專題01探索勾股定理內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型1以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】例題：（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形的邊長為（

）A． B．6 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）如圖，中，．以的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為，若，則的值為（）A．18 B．20 C．22 D．252．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，在中，，，則正方形和正方形的面積和為（

）A．64 B．40 C．16 D．83．（24-25八年級下·山東臨沂·期中）如圖，圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的邊長分別是12，16，9，12，則最大正方形E的邊長是（

）A．20 B．25 C．30 D．35【題型2已知直角三角形的兩邊，求第三邊長】例題：（24-25八年級下·廣西來賓·期中）在中，，，，則．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·陜西安康·期中）若直角三角形的兩直角邊長分別為，，則該直角三角形的斜邊的長為．2．（24-25八年級下·西藏日喀則·期中）若直角三角形中，斜邊的長為13，一條直角邊長為5，則這個(gè)三角形的面積為．3．（24-25八年級下·山東德州·期中）若一個(gè)直角三角形的兩條邊的長分別為、，則第三條邊的長是．【題型3等面積法求直接斜邊上的高問題】例題：（24-25八年級下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）若直角三角形的兩直角邊長分別為6，12，則該直角三角形的斜邊上的高為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直角三角形兩直角邊長分別為3和，則斜邊上的高為．2．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在中，是斜邊上的高，如果，，那么．3．（2025·安徽宿州·三模）睿明同學(xué)在學(xué)習(xí)勾股定理后深入思考發(fā)現(xiàn)求一個(gè)三角形面積的方法：如圖，是的高，高是和的公共直角邊，由勾股定理得，，設(shè)，可建立關(guān)于的方程，求得，進(jìn)而通過計(jì)算就可求出的面積．根據(jù)睿明同學(xué)的方法，若，，，則的面積為．【題型4勾股定理與網(wǎng)格問題】例題：（24-25八年級上·遼寧錦州·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖所示，在邊長為的正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)、、、均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．圖中．2．（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）如圖，的頂點(diǎn)都在由邊長為1的小正方形組成的方格紙的格點(diǎn)上，且，則的長為．3．（23-24八年級下·全國·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線段的長為【題型5勾股定理與折疊問題】例題：（24-25八年級下·山東德州·期中）已知，如圖折疊長方形的一邊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，如，．求的長．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·云南昆明·期中）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為，(1)求的長；(2)求點(diǎn)B到斜邊的距離；2．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）如圖，將長方形沿折疊，使落在的位置，且與相交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求．3．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖，將長方形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，折痕為．(1)求證：；(2)若，，求的長．【題型6利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】例題：（23-24八年級下·河南鄭州·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點(diǎn)，若，，則．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）中，斜邊，則的值是．2．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，四邊形的對角線，相交于點(diǎn)．若，則．3．（24-25八年級上·湖北十堰·期末）如圖，等腰直角，等腰直角，，連接相交于點(diǎn)M，則．【題型7利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】例題：（24-25八年級下·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，和都是等腰直角三角形，，D為邊上一點(diǎn)，求證：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，．(1)求證：；(2)當(dāng)，，時(shí)，求的值．2．（23-24八年級上·江西吉安·期末）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點(diǎn)．

(1)試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)試說明三者之間的關(guān)系．3．（23-24九年級上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在中，已知，D是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接

(1)求證：；(2)若，，求的周長.【題型8勾股定理的證明方法】例題：（24-25八年級下·廣西來賓·期中）【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長，，之間的一個(gè)重要結(jié)論：【深入思考】如圖2，在中，，，，，以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，其中，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)求證：，．(2)請你用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，在長方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，，且．(1)請用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，探究、、三者之間的等量關(guān)系（結(jié)果化成最簡）；(2)請運(yùn)用（1）中得到的結(jié)論，解決下列問題：①當(dāng)，時(shí)，長方形的面積是______；②當(dāng)，時(shí)，求面積．2．（24-25八年級下·山東德州·期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明了勾股定理，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，圖1所示的“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長分別為，且，斜邊長為）和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．(1)請用兩種不同方法表示圖1中陰影部分面積．（結(jié)果化為最簡）方法1：__________；方法2：__________；根據(jù)以上信息，可以得到等式__________；(2)將圖1中的2個(gè)直角三角形位置改變得到圖2，若，求圖2中陰影部分的面積．(3)圖3，將這四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接形成風(fēng)車狀圖案，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長為24，且，求該風(fēng)車狀圖案的總面積．3．（24-25八年級下·廣東汕頭·期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得出結(jié)論．這里用兩種求法表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩．某數(shù)學(xué)愛好者構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了以下證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和直角三角形按如圖2所示放置，其三邊長分別為，，顯然．①請用分別表示出梯形的面積________，的面積________；并求出四邊形的面積（用含c的式子表示，要寫過程）②請利用①中這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理；【方法遷移】（1）如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到，則邊上的高為________；（2）如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求x的值．一、單選題1．（2025·貴州畢節(jié)·三模）在中，，若，，則的長是（

）A．7 B．6 C．5 D．22．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）三個(gè)正方形按如圖所示的方式擺放，圍成了一個(gè)直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形的面積為（

）A．120 B．100 C．64 D．103．（24-25八年級下·山西大同·期中）如圖，在邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，C都在格點(diǎn)上，以點(diǎn)O為圓心，的長為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)B，則線段的長為（

）A． B．` C． D．4．（2025·安徽宿州·二模）如圖，在中，于點(diǎn)D，，則的長為（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣的一個(gè)問題：“今有開門去闊一尺，不合二寸，問門廣幾何？”意思是：如圖，推開兩扇門（和）門邊緣、兩點(diǎn)到門檻的距離是1尺（即、到線段的距離為1尺），兩扇門的間隙為2寸，則門寬是多少寸？（1尺寸）設(shè)單門的寬度是尺，則所列方程為（

）A． B．C． D．二、填空題6．（24-25八年級下·廣東惠州·期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊的平方是．7．（24-25九年級上·重慶巫山·期中）如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作和．若，，則的周長是．8．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使、兩點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．已知，．則線段的長是．9．（24-25八年級下·湖南常德·期中）我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖，垂美四邊形中，，垂足為，試猜想：兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系為10．（24-25八年級下·廣東珠海·期中）已知是的邊上的高，若，，，則的長為．三、解答題11．（24-25八年級下·河南許昌·期中）如圖，在中，，于D．若，，求的長．12．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好組合得到如圖2所示的四邊形．若，．求的長；13．（24-25八年級下·廣東廣州·期中）在Rt中，，、、的邊分別為、、．(1)若，求(2)若，求的值．14．（24-25八年級下·安徽合肥·期中）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，均為格點(diǎn)，(1)___________，___________(2)求中邊上的高15．（24-25八年級下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，某廣場有一塊三角形空地，管理部門計(jì)劃將這塊空地分割成四邊形和，分別擺放不同的花卉．經(jīng)測量，，米，米．(1)求的長；(2)若米，米，求三角形空地的面積．16．（24-25八年級下·湖南長沙·期中）如圖，在中，，，，為上一點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上．(1)求的長；(2)求的周長．17．（24-25八年級下·四川自貢·階段練習(xí)）新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”(1)如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．若，探究a，b，c，d的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，在長方形中，，P是邊上一點(diǎn)，且，求的長18．（24-25八年級下·安徽滁州·期中）我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的圖形，其中四邊形和