專題09立方根內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：8大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01立方根的定義1.定義：如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數的立方根，用表示，其中是被開方數，3是根指數.開立方和立方互為逆運算.2：立方根的特征立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.注意：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符號相同.兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.知識點02立方根的性質注意：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.知識點03立方根小數點位數移動規(guī)律被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【題型1立方根概念理解】例題：（2025·廣東江門·一模）下列語句正確的是（）A．負數沒有立方根 B．的立方根是C．立方根等于本身的數只有 D．【變式訓練】1．（24-25八年級上·河南鄭州·期中）下列說法中，正確的是（

）A．一個數的立方根有兩個，它們互為相反數 B．一個非零數的立方根與這個數同號C．負數沒有平方根也沒有立方根 D．算術平方根一定是正數2．（24-25八年級上·河南鄭州·期中）下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．沒有立方根C．立方根等于本身的數是和 D．3．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法中，正確的是（

）A．沒有立方根 B．1的立方根是C．是2的立方根 D．3的立方根是【題型2求一個數的立方根】例題：（23-24七年級下·四川南充·階段練習）的立方根是，的平方根是．【變式訓練】1．（23-24七年級下·新疆和田·階段練習）計算：．2．（24-25七年級下·河南濮陽·期中）的平方根是，4的平方根是，的立方根是．3．（湖南省懷化市九縣十校2024-2025學年七年級下學期“新課標新中考“聯合調研考試數學試題）的立方根是；的平方根是．【題型3已知一個數的立方根，求這個數】例題：（24-25八年級上·江西吉安·期末）已知a的立方根為，則a的值為．【變式訓練】1．（24-25七年級上·浙江紹興·期末）如果的立方等于27，那么的算術平方根是．2．（24-25七年級下·北京大興·期中）已知的立方根是，的算術平方根是4，則的值是．3．（24-25八年級上·江西九江·階段練習）已知，則的平方根為．【題型4立方根的性質】例題：（24-25七年級下·江西贛州·期中）已知，則的值為．【變式訓練】1．（24-25七年級下·重慶·期中）數a、b、c在數軸上對應的位置如圖，化簡的結果為．2．（24-25七年級下·河南信陽·階段練習）若，則的平方根是．3．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）根據立方根的意義填空：_____，_____，______，_____，_____．觀察上述結果，猜想對于實數等于什么？對于式子（是整數）的化簡，你有怎樣的認識？【題型5利用開立方解方程】例題：（24-25七年級下·甘肅隴南·階段練習）已知．求的值【變式訓練】1．（24-25七年級下·江蘇南通·階段練習）求x的值：(1)；(2)．2．（24-25七年級下·甘肅平涼·階段練習）解方程：(1)(2)3．（24-25七年級下·山東日照·階段練習）解方程：(1)(2)【題型6平方根與立方根的綜合】例題：（24-25七年級下·江西宜春·期中）已知的算術平方根是0，的立方根是3．(1)求、的值．(2)的平方根．【變式訓練】1．（24-25七年級下·山東臨沂·期中）已知的平方根是，的立方根為．(1)求a與b的值；(2)求的算術平方根和立方根．2．（24-25七年級下·廣東江門·期中）已知一個正數的兩個不同的平方根分別是和，的立方根是．(1)求這個正數；(2)求這個正數的立方根；(3)求的算術平方根．3．（24-25七年級下·天津東麗·期中）已知的兩個平方根分別是，算術平方根為2．(1)求、的值；(2)求的平方根；(3)若的算術平方根是3，求的立方根．【題型7立方根的應用】例題：（24-25七年級下·貴州黔東南·期中）某區(qū)域氣象資料表明，當地雷雨持續(xù)時間可以用公式來估計，其中是雷雨區(qū)域的直徑．(1)如果某場雷雨區(qū)域的直徑是，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？(2)如果這場雷雨持續(xù)了分鐘，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？（結果精確到；參考數據：）【變式訓練】1．（24-25七年級下·山西大同·期中）幼兒園門口的升降阻車樁對保障幼兒園內兒童及教職工的安全以及提高幼兒園的安保效率都起著重要的作用．如圖是在幼兒園門口安裝的圓柱形升降阻車樁，已知每個圓柱的體積都是，圓柱的高是底面半徑的6倍，求底面半徑．（取3.14）2．（24-25七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）一個底面半徑為的圓柱體玻璃杯裝滿水，杯的高度為，現將這杯水全部倒入一正方體容器中，正好占正方體容器容積的（玻璃杯及容器的厚度可以不計），求正方體容器的棱長．3．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）已知甲正方體紙盒的底面積為，乙正方體紙盒的體積比甲正方體紙盒的體積大，丙正方體紙盒的體積是乙正方體紙盒體積的．(1)求乙正方體紙盒的棱長；(2)求丙正方體紙盒的棱長．【題型8與立方根有關的規(guī)律探究問題】例題：（24-25七年級下·廣西南寧·期中）完善下面表格，發(fā)現平方根和立方根的規(guī)律，并運用規(guī)律解決問題．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估計和的值；(結果保留四位小數)(3)若，估計的值．（參考數據：)．（結果保留四位小數）【變式訓練】1．（24-25七年級下·河南商丘·階段練習）觀察下列規(guī)律并回答問題：，…(1)，；(2)已知，若，用含x的代數式表示y，則；(3)當時，根據上述規(guī)律比較與的大小情況．2．（23-24七年級下·湖北宜昌·階段練習）（1）填表：a0.001110001000000110由表你發(fā)現了：被開方數的小數點向右(或左)移動位，其立方根的小數點向右(或左)移動位；（2）根據你發(fā)現的規(guī)律填空：①已知，則；②已知，則．（3）用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體積為立方米，需要多大面積的鐵皮？a0.001110001000000110規(guī)律：數的小數點每移動三位，它的立方根的小數點就向相同方向移動一位；（2）解：①∵，3．（24-25七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）在學習了《實數》這一章的內容后，徐老師帶著同學們一起進行對知識的探究．觀察下面式子的規(guī)律，解答問題．，，……，，……【發(fā)現規(guī)律】（1）①如果被開方數的小數點向左移動兩位，那么它的算術平方根的小數點向_____移動_____位．②如果被開方數的小數點向右移動三位，那么它的立方根的小數點向_____移動_____位．【應用規(guī)律】（2）①已知，那么_____，_____．②已知，，那么_____．【拓展】（3）已知，，則_____，_____．一、單選題1．（安徽省蕪湖市2024-2025學年七年級下學期5月月考數學試題）若實數與互為倒數，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．（24-25七年級下·山西大同·期中）下列說法正確的是（

）A．4的算術平方根是 B．9的平方根是3C．沒有立方根 D．8的立方根是23．（2025·北京·二模）下列算式中正確的有（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．（24-25八年級上·廣東佛山·期末）在如圖所示的運算程序中，輸入的值是64時，輸出的值是（）A． B． C．2 D．85．（24-25七年級下·廣西玉林·期中）如圖所示，有一個正方體集裝箱，體積為，現準備將其改造（形狀仍為正方體），以便盛放更多的貨物，為使其體積達到，棱長應變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．倍 B．倍 C． D．二、填空題6．（24-25七年級下·吉林·期中）的立方根是．7．（24-25七年級下·陜西榆林·期中）若正數m的兩個不同的平方根分別為和，則的立方根為．8．（24-25八年級下·山西臨汾·期中）已知，，，，則．9．（24-25七年級下·山東臨沂·期中）在下列各數中無理數有個．，，，，，，，，，，……（相鄰兩個5之間的7的個數逐次加1）．10．（24-25七年級下·山西朔州·期中）蓄水池（如圖）是用人工材料修建、具有防滲作用的蓄水設施．某地準備修建一個容積為的正方體蓄水池，則該正方體蓄水池的邊長為．三、解答題11．（24-25七年級下·山西呂梁·階段練習）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．12．（24-25七年級下·河南濮陽·期中）解方程：(1)；(2)．13．（24-25七年級下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算術平方根是．(1)求的值；(2)求的平方根．14．（24-25七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖是一塊體積為343立方厘米的正方體鐵塊．(1)求該正方體鐵塊的棱長；(2)現在工廠要將這塊鐵塊熔化，重新鍛造成兩個棱長為3厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊．若長方體鐵塊的高為1厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．15．（24-25七年級下·安徽淮北·階段練習）閱讀材料：我們知道，任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零，由此可得，如果，其中m、n為有理數，為無理數，那么，．運用上述知識解決下列問題：(1)若m、