第02講相交線與平行線內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破【知識(shí)點(diǎn)1】對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角1.對(duì)頂角的概念：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.2.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.3.互補(bǔ)與互余的概念互補(bǔ)：如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，也稱互補(bǔ).互余：如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱這兩個(gè)角互為余角，也稱互余.4.互補(bǔ)與互余的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等.【知識(shí)點(diǎn)2】垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別提醒：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).特別提醒：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.【知識(shí)點(diǎn)3】同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征同位角既在截線的同側(cè)，又在兩條被截線的同側(cè)形如字母“F”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）內(nèi)錯(cuò)角既位于被截兩直線之間，又位于截線兩側(cè)，即被截線“錯(cuò)開”形如字母“Z”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）同旁內(nèi)角既位于接線的同側(cè)，又位于被截兩直線之間.形如字母“U”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）【知識(shí)點(diǎn)4】平行線1.平行線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“//”表示.2.平行線的畫法一“落”：把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”：用直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”：沿直尺移動(dòng)三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點(diǎn)；四“畫”：沿三角尺過已知點(diǎn)的變化直線.3.平行線的公理（1）平行公理：經(jīng)過直線過一點(diǎn)，有且只有一條只限于這條直線平行.（2）平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【知識(shí)點(diǎn)5】平行線的判定和性質(zhì)1.平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，即同位角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同位內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行，即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，即同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行符號(hào)語言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD2.平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).考點(diǎn)一：對(duì)頂角的定義及性質(zhì)例1．（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）下列圖形中，與是對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】本題考查了對(duì)頂角的識(shí)別，掌握對(duì)頂角的定義，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．在一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒有公共邊的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角、兩條直線相交，構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角，由此即可求解．【詳解】解：A、沒有公共頂點(diǎn)，不是對(duì)頂角，不符合題意；B、是三條直線相交的角，不符合題意；C、是對(duì)頂角，符合題意；D、是三條直線相交的角，不符合題意；故選：C．【變式1-1】（24-25七年級(jí)下·浙江溫州·期中）下列四個(gè)圖形中，與是對(duì)頂角的是（

）A．B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】本題考查了對(duì)頂角的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握對(duì)頂角的定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)頂角的定義：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角，據(jù)此即可判斷．【詳解】解：A、兩角沒有公共頂點(diǎn)，不符合題意；B、兩角也是只有一條邊互為反向延長(zhǎng)線，另一條邊沒有互為反向延長(zhǎng)線，不符合題意；C、兩角沒有公共頂點(diǎn)，不符合題意；D、兩角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，符合題意；故選：D．【變式1-2】（24-25七年級(jí)下·北京·期中）如圖，直線，相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角相等【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等，掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)對(duì)頂角相等即可作答．【詳解】解：；故選：B．【變式1-3】（2025·陜西渭南·二模）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、對(duì)頂角相等【分析】本題考查角平分線的定義，對(duì)頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)角平分線的定義求出，再由對(duì)頂角相等即可解答．【詳解】解：因?yàn)槠椒?，，所以，所以．故選：A．考點(diǎn)二：求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角例2.（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期中）已知，則的余角的度數(shù)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的余角【分析】本題考查了求一個(gè)角的余角，根據(jù)余角的定義解答即可，掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴的余角的度數(shù)，故答案為：．【變式2-1】（24-25七年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，一塊的直角三角板放在一條直線上，若，則°；【答案】35【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、求一個(gè)角的余角【分析】本題考查平角的性質(zhì)．由，計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】解：由題意得，∵，∴，故答案為：35．【變式2-2】（24-25七年級(jí)下·寧夏銀川·期中）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是，那么這個(gè)角的度數(shù)是．【答案】/150度【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的補(bǔ)角【分析】本題主要考查了求一個(gè)角的補(bǔ)角度數(shù)，度數(shù)之和為180度的兩個(gè)角互補(bǔ)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)角的補(bǔ)角是，∴這個(gè)角的度數(shù)是，故答案為：．【變式2-3】（24-25七年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）已知一個(gè)角的余角是其補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)為．【答案】/80度【知識(shí)點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則這個(gè)角的余角為，補(bǔ)角為，再根據(jù)題意列出方程，即可求出x的值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則這個(gè)角的余角為，補(bǔ)角為，由題意得：，解得，故答案為：．考點(diǎn)三：利用垂線的定義求角的度數(shù)例3.（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知于O，．(1)若平分，求的度數(shù)；(2)若的度數(shù)比的度數(shù)的3倍多，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題考查了角的計(jì)算、角平分線的定義、垂線的定義．（1）根據(jù)，可得，再結(jié)合角平分線的定義可得，即可求解；（2）根據(jù)，可得，再結(jié)合的度數(shù)比的度數(shù)的3倍多，可得，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴．

∵，∴．

∵平分，∴，

∴；（2）解：，理由如下：∵，∴．

∵，∴．∵的度數(shù)比的度數(shù)的3倍多，∴，

∴．

∵，∴．【變式3-1】（24-25七年級(jí)下·貴州貴陽·期中）如圖，已知直線，相交于點(diǎn)O，平分，平分，．(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、垂線的定義理解、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查的是角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，垂直的定義；（1）先證明，，再利用角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；（2）由條件可得，求解，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∴．【變式3-2】（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，直線，交于點(diǎn)，平分，．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題考查角平分線的定義，垂直的定義，對(duì)頂角性質(zhì)等知識(shí)；（1）先根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)垂直得出，進(jìn)而根據(jù)平角得出答案；（2）得出，根據(jù)對(duì)頂角相等得出，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得出答案．【詳解】（1）平分，，，，．（2），，，，．【變式3-3】（24-25七年級(jí)下·云南昭通·期中）如圖，直線相交于點(diǎn)，，．(1)寫出的所有余角及和它相等的角；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)、是的余角；；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解、對(duì)頂角相等【分析】本題主要考查了補(bǔ)角的定義和角度計(jì)算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（），，推出，，再則對(duì)頂角相等，通過等角的余角相等，可求解；（）利用角度和差求解即可；【詳解】（1）解：、是的余角；，理由如下：∵，，∴，，∵，∴，∴、是的余角；（2）解：∵，∴，解得．考點(diǎn)四：網(wǎng)格中作平行線或垂線例4.（24-25七年級(jí)下·北京·期中）（1）在如圖所示的方格紙中，點(diǎn)P是的邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)完成下列各題：①過點(diǎn)P畫的垂線，垂足為M；②在射線上找一點(diǎn)N，使得直線；（2）在上圖中這三條線段大小關(guān)系是________________（用“<”號(hào)連接），并說明其中的數(shù)學(xué)理由：________________．【答案】（1）①見解析；②見解析．（2）；垂線段最短．【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、畫垂線、格點(diǎn)作圖題【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、垂線、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)垂線的定義畫圖即可；②根據(jù)垂線的定義畫圖即可．（2）結(jié)合垂線段最短進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）①如圖，即為所求；②如圖，即為所求．（2）由圖可得，．?dāng)?shù)學(xué)理由為：垂線段最短．故答案為：；垂線段最短．【變式4-1】（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）如圖，網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，格點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)（請(qǐng)用無刻度的直尺借助網(wǎng)格的格點(diǎn)畫圖，保留畫圖痕跡）．(1)過點(diǎn)畫的垂線，交于點(diǎn)；過點(diǎn)畫的垂線，垂足為(2)線段___________的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離，線段、這兩條線段大小關(guān)系是___________（用“”號(hào)連接），理由是___________；(3)圖中的余角是___________（不再標(biāo)注其它字母）．【答案】(1)見解析(2)，垂線段最短(3)和【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的余角、點(diǎn)到直線的距離、畫垂線、垂線段最短【分析】本題主要考查了畫垂線，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短和余角的定義，正確作出對(duì)應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵；（1）如圖所示，取格點(diǎn)H，連接交于E，則點(diǎn)E和射線即為所求；如圖所示，取格點(diǎn)F，連接，則點(diǎn)F和射線即為所求；（2）點(diǎn)到直線的距離為該點(diǎn)向該直線作垂線，該點(diǎn)與垂足的距離，據(jù)此可得第一空答案，根據(jù)垂線段最短可得第二、三空的答案；（3）根據(jù)度數(shù)之和為90度的兩個(gè)角互余，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：∵，∴線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離，線段、這兩條線段大小關(guān)系是，理由是垂線段最短；（3）解：∵，∴，∴的余角是和．【變式4-2】（24-25七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按下述要求畫圖．(1)畫直線；(2)畫線段；(3)過點(diǎn)畫直線的垂線，垂足為；(4)在線段中，最短的線段為___________，依據(jù)為___________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短【知識(shí)點(diǎn)】畫垂線、垂線段最短、畫出直線、射線、線段【分析】本題考查了作圖知識(shí)及把幾何語言轉(zhuǎn)化為幾何圖形的能力，熟練掌握直線、射線、線段和垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直線的特征畫圖即可；（2）根據(jù)線段的特征畫圖即可；（3）結(jié)合網(wǎng)格，過點(diǎn)作垂線畫圖即可．（4）根據(jù)垂線段最短，并結(jié)合題干信息即可求解【詳解】（1）解：連接點(diǎn)、點(diǎn)并延長(zhǎng)，如圖：（2）解：連接點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)、點(diǎn)，且不要延長(zhǎng)出點(diǎn)，如圖：（3）解：過點(diǎn)畫直線的垂線，垂足為，如圖：（4）解：∵垂線段最短，∴最短的線段為，故答案為：，垂線段最短【變式4-3】（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是的邊上的一點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P畫的垂線，交于點(diǎn)C；(2)過點(diǎn)P畫的垂線，垂足為H；(3)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線的距離，線段長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線的距離；(4)因?yàn)橹本€外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，所以線段這三條線段長(zhǎng)度的大小關(guān)系是（用“<”連接）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，(4)【知識(shí)點(diǎn)】畫垂線、點(diǎn)到直線的距離、垂線段最短【分析】本題考查了垂線的作法，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．（1）（2）利用方格線畫垂線即可；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得到線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到的距離，線段的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線的距離；（4）根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)連接的所有線中，垂線段最短得到，，即可得到線段的大小關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求，（2）解：如圖，直線即為所求，（3）解：線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線的距離，線段的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線的距離．故答案為：，；（4）解：∵，，∴．考點(diǎn)五：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別例5.（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）下列四個(gè)圖形中，和不是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了同位角的識(shí)別，關(guān)鍵是清楚同位角的概念，即若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線(截線)的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．根據(jù)同位角的定義判斷可得選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)同位角的概念判斷知，A，C，D中的和符合同位角的定義，選項(xiàng)B中的和不是兩條直線被第三條直線所截形成的，故不是同位角外．故選：B．【變式5-1】（24-25七年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）如圖所示，下列說法正確的是（

）A．與是同位角B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是同位角D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義解答即可．本題考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.與是同旁內(nèi)角，錯(cuò)誤，不符合題意，B.與是內(nèi)錯(cuò)角，錯(cuò)誤，不符合題意，C.與是同位角，錯(cuò)誤，不符合題意，D.與是同旁內(nèi)角，正確，符合題意，故選：D．【變式5-2】（24-25七年級(jí)下·安徽黃山·期中）下列各圖中，與是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的判斷，熟記內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義“兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角”，逐項(xiàng)分析可得答案．【詳解】解：A．與是同位角，不符合題意；B．與是內(nèi)錯(cuò)角，符合題意；C．與是對(duì)頂角，不符合題意；D．與是同旁內(nèi)角，不符合題意；故選：B．【變式5-3】（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·期中）如圖，直線分別交的兩邊于點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．和是內(nèi)錯(cuò)角 B．和是同旁內(nèi)角C．和是同旁內(nèi)角 D．和是同位角【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角；據(jù)此分別進(jìn)行分析可得答案．【詳解】解：A、和是內(nèi)錯(cuò)角，原說法正確，不符合題意；B、和是同旁內(nèi)角，原說法正確，不符合題意；C、和是同位角，原說法錯(cuò)誤，符合題意；D、和是同位角，原說法正確，不符合題意；故選：C．考點(diǎn)六：平行線的判定和性質(zhì)多結(jié)論題例6.（24-25七年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，，為上一點(diǎn)，，且平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【分析】此題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是相關(guān)性質(zhì)的熟練掌握．延長(zhǎng)，交于，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于，，，，，，平分，，，，，，，，；①錯(cuò)誤；②正確；，，，③正確；平分，，，，，④平分不一定正確．其中正確結(jié)論的是②③，故選：B．【變式6-1】（24-25七年級(jí)下·湖北荊門·期中）將一個(gè)直角三角尺與兩邊平行的紙條如圖放置，下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、三角板中角度計(jì)算問題【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合三角板中的角度和平角，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，故結(jié)論②正確；∵，∴，故結(jié)論③正確；∵，即，∵，∴，∴，即，故結(jié)論④正確；∴結(jié)論正確的是①②③④．故選：D．【變式6-2】（24-25七年級(jí)下·天津和平·期中）如圖，已知，添加一個(gè)以下條件：①；②；③；能證明的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，則，可判斷①條件；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可判斷②③條件．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，①條件正確；，，②條件錯(cuò)誤；，，③條件錯(cuò)誤；故選：A．【變式6-3】（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知（其中），添加以下一個(gè)條件：①；②；③；④．能判定的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行線的判定定理，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，以及鄰補(bǔ)角的定義．本題的關(guān)鍵是通過作輔助線得到角相等，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．過F作，結(jié)合條件①可證；條件②可證；條件③可證；條件④的結(jié)果得到恒等式，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：添加①，過F作，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，故①正確；添加②，過F作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；添加③，則，而F不在，故不能證明，故③錯(cuò)誤；添加④，∵，∴，即，無法證明，故④錯(cuò)誤；故選：C考點(diǎn)七：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用例7.（24-25七年級(jí)下·遼寧盤錦·期中）為響應(yīng)國(guó)家新能源建設(shè)．我省某市公交站亭裝上了太陽能電池板（圖1）．如圖2，電池板與水平線的夾角為，電池板與水平線的夾角為，要使，需將電池板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．則的度數(shù)為．【答案】/10度【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【分析】本題考查平行線的知識(shí)．由平行線的性質(zhì)，得，則，計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【變式7-1】（24-25七年級(jí)下·山東青島·期中）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)、會(huì)發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光線，在空氣中也是平行的．如圖，水中兩條光線是平行的，若，則與的度數(shù)和是°．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，結(jié)合，計(jì)算即可，本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，∵，∴，∴∴，故答案為：．【變式7-2】（24-25七年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖①，“二八大杠”傳統(tǒng)老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖．已知，，當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為．【答案】/66度【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，由此可得，即可得解．【詳解】解：∵，，，，，，故答案為：．【變式7-3】（24-25八年級(jí)上·山東青島·期末）光線照射到平面鏡鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，物理學(xué)中，我們知道反射光線與法線（垂直于平面鏡的直線叫法線）的夾角等于入射光線與法線的夾角．如圖，一個(gè)平面鏡斜著放在水平面上，形成形狀，，在上有一點(diǎn)，從點(diǎn)射出一束光線（入射光線），經(jīng)平面鏡點(diǎn)處反射光線剛好與平行，則的度數(shù)為．【答案】/72度【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【分析】本題考查平行線性質(zhì)的應(yīng)用，由，可得，，由反射的性質(zhì)可得，由此可解．【詳解】解：，，由題意知，，，，，，故答案為：．考點(diǎn)八：平行線的判定和性質(zhì)綜合問題例8.（24-25七年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，在三角形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）先由，得到，則，進(jìn)而得到，由此即可證明；（2）先由平行線的性質(zhì)得到，，再證明，結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，；（2）解：，，，，，，，，．【變式8-1】（24-25七年級(jí)下·重慶涪陵·期中）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線上，點(diǎn)N在線段上，與交于點(diǎn)M，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）由，推出，進(jìn)而推出，即可得證；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)，角的和差關(guān)系，以及對(duì)頂角相等，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2）∵，，∴，，∴，∴．【變式8-2】（24-25七年級(jí)下·河南許昌·期中）如圖，點(diǎn)，在直線上，，．(1)求證：；(2)的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、同位角相等兩直線平行、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由題意，結(jié)合圖形，得到，從而證得兩直線平行；（2）根據(jù)題意，得到的度數(shù)，利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)得的度數(shù)，，即可得解．【詳解】（1）解：為平角，又，，；（2）解：如圖所示，，

，，，，

又為的角平分線，，，，

，．【變式8-3】（24-25七年級(jí)下·浙江溫州·期中）如圖所示是超市購物車的側(cè)面示意圖，扶手框頂框底，車輪兩支腳架．(1)求的度數(shù)．(2)若支腳架所在的直線垂直于，試判斷與支腳架的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)平行，理由見解析．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行性的性質(zhì)可得，再由，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，從而得到，再由，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．考點(diǎn)九：根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探究角的關(guān)系例9.（24-25七年級(jí)下·福建廈門·期中）已知直線，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），平分，交直線于點(diǎn)C．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，不必說明理由；(2)若，平分，交直線于點(diǎn)D．①如圖2，若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出該度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由；②與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)①不變，②與之間的數(shù)量關(guān)系是：或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)．（1）延長(zhǎng)到E，由得，進(jìn)而得，再根據(jù)平分得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得，據(jù)此可得的度數(shù)；（2）①延長(zhǎng)到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得，，再根據(jù)得，進(jìn)而得，，再根據(jù)平分，得，然后根據(jù)可得結(jié)論；②（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，根據(jù)，得，進(jìn)而得，，，然后由平分得，則，據(jù)此得；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，再根據(jù)，得，進(jìn)而得，，，，然后根據(jù)平分得，則，據(jù)此可得．綜上所述即可得出與之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)到E，如圖1所示：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）解：①點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)不發(fā)生變化，，理由如下：延長(zhǎng)到E，如圖2所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，②與之間的數(shù)量關(guān)系是：或，理由如下：（?。┊?dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)到E，如圖3所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)到E，如圖4所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．綜上所述：與之間的數(shù)量關(guān)系是：或．【變式9-1】（24-25七年級(jí)下·山西大同·期中）綜合與探究如圖，，點(diǎn)，分別在直線，上．(1)如圖1，是直線，之間一點(diǎn)，連接，．試說明．(2)如圖2，是直線，之間一點(diǎn)，連接，．若，，求的度數(shù)．(3)如圖3，平分，平分，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、平行公理的應(yīng)用【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，代入數(shù)據(jù)，即可求解．（3）根據(jù)角平分線以及平角的定義可得，，由（1）可得，，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：∵∴∵，由（1）可得（3）解：，理由如下：∵平分，平分，∴，由（1）可得，∴即．【變式9-2】（24-25七年級(jí)下·廣西桂林·期中）【問題情境】已知，，平分交于點(diǎn)．【問題探究】（1）如圖1，已知．①若，則的度數(shù)為________．②若，，求的度數(shù)：________．【問題解決】（2）如圖2，若，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；【問題拓展】（3）如圖2，若，請(qǐng)直接寫出、和三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①②（2）（3）【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；②證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，進(jìn)行求解即可；（2）證明，推出，利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（3）證明，推出，利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）①∵，，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【變式9-3】（24-25七年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）【感知】（1）如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過點(diǎn)P作，通過平行線性質(zhì)來求的度數(shù)．按小明的思路，易求得的度數(shù)為度；【探究】（2）如圖2，點(diǎn)B，D在射線上，點(diǎn)A，C在射線上，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠APC與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；【遷移】（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在線段外運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，B，D不重合），試探究與，之間的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)從下面①和②中挑選一種情形，畫出圖形，寫出結(jié)論，并說明理由．①點(diǎn)P在射線上；②點(diǎn)P在線段上．【答案】（1）110；（2）；（3）①；②【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、平行公理的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，即可得到答案；（2）利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到，，由即可得到結(jié)論；（3）①過點(diǎn)P作，．則．由即可得到；②過點(diǎn)P作，則．再證得到．由即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴．（2），理由如下：如圖，過點(diǎn)P作，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（3）①如圖，，理由如下：過點(diǎn)P作，∴．∵，∴，∴．∵，∴．②如圖，，理由如下：過點(diǎn)P作，∴．∵，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解決三角形旋轉(zhuǎn)問題例10.（24-25七年級(jí)下·河南濮陽·期中）本張老師在課堂中帶領(lǐng)同學(xué)們探究這樣的問題：如圖1，將一個(gè)含的三角板與兩條平行直線如圖放置．其中，三角板各角度數(shù)為．【問題解決】（1）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．（2）在探究中張麗發(fā)現(xiàn)，這5個(gè)角之間相互都有關(guān)系，只要告訴其中一個(gè)角的度數(shù)就可求出其它角的度數(shù)，小強(qiáng)說：“讓我試試．若，可求出其它4個(gè)角的度數(shù)”．請(qǐng)你替小強(qiáng)求出這四個(gè)角的度數(shù)；【探索發(fā)現(xiàn)】（3）如圖2，張老師再把三角板如圖放置，在兩平行直線之間，請(qǐng)你探索并說明與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）D（2），，，（3），理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行公理的推論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；（2）利用平行線的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再證明，得到，從而由得出結(jié)論．【詳解】解：（1）A、∵，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴，又∵，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，而與不一定相等，與不一定相等，原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．（3），理由：過點(diǎn)E作，如圖2，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【變式10-1】（24-25七年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）如圖，直線，一副三角板（，，，）按如圖1放置，其中點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)B，C均在直線上，且平分；(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，若將繞B點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F、G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求t的值；②若在繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，繞E點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為K、T），請(qǐng)直接寫出與平行時(shí)的值．【答案】(1)(2)①5或35②或或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）首先求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，繼而可得結(jié)果；（2）①分兩種情況，畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度以及平行線的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解之即可；②表示出，，分三種情況（如解析所示），畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程，再求解即可．【詳解】（1）解：，，平分，，，，，．（2）解：①如圖，當(dāng)在上方時(shí)，，，，，，．如圖，當(dāng)在下方時(shí)，，，∵，∴，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了，∴，．在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，的值為5或35．②如圖，延長(zhǎng)，與交于H，由題意得，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；如圖，過點(diǎn)C作，∵，∴，∴，，∴，，∴，解得：；如圖，延長(zhǎng)，與交于H，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上：t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．【變式10-2】（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖1方式疊放在一起，其中，，，．(1)求證：；(2)如圖2，若交于點(diǎn)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，將三角尺固定不動(dòng)，改變?nèi)浅叩奈恢?，但始終保持兩個(gè)三角尺的頂點(diǎn)重合，當(dāng)這兩塊三角尺一組邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)；(3)或或或或．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角板中角度計(jì)算問題【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，幾何圖形中的角度計(jì)算，余角的性質(zhì)．?dāng)?shù)形結(jié)合并分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)余角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，根據(jù)角的和差關(guān)系即可解答；（3）根據(jù)題意，分五種情況進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；④當(dāng)時(shí)；⑤當(dāng)時(shí)；分別利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得．【詳解】（1）證明：，．．．（2）∵，∴，，∴∴；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，∴，∵；如圖，當(dāng)時(shí)，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，∴，；如圖，當(dāng)時(shí)，∴，．當(dāng)時(shí)，，∴，，，，綜上，的度數(shù)為或或或或．【變式10-3】（24-25七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）將一副三角板按如圖①放置．在中，，，在中，，，點(diǎn)C、A、E在同一條直線上．現(xiàn)保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)A以每秒鐘作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

(1)如圖①，，如圖②，當(dāng)時(shí)，(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，若同時(shí)以每秒的速度繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【答案】(1)，(2)t的值是20或；(3)或．【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，讀懂題，熟悉條件，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角的和與差即可解答；（2）分兩種情況：在的左邊和右邊，根據(jù)列方程即可解答；（3）分情況畫出圖形，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等列方程即可解答．【詳解】（1）解：如圖①，，，如圖②，當(dāng)時(shí)，；

故答案為：，；（2）解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)在的左邊時(shí)，由題意得：，

∵，∴，∴；②如圖2，當(dāng)在的右邊時(shí)，由題意得：，

∵，∴，∴；綜上，t的值是20或；（3）解：如圖，由題意可得：，，

，∵，∴，∵，，∴，∴；如圖：由題意可得：，，

，∵，∴，∴，∵，∴，解得：；綜上所述，或．一、單選題1．（2025年廣西壯族自治區(qū)南寧市初中畢業(yè)班質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知直線，被直線所截，則的同位角是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題主要考查了同位角的判斷，根據(jù)同位角的定義逐個(gè)判斷即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)楹褪青徰a(bǔ)角，所以A不符合題意；因?yàn)楹褪峭唤?，所以B符合題意；因?yàn)楹筒皇峭唤牵訡不符合題意；因?yàn)楹筒皇峭唤牵訢不符合題意．故選：B．2．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）如圖，已知直線，平分，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由鄰補(bǔ)角的定義得，由角平分線的定義得，最后根據(jù)得，即可得解．【詳解】解：，，平分，，，，故選：B．3．（2025·遼寧丹東·二模）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線的反向延長(zhǎng)線交于主光軸上一點(diǎn)P．若，則的度數(shù)是（

）A．30° B．50° C．60° D．70°【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角；由互補(bǔ)關(guān)系可分別求得；再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，；∵，∴，∴；故選：B．4．（北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，，則下列結(jié)論：①，②，③，④，其中一定成立的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、兩直線平行同位角相等、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，涉及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、兩直線平行同位角相等等知識(shí)．熟記平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故①一定正確；與是否平行不確定，不一定與相等，故②不一定成立；，，故③一定正確；，，故④一定正確；綜上所述，結(jié)論一定正確的是①③④，故選：D．5．（24-25七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）如圖，平分平分，點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、A、在一條直線上，，則下列結(jié)論：①；②；③．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．①② C．①②③ D．②③【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，垂線的定義等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)角平分線的意義和平角的定義即可判斷①；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，，再根據(jù)角的和差即可判斷②；根據(jù)角的和差計(jì)算即可判斷④．【詳解】解：∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴，①正確；∵，，∴，，，∴，∴，∴，②正確；∴，∵，∴，③錯(cuò)誤；綜上所述：正確的結(jié)論有①②．故選：B．二、填空題6．（24-25七年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，這是李明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，的長(zhǎng)度就是李明同學(xué)的成績(jī)，其中的數(shù)學(xué)依據(jù)是．【答案】垂線段最短【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關(guān)含義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：測(cè)量的依據(jù)是垂線段最短，故答案為：垂線段最短．7．（黑龍江省齊齊哈爾市2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題）如果的兩邊與的兩邊分別平行，并且的2倍比大，那么的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)找出或是解題的關(guān)鍵．由和的兩邊分別平行，利用平行線的性質(zhì)可得出或，結(jié)合的度數(shù)比度數(shù)的2倍少，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵和的兩邊分別平行，∴或，∵的2倍比大，∴設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上分析可知：或．故答案為：或．8．（24-25七年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)是．【答案】/58度【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．9．（24-25七年級(jí)下·重慶南川·期中）如圖，，，垂足分別為，．已知，，，，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離“直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離”，熟記定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求解即可得．【詳解】解：∵，垂足為，且，∴點(diǎn)到直線的距離為6，故答案為：6．10．（24-25七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）將一副三角尺和按如圖所示方式擺放，已知，，，將三角尺沿射線平移，平移的過程中，的延長(zhǎng)線與射線相交于點(diǎn)，作的平分線，交直線于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角板中角度計(jì)算問題【分析】本題考查圖形的平移，平行線的判定與性質(zhì)，先證明，得到，再根據(jù)和的位置分情況討論，分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，當(dāng)在右邊時(shí)，如圖，此時(shí)，∵的平分線為，∴，∵，∴；當(dāng)在左邊時(shí)，交線段于點(diǎn)，如圖，此時(shí)，∵的平分線為，∴，∵，∴，∴，當(dāng)在左邊時(shí)，交直線于點(diǎn)，如圖，此時(shí)，∵的平分線為，∴，∵，∴，∴，故答案為：或或．三、解答題11．（24-25七年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，直線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，在內(nèi)作射線，．(1)的補(bǔ)角是___________；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、求一個(gè)角的補(bǔ)角、垂線的定義理解【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，補(bǔ)角的定義，垂直的定義：（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義，作答即可；（2）由題意易得，根據(jù)垂直的定義，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵直線，交于點(diǎn)，∴，∴的補(bǔ)角是；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴．12．（24-25七年級(jí)下·