專題11用公式法求解一元二次方程內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點01公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點02一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.【題型1求一元二次方程中判別式的值】例題：（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）一元二次方程的根的判別式的值為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級上·吉林·期末）方程的根的判別式的值為．2．（24-25九年級上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知一元二次方程，則其判別式的值．3．（24-25九年級上·吉林白城·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的根的判別式的值為5，則．【題型2利用用公式法還原一元二次方程】例題：（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級下·安徽安慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．2.（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B．C． D．3.（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0【題型3用公式法求解一元二次方程】例題：用公式法解方程．【變式訓(xùn)練】用公式法解一元二次方程：1．2．．3．．【題型4用公式法解一元二次方程的錯題復(fù)原問題】例題：（2025·廣東深圳·一模）小海在用公式法解方程時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下所示：解方程解：（第一步）（第二步）∴原方程無實數(shù)根（第三步）小海的解答過程從第__________步開始出錯的，其錯誤的原因是__________；【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級上·河北張家口·期末）嘉嘉解一元二次方程的過程如下．解：……①，，，…②…………③方程無實數(shù)根．……………④(1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解過程從第_______步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你寫出這個方程正確的解題步驟．2．（24-25九年級上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的過程如下．解：整理得，①，②，③方程有兩個不相等的實數(shù)根，，④．⑤(1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你寫出這個方程正確的解題步驟．3．（2025·廣東深圳·一模）（1）解方程：（2）茗茗同學(xué)在解關(guān)于x的方程時，過程如下：第一步：，，，第二步：第三步：當(dāng)（即）時，；當(dāng)時方程無解你認為茗茗同學(xué)的解方程過程忽視的問題是________________．你認為在上述解題過程中應(yīng)該增加的一個步驟是______________．【題型5根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2025·河南焦作·模擬預(yù)測）一元二次方程根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【變式訓(xùn)練】1．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）A． B． C． D．2．（2025·河南平頂山·模擬預(yù)測）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3．（2025·河南平頂山·二模）已知三角形的三邊長分別為，則關(guān)于x的方程的根的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有且只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【題型6根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)】例題：（2025·北京·一模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，求此時的值．【變式訓(xùn)練】1．（2025·北京西城·二模）關(guān)于的方程．(1)若方程有實數(shù)根，求的取值范圍；(2)若方程的兩個根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．2．（24-25八年級下·福建福州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一根不小于2，求m的取值范圍．3．（24-25八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程的一個根為，求a的值；(2)若，求方程的兩個根；(3)若方程有實數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)a的值．一、單選題1．（2025·北京大興·二模）方程的根的情況是（

）A．有一個實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無實數(shù)根2．（2025·河南駐馬店·三模）下列關(guān)于的方程沒有實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級下·山東煙臺·期中）以為根的一元二次方程可能是（

）A． B． C． D．4．（2025·北京豐臺·二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（

）A．36 B．9或 C． D．95．（2025·河南周口·二模）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且二、填空題6．（23-24九年級上·廣西河池·期中）已知一元二次方程，則的值．7．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情況是．8．（2025·廣東河源·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是．9．（2025·河南南陽·一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．10．（2025·湖南婁底·三模）對于實數(shù)定義新運算：，例如：．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是．三、解答題用公式法解方程：11．．12．．13．；．14．用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．15．（24-25九年級上·河北保定·期末）習(xí)題課上，數(shù)學(xué)老師展示了兩道習(xí)題及其錯誤的解答過程：習(xí)題1：用配方法解方程：解：移項，得，……第一步；配方，得，……第二步；，……第三步；由此可得，……第四步；，．……第五步；習(xí)題2：用公式法解方程：解：將方程化為一般形式，得，……第一步；，，，……第二步；，……第三步；，……第四步；即，．……第五步．(1)分別寫出習(xí)題1，習(xí)題2的解答過程中是從第幾步開始出現(xiàn)錯誤的，并指出錯誤原因；(2)從以上兩道習(xí)題中任選一題，寫出正確的解答過程．16．（24-25九年級上·福建泉州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有兩個不相等的正整數(shù)解，求整數(shù)的值．17．（24-25九年級上·寧夏銀川·期中）已知：關(guān)于x的方程(1)求證：無論取何值，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰的一邊長，另兩邊長，且，恰好是這個方程的兩個根，求的周長