專題21相似三角形中的動點問題內(nèi)容導航——預(yù)習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預(yù)習練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習效果、查漏補缺快速提升知識點01相似三角形動點問題主要涉及的知識1.

相似三角形判定與性質(zhì)：需掌握“兩角分別相等”“兩邊成比例且夾角相等”“三邊成比例”等判定定理；利用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、周長比等于相似比、面積比等于相似比平方等性質(zhì)，建立線段、角度關(guān)系。2.

動點分析：明確動點運動路徑、速度和時間關(guān)系，用含時間的代數(shù)式表示相關(guān)線段長度，進而建立相似三角形中邊的比例方程，解決線段長度、面積最值等問題。3.

數(shù)學思想運用：運用分類討論思想，考慮動點不同位置導致的多種相似情形；結(jié)合函數(shù)思想，建立變量間函數(shù)關(guān)系，同時借助方程思想求解未知量?！绢}型1相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：（24-25九年級上·廣西桂林·期末）如圖，在中，，，點從點出發(fā)沿方向向終點以的速度移動；同時，點從出發(fā)沿方向向終點以的速度移動．設(shè)運動時間為，當時，與相似．【答案】或【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意分類討論，列出比例式，根據(jù)比例式求出運動時間．【詳解】解：點從點出發(fā)沿方向向終點以的速度移動；同時，點從出發(fā)沿方向向終點以的速度移動．設(shè)運動時間為，則，，，∵，當時，，∵，，∴，解得，；當時，，∵，，∴，解得，；故答案為：或．【變式訓練】1．（23-24九年級下·全國·期中）如圖，為邊長為的等邊三角形，，，P為邊上動點，以的速度從B向C運動，假設(shè)P點運動時間為，當s時，與相似．【答案】12或16或21【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再分和兩種情況求出答案即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，，，當時，，即，解得：或；當時，時，即，解得：．∴或16或21．故答案為：12或16或21．2．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，點P從O點開始沿邊向點A以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點O以的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（單位：秒）表示移動的時間（），那么當，與相似．【答案】或【知識點】相似三角形——動點問題【分析】本題是相似三角形動點問題，相似三角形的性質(zhì)．先由，點P從O點開始沿邊向點A以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點O以的速度移動，用t表示出的長，再由時，，時，，分別得出及，最后求解即可；【詳解】解：，點P從O點開始沿邊向點A以的速度移動，，∵點Q從點B開始沿邊向點O以的速度移動，，若時，，即，整理得：，解得：，則當時，與相似；若時，，即，解得：，則當時，與相似；綜上所述：當秒或秒時，與相似，故答案為：或．3．（24-25九年級上·山東菏澤·期中）如圖，在矩形中，，，點P沿邊從點A開始向點B以的速度移動，點Q沿邊從點D開始向點A以的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用表示移動的時間，那么：當為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與相似．【答案】或【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解、相似三角形——動點問題【分析】本題主要考查了相似三角形．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，分類討論，是解題的關(guān)鍵．分時，得；時，得兩種情況．【詳解】解；根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究，在矩形中：①當時，，那么有：，解得，即當時，；②當時，，那么有：，解得，即當時，；所以，當或時，以點Q、A、P為頂點的三角形與相似．故答案為：或．【題型2相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，點E為邊上一點，，點F為邊上的一動點，將沿EF翻折，使點C落在點G處，當點G在菱形的對角線上時，的長度為．【答案】1或【知識點】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用菱形的性質(zhì)求線段長、折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）當點G在菱形對角線上時，由折疊的性質(zhì)得，證出，得出，從而得到．（2）當點P在菱形對角線上時，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，，從而證明，再由相似三角形的性質(zhì)可得出，則從而求出，，最后利用列方程求解即可．【詳解】解：分兩種情況：（1）當點G在菱形對角線上時，如圖由折疊的性質(zhì)得，∴垂直平分，∵四邊形是菱形，，又∵在菱形中，，∴；（2）當點P在菱形對角線上時，如圖∵，，∴，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，，又∵在菱形中，，∴，，即，，又∵，解得或(不符合題意，舍去)∴，綜上所述，的長為1或故答案為：1或．【變式訓練】1．（24-25九年級上·廣東梅州·期末）如圖，中，，，，點P、Q分別為、上的動點，將沿折疊，使點對應(yīng)點恰好落在邊上，當與相似時，則的長為．【答案】或【知識點】折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，折疊的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意與相似要分情況討論．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，當與相似時，設(shè)，則，分兩種情況：①，②，分別列方程求解即可．【詳解】解：中，，，，，當與相似時，點始終在邊上，根據(jù)折疊，設(shè)，則，分兩種情況：①，此時，，即，解得，，②，此時，，即，解得，，綜上，的長為或，故答案為：或．2．（24-25九年級上·河南·階段練習）如圖，在中，，，，點，分別為，上一個動點，沿折疊得到、點的對應(yīng)點為，若點落在上，且與相似，則的長為．【答案】或【知識點】同(等)角的余(補)角相等的應(yīng)用、用勾股定理解三角形、折疊問題、利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】分和兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可求解．【詳解】解：當時，如圖，有，連接，由折疊可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∵，，，∴，∴；當時，如圖，有，∴，由折疊可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴；綜上，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖，中，，，，為的中點，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著→→的方向運動，設(shè)點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、由平行判斷成比例的線段、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】先求出的長，再分①時，是的中位線，然后求出的長度，再分點在上和在上兩種情況列出方程求解即可；②時，利用相似三角形的判定及性質(zhì)求出，然后分點在上和在上兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：∵為的中點，∴，∵，，，∴，①時，∵，∴，∴∴∴，∴是的中位線，∴（），∴點在→上時，（），點在→上時，點運動的路程為（），∴（舍去）；②時，∵，∴，∵，∴，∴即∴（），點在→上時，（），點在→上時，點運動的路程為（），（舍去），綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，三角形的中位線定理，難點在于分情況討論．【題型3相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2025·江蘇泰州·一模）如圖，在矩形中，，，E為的中點，為上的一點，連接、，當?shù)闹底钚r，．【答案】【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、證明四邊形是矩形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定；在的延長線上截取，過點作，使得，則得出，即可證明，進而得出，則點在與垂直的上運動，當時，即時，最小，進而得出四邊形是矩形，證明，得出，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，，∴，，如圖所示，在的延長線上截取，則，過點作，使得∴又∵∴∴，∴，∴∴∴點在與垂直的上運動，當?shù)闹底钚r，在上，最小值為的長∴當時，即時，最小此時如圖，∴∴四邊形是矩形，∴∴又∴∴∴解得：∴故答案為：．【變式訓練】1．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，在矩形中，，，對角線、相交于點，點是上的動點，是的中點，連接，則的最小值為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．先求出，，的長度，當，即時，的值最小，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出最小值．【詳解】解：在矩形中，，，，，，在中，由勾股定理得：，是的中點，，當，即時，的值最小，，，，，，，故答案為：．2．（2025·河南信陽·三模）如圖，正方形的邊長為．邊上有一點，以為斜邊，在正方形內(nèi)部作一等腰直角三角形，，連接，則的最小值為，最大值為．【答案】4【知識點】垂線段最短、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，，，交于，由四邊形是正方形，得，，，，，證明，得，點在上，從而根據(jù)垂線段最短可得解．【詳解】解：如圖，連接，，，交于，∵四邊形是正方形，∴，，，，，∴，，∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴點在上，當與重合時，，此時最小，最小值，當與重合時，此時最大，最大值，故答案為：，．3．（23-24九年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在矩形中，，，連接，于點O，分別與、交于點E，F(xiàn)．連接、，則的最小值為．【答案】10【知識點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】過點作，且，連接，，當、、三點共線時，有最小值，為的長，由矩形的性質(zhì)，證明四邊形是平行四邊形，進而得出垂直平分，，則，利用勾股定理，求出的值，從而得出，再證明，由對應(yīng)邊成比例求出的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作，且，連接，，四邊形是平行四邊形，，，，∴當、、三點共線時，有最小值，為的長，如圖，當、、三點共線時，四邊形是矩形，，，又，四邊形是平行四邊形，，即，，垂直平分，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得：，，，，，，即的最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題等知識，作輔助線將求最小值轉(zhuǎn)化為求的長是解題關(guān)鍵．【題型4相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2025·河南駐馬店·三模）如圖1所示，在矩形中，動點P從點B出發(fā)，沿的路徑運動，當點P到達點D時停止運動．過點P作，交于點Q，設(shè)點P運動的路程為x，，已知y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，當時，x的值為（

）

A． B．4 C． D．4.5【答案】B【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查動點的函數(shù)圖象問題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由圖象可知，分點在上和點在上，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：由圖象可知，當點與點重合時，此時點與點重合，，當點與點重合時，此時點與點重合，此時，，即：，當點與點重合時，，故，①當點在上時，此時四邊形為矩形，∴，∴當時，即：，∴，②當點在上時，如圖：∵矩形，則：，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴當，即：時，，解得：；故選B．【變式訓練】1．（2025·廣西南寧·二模）“準、繩、規(guī)、矩”是古代使用的測量工具，一個簡單結(jié)構(gòu)的“矩”（如圖1），根據(jù)使用時安放的位置測定物體的高低遠近及大小，把“矩”放置在如圖2所示的位置，令，若，，，則關(guān)于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、相似三角形實際應(yīng)用【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，四邊形是矩形，可得，，，再根據(jù)，可得，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，，四邊形是矩形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，故選：C．2．（2024·山東臨沂·一模）如圖①，在矩形中，H為邊上的一點，點M從點A出發(fā)沿折線運動到點B停止，點N從點A出發(fā)沿運動到點B停止，它們的運動速度都是，若點M、N同時開始運動，設(shè)運動時間為，的面積為，已知S與t之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論不正確的是（）①在運動過程中，使得為等腰三角形的點M一共有4個．②當時，．③當時，．④當時，．A．① B．② C．③ D．④【答案】D【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】由圖②可知：當時，點兩點經(jīng)過6秒時，最大，此時點在點處，點在點處并停止不動；由點兩點的運動速度為，所以可得，利用四邊形是矩形可知；當時，且保持不變，說明點在處不動，點在線段上運動，運動時間為秒，可得，即點為的中點；利用以上的信息對每個結(jié)論進行分析判斷后得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，當點在的垂直平分線上時，為等腰三角形：此時有兩個符合條件的點；當時，為等腰三角形，如圖：當時，為等腰三角形，如圖：綜上所述，在運動過程中，使得為等腰三角形的點一共有4個．∴正確；過點作于點，如圖，由題意：，由圖②可知：點兩點經(jīng)過6秒時，最大，此時點在點處，點在點處并停止不動，如圖，∵點兩點的運動速度為1cm/s，cm，∵四邊形是矩形，cm．∵當s時，cm2，．．∵當時，且保持不變，∴點在處不動，點在線段上運動，運動時間為秒，cm，即點為的中點．．，為等邊三角形．．在中，，，．∴正確；當時，，如圖，由知：，．，，．，．，．∴正確；當時，此時點在邊上，如圖，此時，．∴不正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點的坐標的實際意義，三角形的面積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值．對于動點問題，依據(jù)已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．3．（2025·山東日照·二模）如圖，為矩形ABCD的邊AD上一點，點從點出發(fā)沿折線運動到點停止，點從點出發(fā)沿BC運動到點停止，它們的速度都是．若點P、Q同時開始運動，設(shè)運動時間為，的面積為，已知與之間的函數(shù)圖象如圖所示．給出下列結(jié)論：①；②當時，；③在運動過程中，使得是等腰三角形的點一共有3個；④與相似時，．以上結(jié)論正確個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】由圖2可知，整個運動過程分為段，故點到達時，點同時到達，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分別分析各命題的正誤．【詳解】解：由圖可知，，，，四邊形是矩形，，．，，①正確；當時，點在上，點在處，，②正確；如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于，當點位于處時，是等腰三角形；以點為圓心，長為半徑畫弧，交于，當點位于處時，是等腰三角形；作的垂直平分線，交于，交于，當點位于或處時，是等腰三角形．綜上，運動過程中，使得是等腰三角形的點一共有個，③錯誤；是直角三角形，當且僅當點在上時，與相似，此時，，，且，或，即或，解得或（舍去）．當與相似時，，④正確．綜上可得，正確的有：①②④．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，函數(shù)圖象與動點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2025·浙江嘉興·二模）如圖，正方形的邊長為，點是邊上的一個動點，連接，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點．(1)如圖，求證：；(2)如圖，當經(jīng)過點時，求證：點是的中點；(3)當時，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的值為或．【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，則，又四邊形是正方形，則，故有，然后通過同角的余角相等即可求證；（）作交的延長線于點，證明，則有，，又四邊形是正方形，所以，，然后有，故，最后由線段和差即可求證；（）過點作分別交，的延長線于點，，則，證明四邊形是矩形，則，同理可得，則，故有，設(shè)，則，，，，在中，，，解得，，作于點，然后分兩種情況求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴；（2）證明：作交的延長線于點，由（）得，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴點是的中點；（3）解：如圖，過點作分別交，的延長線于點，，則，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，同理可得：，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，，在中，，，解得，，作于點，當時，，則，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴，當時，，則，同理，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴的值為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2025九年級下·浙江·專題練習）在矩形中，點，分別是，邊上的動點，連接，交于點．(1)如圖（1），當點，分別是，的中點時，求證：；(2)若，點是邊上的點，連接交于點，點是的中點，如圖（2），若，求的長；如圖（3），連接，當，且時，求的值．【答案】(1)見解析(2)的長為2；【知識點】利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，利用三角形中位線的性質(zhì)求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接交于點，連接，利用三角形中位線定理求得，，再證明四邊形是平行四邊形，據(jù)此求解即可；設(shè)，則，連接，，作于點，求得，證明是線段的垂直平分線，求得，得到，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接交于點，矩形，，，，，點，分別是，的中點，，則，，，；（2）解：連接交于點，連接，由（1）知，，，，，，即，點是的中點，點是的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，即的長為2；設(shè)，則，連接，，作于點，則四邊形是矩形，，，，，，，，點是的中點，是線段的垂直平分線，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級上·江蘇揚州·期中）如圖，正方形中，點在的延長線上，且，點為邊上的一個動點，連接交于點，連接交點．(1)如圖，若，求證：；(2)如圖，若．①求證：；②求證：點是線段的黃金分割點．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、黃金分割【分析】（）根據(jù)正方形的形性質(zhì)可得，即得，進而由，可得，即可求證；（）①由得，進而可得，得到，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，得到，由平行線的性質(zhì)得，即得到，即可證，即可求證；②由得，即可得，進而由得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，即；（2）①證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴點是線段的黃金分割點.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，黃金分割點等，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．（24-25九年級上·吉林白山·期末）如圖①，在中，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點運動，運動時間為秒，連接．(1)若與相似，求的值；(2)求出是軸對稱圖形時的值；(3)如圖②，連接，若垂直，直接寫出的值．【答案】(1)或(2)或或(3)【知識點】同(等)角的余(補)角相等的應(yīng)用、三線合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（）由題意得，，，，再分和兩種情況解答即可求解；（）當為等腰三角形時，是軸對稱圖形，分、、三種情況，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可求解；（）解：過作于點，交于點，先證明可得，即得，，，再證明，得到，據(jù)此即可求解；本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)并運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意得，，，∴，在中，，，，∴，當時，有，即，解得；當時，有，即，解得；綜上，若與相似，的值為或；（2）解：當為等腰三角形時，是軸對稱圖形，分以下三種情況解答：①當時，有，解得；②當時，過點作于，則，，∵，∴，∴，即，解得；③當時，過點作于，則，，∵，∴，∴，即，解得；綜上，當?shù)闹禐榛蚧驎r，是軸對稱圖形；（3）解：過作于點，交于點，如圖所示，則，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，解得．【題型6相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】例題：（2025·山東棗莊·模擬預(yù)測）【綜合與實踐】如圖，在中，點是斜邊上的動點（點與點不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．【特例感知】（1）如圖1，當時，與之間的位置關(guān)系是_____，數(shù)量關(guān)系是__________．【類比遷移】（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．【拓展應(yīng)用】（3）在（1）的條件下，點與點關(guān)于對稱，連接，EF，，如圖3．已知，，設(shè)，求的長度．【答案】（1），；（2），，見解析；（3）或.【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）根據(jù)題意證明，再利用性質(zhì)得到，，繼而得到本題答案；（2）先證明，再利用相似性質(zhì)得，再得到，即可；（3）連接交于，證明出四邊形是正方形，繼根據(jù)勾股定理而得到關(guān)系式，并利用值．【詳解】（1），；∵∴∵∴∴∴∴∴∴（2），，證明：，，，，，，，，，，；（3）連接交于點與點關(guān)于對稱垂直平分，又四邊形是正方形過作于，則是等腰直角三角形，設(shè)，，，連接為直角三角形斜邊中點，，，，，，，，，解得或，或.【點睛】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，相似三角形判定及性質(zhì)，正方形判定及性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)最值等，準確識圖，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（24-25九年級下·貴州畢節(jié)·階段練習）【知識探索】（1）如圖①，在矩形中，E為邊上不與端點重合的一個動點，連接，過點A作的垂線，垂足為M，延長，分別交于點N，F(xiàn)，求證：；【知識應(yīng)用】（2）在（1）的條件下，若，求的長；【知識拓展】（3）如圖②，在中，，D，E分別是上的一點，且，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到，然后結(jié)合求解即可；（2）證明出，得到，求出，然后證明出，得到，進而求解即可；（3）如圖，分別過點A，B作，的垂線交于點F，得到四邊形是正方形，設(shè)，由得到，得到，得到，進而求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，．又，，．（2）解：四邊形是矩形，，，，．又，，．，．，，，．，．（3）解：如圖，分別過點A，B作，的垂線交于點F．，，四邊形是正方形．設(shè)，．，．由（2）知，，，．在中，．，由（2）知，．又，，，．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．2．（23-24九年級上·湖南湘潭·階段練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在和中，，，點是線段上一動點，連接，填空：①的值為_____________

②的度數(shù)為___________

圖1

圖2（2）類比探究：如圖2，在和中，，，點是線段上一動點，連接，請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由．（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在（2）的條件下，若，，求線段的長．【答案】（1）①；②．（2）；；理由見解析（3）或．【知識點】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由直角三角形的性質(zhì)可得，，進而證明，由此得到答案．（2）通過證明，得到，，由此得到的度數(shù)．（3）通過（2）的條件，在中，利用勾股定理可以得到線段的長．【詳解】解：（1），，，，，且，，，，．故答案為：①；②．（2），，，，，，，，，，，且，，，，．（3）由（2）知：，，，，，在中，，，，即，解得：或．3．（24-25九年級上·陜西咸陽·期末）（1）如圖①，在正方形中，E為邊上一動點，將沿折疊，得到，過點F作直線，分別交邊于點M，N．【問題探究】①求證：；【問題解決】②當時，若，求正方形的邊長；【實際應(yīng)用】（2）如圖②，有一塊形狀為正方形的紙片，小李要在邊上找一點E，然后將沿折疊，得到，過點F作直線，分別交邊于點M，N，小李沿著裁剪交邊于點P，沿著裁剪交于點Q．當時，點P為線段的中點嗎？請說明理由．【答案】（1）①見解析，②；（2）點是線段的中點，理由見解析【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）①根據(jù)正方形和平行線的性質(zhì)得，由折疊得：，推出，即可得證；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，繼而得到，，得到，得，，根據(jù)勾股定理得，再代入，可得結(jié)論；（2）證明得，，根據(jù)，推出，，繼而得到，再根據(jù)，可得，即可得證．【詳解】（1）①證明：四邊形是正方形，，由題意易得，四邊形為矩形，，∴由折疊得：，，．

②解：由①知，，，

四邊形為矩形，，

，

解得或（不符合題意，舍去），，，

，，正方形的邊長為．

（2）證明：點P是線段的中點，理由如下：，，

在和中，，，，

，，，，，

，，，為的中點．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級上·甘肅張掖·期中）如圖，中，，，，為的中點，若動點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿向點運動，設(shè)點的運動時間為秒，連接，當以、、為頂點的三角形與相似時，的值為（

）A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3【答案】C【知識點】含30度角的直角三角形、相似三角形——動點問題【分析】此題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由中，，，，可求得的長，由為的中點，可求得的長，然后分別從若與若時，去分析求解即可求得答案．【詳解】解：中，，，，，，為的中點，動點以的速度從點出發(fā)，，，若，，，，∴，若時，，，，∴，綜上可得：的值為2或3.5．故選：C．2．（24-25九年級下·安徽宿州·階段練習）如圖，在等腰三角形中，，，，E為的中點，D為上一動點，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)線段，連接，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，求出，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，求出，，得出點F的軌跡在的邊上，當時，最小，此時F在上，再證明，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，如圖，連接，，∵在等腰三角形中，，，，E為的中點，∴，，∴，，∴，故點F的軌跡在的邊上，當時，最小，∵，∴此時F在上，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，故選：D．3．（2025·陜西寶雞·一模）如圖，在矩形中，P（與點A，B不重合）是邊上一動點，連接，過點D作，交的延長線于點E．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形成為解題的關(guān)鍵．如圖：過點E作，易得四邊形是矩形得到，然后證明，證明，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：如圖：過點E作，∵矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故選：A．4．（2025·廣東深圳·三模）如圖（a），在中，，為邊的高，，，分別為邊，上的動點，且．設(shè)的長為，的面積為，圖（b）為點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長度為（

）A．4 B．5 C． D．6【答案】B【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)圖象，先證明，推出；根據(jù)函數(shù)圖象得：當時，有最大值，面積為，則，求出此時，得到點為中點，推出，進而證明，得到，求出，利用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；根據(jù)函數(shù)圖象得：當時，有最大值，面積為，則，∴，∵，∴此時，點為中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．二、填空題5．（24-25九年級上·河南鄭州·期中）如圖，在中，，，動點從點出發(fā)沿邊運動，速度為，動點Q從點B開始沿邊運動，速度為；．如果，兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，那么經(jīng)過秒時，以點，，為頂點的三角形與相似．【答案】2或0.8【知識點】相似三角形——動點問題【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．利用時間表示相應(yīng)線段長和利用相似比列方程是解決此題的關(guān)鍵．分兩種情況，利用相似三角形的判定建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，以與相似，，，，∴當時，，即；解得：，當時，，即；解得：，即經(jīng)過2秒或秒時，與相似．故答案為：2或．6．（24-25九年級下·湖南衡陽·期中）如圖（1），在正方形中，點是對角線上一動點，點是上的點，且．設(shè)，已知與之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，點是圖象的最低點，那么的值為．【答案】/【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、最短路徑問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握利用軸對稱得到最短距離是解題的關(guān)鍵．連接，，則，得到，推出，即當點在上時，的值最小，此時的值最小，根據(jù)可得，由可設(shè)，則，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：如圖，由正方形的性質(zhì)可知點，關(guān)于直線對稱，連接，，四邊形是正方形，，，又，，，，當點在上時，的值最小，此時的值最小，點，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：（負值已舍去），，，，，，，，故答案為：．7．（2025九年級下·海南·專題練習）如圖，在邊長為5的菱形中，，點是邊上一動點（點不與點重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點恰好落在邊上的點處，連接，則；若交對角線于點，則．【答案】【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】證明為等邊三角形，可得，證明為等邊三角形，，可得，如圖，過點作交于，證明為等邊三角形，可得，證明，可得，再進一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為菱形，，∴，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點恰好落在邊上的點處，∴，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，如圖，過點作交于，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴∴．故答案為：，．【點睛】本題考查了菱形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握上述知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．8．（2025·黑龍江佳木斯·二模）在矩形中，，，點在邊上，且，是邊上的一個動點，若是直角三角形，則的長為．【答案】1或3或【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．分二種情況討論：當時和當時，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在矩形中，，，，如圖，當時，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：或；如圖，當時，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴；綜上所述，的長為1或3或，故答案為：1或3或．三、解答題9．（24-25九年級上·湖南永州·期末）如圖，在等邊三角形中，點是邊上一動點（點不與端點重合），作，交邊于點，交邊于點．(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長是【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導出，進而證明是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，而，則，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由，，求得，，由相似三角形的性質(zhì)得出，求得，得出答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴的長是．10．（24-25九年級上·河南南陽·期中）如圖，在矩形中，，，動點以的速度從點出發(fā)，沿向點移動，同時動點以的速度從出發(fā)，沿向點移動．設(shè)、兩點移動時間為．(1)_____，_____；（用含的式子表示）(2)當運動時間為多少秒時，與相似．【答案】(1)，；(2)秒與秒．【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、相似三角形——動點問題、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）先求出，進而表示出和的長度即可；（2）由題意可知，，再分兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：在矩形中，，，，動點以的速度移動，動點以的速度移動，，，故答案為：，；（2）解：由題意可知，，①如圖1，當時，，，即解得：（秒）；②如圖2，當時，，，即解得：（秒）．綜上所述，為秒與秒時，與相似．11．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）如圖，正方形與正方形有公共頂點，連接、、，，．(1)求線段的長．(2)若點是平面內(nèi)一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、圓的基本概念辨析【分析】（1）證明，即可求出．（2）根據(jù)則判斷出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當三點共線，且在上時，最小，即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵正方形與正方形，∴，，，，，，∴，．（2）解：∵，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當三點共線，且在上時，最小，最小值．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的概念，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．12．（24-25九年級上·江蘇揚州·期末）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，，是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【特殊化研究】如圖1，當D是邊中點時，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是_____________；請寫出證明過程．【一般化探究】如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；【結(jié)論推廣】請通過類比、歸納、猜想，探究出線段、、之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【答案】特殊化研究：，證明見解析；一般化探究：，證明見解析；結(jié)論推廣：當在射線上時，，當在延長線上時，【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形【分析】殊化研究：連接，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)證明，利用全等三角形性質(zhì)和勾股定理求解，即可解題；一般化探究：過點作于點，作于點，證明和為等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理得到，，再證明，結(jié)合相似三角形性質(zhì)設(shè)，，進而得到，證明四邊形為矩形，結(jié)合矩形的性質(zhì)證明，結(jié)合相似三角形性質(zhì)求解，即可解題；結(jié)論推廣：根據(jù)題意分兩種情況討論，當在射線上時，以及當在延長線上時，解題方法與第二問類似．【詳解】解：