廣東省潮州市湘橋區(qū)潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題試卷滿分150分，考試時(shí)間0分鐘學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________注意事項(xiàng)（1）答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

（2）將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共8題，每題5分，共40分）1.若，則（

）A. B. C. D.2.設(shè)全集，集合，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（

）A.3 B.4 C.5 D.63.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則的焦距為（

）A. B.4 C. D.4.某中學(xué)數(shù)學(xué)教師共有20人，他們的年齡分布如表所示：年齡62504332302825人數(shù)2335241下列說(shuō)法正確的是（

）A.29是這20人年齡的一個(gè)上四分位數(shù) B.29是這20人年齡的一個(gè)下四分位數(shù)C.31是這20人年齡的一個(gè)中位數(shù) D.這20人年齡的眾數(shù)是55.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A.182 B.128 C.56 D.426.6、已知sinα=-35,α是第四象限角,A.7210 B.210 C.7.在全國(guó)人口普查過(guò)程中，甲、乙、丙、丁四位普查員要去A、B、C三個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，若甲普查員不能去A小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，每人只能去一個(gè)小區(qū)．則不同的安排方法共有（

）A.24種 B.36種 C.6種 D.12種8.“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多選題（共3題，每題6分，共18分）9.下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，則B.命題“，”的否定是“，或”C.如果，那么“”是“”的充要條件D.，不等式恒成立，則的取值范圍是10.下列說(shuō)法正確的是（

）A.某單位有男職工60人，女職工40人，其中男職工平均年齡為36歲，女職工平均年齡為30歲，則該單位全體職工的平均年齡是33.6歲B.已知隨機(jī)變量，若，則C.兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1D.某人每次投籃的命中率為，現(xiàn)投籃5次，設(shè)投中次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則11.拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.B.當(dāng)時(shí)，C.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則周長(zhǎng)的最小值為8D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12.若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.13.現(xiàn)有3箱酸奶，里面都裝有水果味和原味兩種口味，第一箱內(nèi)裝有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱內(nèi)裝有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱內(nèi)裝有20袋，其中有5袋是水果味．現(xiàn)從三箱中任意選擇一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率為_________．14.若直線與曲線相切，則

．四、解答題（共5題，77分）15.某市統(tǒng)計(jì)了2024年4月的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），將其分為，，，的4組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)；若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo).（1）求；（2）從4月的30天中任取2天，求至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率；（3）若2024年6月的30天中有8天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)，請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)？月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月6月合計(jì)附：，0.10.050.012.7063.8416.63516.已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別求的周長(zhǎng)和面積．17.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，．求二面角的大小．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②試比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【參考答案與解析】一、單選題1.（5分）【答案】D【解析】由得【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算2.（5分）【答案】B【解析】因?yàn)槿?，可得或，又由集合，所以，共?個(gè)元素.【知識(shí)點(diǎn)】集合的基本運(yùn)算3.（5分）【答案】C【解析】由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，得，解得，所以的焦距為.【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線4.（5分）【答案】B【解析】對(duì)于A，上四分位數(shù)，即分位數(shù)，因，則上四分位數(shù)為從小到大排列第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，下四分位數(shù)，即分位數(shù)，因，則下四分位數(shù)為從小到大排列第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，故B正確；對(duì)于C，這20人年齡的中位數(shù)是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這20人年齡的眾數(shù)是32，故D錯(cuò)誤.【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體5.（5分）【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由，，得，解得，所以

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列6.（5分）【答案】A【解析】由sinα=-35,α所以sin【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換7.（5分）【答案】A【解析】①A小區(qū)安排一人，有種，②A小區(qū)安排兩人，有種，所以共24種．【知識(shí)點(diǎn)】排列與組合8.（5分）【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即，故“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線距離為1”的必要不充分條件.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；充分條件與必要條件二、多選題9.（6分）【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，則，即，必要性成立；若，，則，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要條件，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，，故D錯(cuò)誤.【知識(shí)點(diǎn)】等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)；全稱量詞與存在量詞；二次函數(shù)與一元二次方程、不等式；充分條件與必要條件10.（6分）【答案】AD【解析】對(duì)A，單位男職工概率為，女職工概率為，其中男職工平均年齡為36歲，女職工平均年齡為30歲，則該單位全體職工的平均年齡是歲，故A正確；對(duì)B，隨機(jī)變量，若，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近于1，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，某人每次投籃的命中率為，現(xiàn)投籃5次，設(shè)投中次數(shù)為隨機(jī)變量，則服從二項(xiàng)分布，即，所以，所以，故D正確.【知識(shí)點(diǎn)】一元線性回歸模型及其應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征；正態(tài)分布；隨機(jī)抽樣；二項(xiàng)分布與超幾何分布11.（6分）【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，直線與軸的交點(diǎn)為，所以焦點(diǎn)為，所以，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，三角形周長(zhǎng)為，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，設(shè)直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)，則，，根據(jù)三角形相似得，所以，所以直線的傾斜角為，則．所以D選項(xiàng)正確.【知識(shí)點(diǎn)】拋物線三、填空題12.（5分）【答案】【解析】的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，.的展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理13.（5分）【答案】【解析】設(shè)任取1袋酸奶來(lái)自第一箱為事件、來(lái)自第二箱為事件、來(lái)自第二箱為事件，則彼此互斥，且，.設(shè)隨機(jī)取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味為事件，則.【知識(shí)點(diǎn)】條件概率與全概率公式14.（5分）【答案】【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)為，則，由，求導(dǎo)得，于是，解得，從而，則.【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念及其意義；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算四、解答題15.（13分）【答案】（1）0.002（2）（3）不能認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)【解析】（1）依題意得，，解得．（2）由頻率分布直方圖知，4月份的空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則4月份的空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則任取2天，至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率為：．（3）列聯(lián)表如下：月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月1218306月82230合計(jì)204060零假設(shè)H0：空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份無(wú)關(guān)，則所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分理由推斷假設(shè)不成立，故不能認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)．【知識(shí)點(diǎn)】（1）用樣本估計(jì)總體（2）隨機(jī)事件與概率（3）列聯(lián)表與獨(dú)立檢驗(yàn)16.（15分）【答案】（1）（2）8；【解析】（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓（2）根據(jù)橢圓的定義，的周長(zhǎng)為，直線的斜率為，∴直線：，聯(lián)立方程組得,設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離∴

【知識(shí)點(diǎn)】（1）橢圓（2）直線方程；橢圓17.（15分）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以且，在菱形中，因?yàn)榍?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面．?）解：因?yàn)槠矫?，，，平面，所以，，．連接，因?yàn)椋?，且，（或者證所以，在菱形中，，即為正三角形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍遥忠驗(yàn)闉檎切吻?，所以，則，，，則，，易得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以，所以，所以二面角的大小為．【知識(shí)點(diǎn)】（1）空間直線、平面的平行（2）空間向量的應(yīng)用18.（17分）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，即，兩邊同時(shí)除以可得，，即，所以.因?yàn)椋?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以.所以，，所以，所以.【知識(shí)點(diǎn)】（1）等差數(shù)列（2）等比數(shù)列19.（17分）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在