模量為E

軸向分布載荷f(x)。x=0端固定，x=L端受端點集中力P。

設位移u(x)滿足：

(i)u(0)=0(位移邊界條件)(ii)u(x)在[O,L]上連續(xù)（協(xié)調條件）

(iii)使總勢能取最小值。(3-1-1)u(x)即為該問題的解最小勢能原理：總勢能=變形能—外力之功第4頁，共27頁。設：u(x)+δu(x)為不同于u(x)的另外一種位移分布函數，也滿足上述的位移邊界條件和協(xié)調條件，則(3-1-2)將u(x)+δu(x)代入總勢能函數考察兩總勢能函數之差因πP(u)

取最小值，即的充分必要條件是：對任意滿足(3-1-2)的δu(x)有：(3-1-3)第5頁，共27頁。若假定u’’(x)存在、連續(xù)，則對（3-1-3）分部積分一次，并利用（3-1-2）,可得到(3-1-2)(3-1-3)(3-1-4)(3-1-4)式對任意δu(x)

都成立的充分必要條件是：（平衡方程）（力邊界條件）①由勢能取駐值可以推出平衡方程。反之也對，說明兩種描述方法在力學上等價。（平衡方程）（力邊界條件）（位移邊界條件）用最小勢能原理描述時，要求函數滿足位移邊界條件而力邊界條件將作為勢能取駐值的自然結果。③兩種描述方法對函數的光滑程度（即可微性）要求不同。用微分方程描述時要求u(x)有連續(xù)的二階導數（記作u∈C2(0,L)）。而用最小勢能原理描述時，為了保證變形能存在，要求u’(x)平方可積（記作u∈H１(0,L)）(NaturalBoundaryCondition)

（EssentialBoundaryCondition）

②兩種描述方法對邊界條件的要求不同。用微分方程描述時，u必須滿足：第6頁，共27頁。(2)平面應力問題正方形區(qū)域邊長為a，厚度為t，受到體積力(fx,fy),邊界AB固定。邊界BC、CD自由。邊界AD的法向力為q(x)，切向力為p(x)。nnnx,uP(x)(fx,fy)BDCAOy,v圖3-3nq(x)u∣AB=v∣AB=0（其中LX，LY為區(qū)域Ω之邊界Г的外法線n的方向余弦）。(能量泛函)格林公式第7頁，共27頁。總勢能πP的駐值條件為：(3-1-5)注意到沿邊界Г，外法線n的方向余弦為ABBCCDDALX-1010LY0-101以及沿邊AB：δu=δv=0則(3-1-5)對任意δu,δv都成立的充分必要條件為：沿BC：σy=τxy=0沿CD：σx=τxy=0沿AD：σy=q,τxy=p

略去了積分過程第8頁，共27頁。(2)梁的平面彎曲ＯＬq(x)xQ圖３－4Mv(3-1-6)總勢能和強制邊界條件為勢能駐值條件對上式分部積分兩次，并注意到由于必須滿足強制邊界條件δv(0)=δv/(0)=0則有(3-1-7)使(3-1-7)對任意δv(x)都成立的充分必要條件是：（平衡方程）（自然邊界條件）第9頁，共27頁。微分方程的階數為４。關于v’’、v’’’

的邊界條件為自然邊界條件，關于v、v’

的邊界條件為強制邊界條件。當用微分方程描述時要求v(x)有四階的連續(xù)導數[v∈C4(0,L)]。用最小勢能原理描述時，為保證變形能存在，只要求v’’(x)平方可積[v∈H2(0,L)]。本節(jié)討論的三個例題，可作為維數不同，階數不同的問題的代表。現(xiàn)把一些重要結論歸納如下表。其中，“方程階數”是以位移為基本未知量來計算，“可微性要求”是對最小勢能原理而言的。問題方程階數強制邊界條件協(xié)調條件可微性要求桿的拉伸２關于u的邊界條件u

連續(xù)u’

平方可積平面問題２關于u,v的邊界條件u,v

連續(xù)u’,v’

平方可積梁的彎曲４關于v,v’

的邊界條件v,v

連續(xù)v’’

平方可積第10頁，共27頁。

(iii)將試探函數作為近似解代入描述問題的能量泛函中，由泛函取駐值，即§3-2Ritz法(有限元方法的基礎之一)

由于有限單元方法可以理解為在單元（子域）內應用的Ritz法。Ritz法是一種求近似解的常用方法，它的基本步驟是：(i)選一組滿足強制邊界條件、協(xié)調條件和可微性要求的基函數(ii)假定近似解（試探函數trialfunction）的形式為定出系數α1~αn。從而得到近似解。vL/4PLABxC以簡支梁為例，求解在集中力P作用下的變形解法１基函數取多項式

第11頁，共27頁。解法２：基函數取正弦函數解法1:解法2:精確值:

兩種方法求得的Ｃ點位移絕對值小于精確值。正弦的基函數，使支座處彎矩為零的條件（不屬于強制邊界條件）也得到滿足。盡管Ritz法本身并不要求這一點，但是第二個近似解的精度顯然比第一個要好得多?；瘮档倪x取對解的精確度有顯著的影響,(種類,項數)第12頁，共27頁?！?-3分片插值形式的基函數和試探函數（解的收斂性與插值函數的選取關系很大）圖３－６x③3②2①14φ110φ31φ21φ41xxxx0001.一維Lagrange型插值圖示一軸向受拉的直桿，截面積Ａ和軸向分布載荷f可以是x的函數。因而軸向位移u(x)

可能是x的復雜函數。(1)基函數1當j=i0當j≠i定義基函數φ1～φ4。滿足：(ii)設基函數在單元內是x的一次函數。(2)試探函數的形式取為基函數的線性組合第13頁，共27頁。

根據φi的定義顯然有：u(x)是x的分段線性函數；系數ui

恰好代表結點i的位移值，相互之間是獨立的。

這樣分段（片）定義的試探函數的一個顯著優(yōu)點是：

(i)強制邊界條件很容易得到滿足。例如u(0)=0的條件只要簡單地令結點１的位移u1=0即可以實現(xiàn)。

(ii)允許我們在任何方便的時候（例如組裝總體剛度矩陣時）引入這些邊界條件。

(iii)由于強制邊界條件問題已經有了妥善的解決辦法，我們的注意力將轉向協(xié)調條件和可微性問題。φ110φ31φ21φ41xxxx000第14頁，共27頁。上面定義的φi(x)和u(x)都存在著“尖點“，光滑程度不高。但是：（i）φi(x)和u(x)在單元內連續(xù)，在結點處也連續(xù)；uu2u3u4u1u’xx00（３）協(xié)調性和可微性（ii）φi’(x)和u’(x)在單元內連續(xù)，在結點處可能不連續(xù)。但只有有限的跳躍量。在區(qū)間[0,L]上平方可積。Φi(x)

和u(x)

屬于同一類型的函數。對于軸向受拉桿（二階問題），u(x)滿足最小勢能原理對協(xié)調性和可微性的要求。由

可求得u１、u２、u３、u４的值，得到一個近似解。（４）Lagrange插值

φi(x)、u(x)都涉及這樣一個問題：由兩個結點上的函數值在單元內確定一個線性變化的函數。圖3-7為一個一般性的單元，兩個結點i、j的坐標為xi、xj，假定單元內u(x)是x的線性函數uNjuiujx0x,uxixjijNixixj1xxixjui1xxixj圖３－７一階導數平方可積第15頁，共27頁。其中Ni、Nj

稱為形函數，它們在單元內是x的線性函數，且滿足

每個形函數由分子和分母兩部分組成，分子保證了一個結點的形函數在其他結點處為０，而分母的選擇則恰好使得這個形函數在自己的結點個取值為１。

如果在每個單元內在增設一個結點l就可以假定在每個單元內u(x)是x的二次函數。形函數也是x的二次函數。若結點為i、j、l，則可以用“湊”的方法得出各形函數：uNluiujx0xlxixj1Nixixj1xxixj1xxixj圖３－8x0Nj0xlxlul0

用插值點的函數值構造的插值函數通常稱為Lagrange插值。

第16頁，共27頁。2.一維Hermite型插值

圖3-9為一根梁，橫向載荷q和截面慣性矩I可以是x

的函數。因而撓度v是x的復雜函數。梁的彎曲是四階問題，試探函數v

及v’應在[0,L]上連續(xù)。(1)基函數

定義基函數φ1(x)～φ4(x)、ψ1（x）～ψ4(x)

滿足:(i)φi(x)、ψj（x）在單元內是x的三次函數xx③3②2①14vφ1x1ψ1x1radψ21rad1radψ4x1radψ3xφ2x1φ3x11φ4x圖３－9(2)試探函數根據φi、ψi的定義可知，v(x)是x的分段三次函數，且滿足:系數vi、v’i恰為結點處v、v’之值。這些值相互之間是獨立的。第17頁，共27頁。(３)可微性

滿足最小勢能原理對試探函數可微性的要求。vv’1xv1v2v3v4v’2v’3v’4v’’x圖3-9（續(xù)）hihjHiHjiiijixjjjxxx11rad1rad1圖3-10(４)Hermite插值

用插值點的函數值及導數值構造的插值函數通常稱為hermite插值。

二階導數平方可積第18頁，共27頁?！?-4常應變三角元的理論依據ＢＡＣＤq③②④⑤①⑦⑥⑧q６９４７１８５２３t圖２－８(ii)在每個單元內是x、y

的線性函數。１.基函數定義基函數φ1(x,y)～φ9(x,y)滿足:２.試探函數結點處：單元內部：u,v

為x,y

的完全一次多項式,可由結點值唯一確定。（2-3-2）為常數。第19頁，共27頁。u,vxyij圖3-11ke1e2沿單元邊界（例如i、j邊），u、v

按線性變化，完全由這條邊上兩個結點上的函數值ui、vi、uj、vj所決定，故穿過單元邊界時u、v

連續(xù)（如圖3-11所示）。但穿過單元邊界時其導數一般不連續(xù)，有有限的跳躍量，但在Ω內它們平方可積。３.總勢能

其中求解域內的總變形能=各單元內的變形能之和第20頁，共27頁。(3-4-1)4.勢能取駐值

5.單元剛度矩陣

（3-4-1）的推導過程給出了由單元剛度矩陣[k]I

組裝總體剛度矩陣的另一種解釋：總變形能等于單元變形能之和。去掉[k]i中全零的１２行和１２列，可得到一個6×6的方陣[k]任意一個單元只有六個非零自由度第21頁，共27頁。單元變形能其中（2-3-4）單元剛度矩陣

與第二章中用直接法得到的單元剛度矩陣（2-3-5）完全相同。第22頁，共27頁。6.等效結點力

單元①單元②

有限元方法可以看成采用分片插值形式的Ritz法。由于試探函數采用分片插值形式。即使在區(qū)域形狀比較復雜的情況下，強制邊界條件也很容易得到滿足。但所選擇的試探函數必須滿足協(xié)調性和可微性要求。這是最早出現(xiàn)的關于有限元方法的理論論證。

第23頁，共27頁?！?-5收斂條件

一般說來，用分片插值形式定義的試探函數很難做到與問題本身的真實解（精確解）完全吻合，因而有限元解一般都是近似解。我們希望在網格逐步加密、單元尺度無限變小時有限元解能收斂到真實解。為了保證收斂性，各單元內假定的位移場（試探函數）應滿足以下條件:（１）假定的位移場在單元內連續(xù)（２）能夠描述任何一種常應變狀態(tài)（常曲率）（３）包括足夠的剛體位移模式

1)桿受軸向拉壓，只要包含完全一次多項式:2)平面應力問題，只需包含x、y

的完全一次多項式第24頁，共27頁。其中第一個括號內為三個剛體型位移：二個平移一個旋轉。第二個括號內為常應變項；3)梁的平面彎曲，只需包含x的完全二次多項式其中α1+α2x為剛體型位移，一個平移、一個旋轉。a3