專題22一次函數(shù)與三角形綜合問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升1.一次函數(shù)圖象性質(zhì)：掌握一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象特征，k決定傾斜方向和程度，b確定與y軸交點(diǎn)。其圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，可利用橫、縱截距計(jì)算邊長(zhǎng)和面積。2.三角形基本性質(zhì)：包括三角形三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、面積公式（如S=123.坐標(biāo)與幾何計(jì)算：利用點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)；通過(guò)坐標(biāo)平移、對(duì)稱等變換，分析函數(shù)圖象與三角形的位置關(guān)系，解決最值、存在性等問(wèn)題?！绢}型1一次函數(shù)與三角形的面積問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的解析式為，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，已知，，直線與相交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)求的面積；【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得：，直線的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)，有，解得：，，，，聯(lián)立：，得：，，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·湖南益陽(yáng)·期末）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)判斷是什么特殊三角形，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、用勾股定理解三角形、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)的解析式，勾股定理及逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理及逆定理．（1）由，得，可得A5,0，再聯(lián)立方程組求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，先求得，，，在中，由勾股定理得：，同理可得，再用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）由，得，∴A5,0由得．∴；（2）是直角三角形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)C，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，∴，，，在中，由勾股定理得：，同理：，∴，又，∴，∴是直角三角形．2．（23-24八年級(jí)下·江西上饒·期末）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)在x軸上找一點(diǎn)D，使得，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在y軸上，且三角形的面積是三角形面積的2倍，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）先根據(jù)題意求出，設(shè)點(diǎn)，則，再根據(jù)三角形面積公式可求的長(zhǎng)，解得m的值，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)，求解即可．【詳解】（1）解：∵直線與y軸交于點(diǎn)B，令得，，∴，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴．（2）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，令得，，∴A?2,0∴，∴，設(shè)點(diǎn)，則，∴，解得或，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，即，，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2或．3．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，已知直線與坐標(biāo)軸分別交于A，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，該直線與直線交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)P的坐標(biāo)為或(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求得的長(zhǎng)，從而求得，即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到可求得m的值，最后確定點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵直線與坐標(biāo)軸跟別交于A，B兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵點(diǎn)P在y軸上，且，∴，∴P的坐標(biāo)為或．（2）解：∵點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，且，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【題型2一次函數(shù)與三角形全等問(wèn)題】例題：（2023八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)．

(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求的長(zhǎng)；(3)若以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與全等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、全等三角形綜合問(wèn)題、用勾股定理解三角形【分析】（1）將和分別代入求解即可；（2）首先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可；（3）首先根據(jù)題意得到是的斜邊，Q為直角頂點(diǎn)，然后設(shè)，則，然后分3種情況討論，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）在中，令得，令得，∴，；（2）由（1）知，，∴，∴，∵，∴；（3）∵以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與全等，∴是的斜邊，Q為直角頂點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)，P在C下方時(shí)，如圖：

則，∴，∴，∴，∴；當(dāng)，P在C上方時(shí)，如圖：

∵，∴．∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖：

則，∴；綜上所述，Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與三角形綜合題，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A．若點(diǎn)C是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以C，D，A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則的長(zhǎng)為（

）

A．3或 B．4或 C．3或 D．4或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．根據(jù)題意解方程得到，則，令，則，求得，，根據(jù)勾股定理得到，①當(dāng)時(shí)，如圖1，②當(dāng)時(shí)，如圖2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，在中，令，則，令，則，，，由勾股定理得，①當(dāng)時(shí)，如圖1，

，，；②當(dāng)時(shí)，如圖2，

，，，綜上所述：的長(zhǎng)為或4．故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·河南焦作·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A．若點(diǎn)C是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以C、D、A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，分或兩種情況進(jìn)行討論求解即可．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,2，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，如圖所示，∵，，∴，當(dāng)以C、D、A為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，共有或兩種情況，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，即；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．故答案為：或．3．已知一次函數(shù)y=-3x+3的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(3,0)．(1)如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E在線段BC上且到兩坐標(biāo)軸的距離相等，連接DE，交y軸于點(diǎn)F．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)△AOB與△FOD是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)G與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P在直線GC上，若△ABP是等腰三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由見(jiàn)詳解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.【分析】（1）連接OE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G，EH⊥OB于點(diǎn)H，首先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E到兩坐標(biāo)軸的距離相等，得到OE平分∠BOC，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；(2)首先求出直線DE的解析式，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可證明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直線GC的解析式，求出AB的長(zhǎng)，設(shè)P（m，m-3），分類討論①當(dāng)AB=AP時(shí)，②當(dāng)AB=BP時(shí)，③當(dāng)AP=BP時(shí)，分別求出m的值即可解答.(1)解:連接OE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G，EH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)y=0時(shí)，-3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，C（3，0），OC=3，∴D（-3，0），∵點(diǎn)E到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴EG=EH，∵EH⊥OC，EG⊥OC，∴OE平分∠BOC，∵OB=OC=3，∴CE=BE，∴E為BC的中點(diǎn)，∴E（，）；(2)解:△AOB≌△FOD，設(shè)直線DE表達(dá)式為y=kx+b，則，解得：，∴y=x+1，∵F是直線DE與y軸的交點(diǎn)，∴F（0，1），

∴OF=OA=1，∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，∴△AOB≌△FOD；(3)解:∵點(diǎn)G與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，B（0，3），∴點(diǎn)G（0，-3），∵C（3，0），設(shè)直線GC的解析式為：y=ax+c，，解得：，∴y=x-3，AB==

，設(shè)P（m，m-3），①當(dāng)AB=AP時(shí)，=整理得：m2-4m=0，

解得：m1=0，m2=4，∴P（0，-3）或（4，1），②當(dāng)AB=BP時(shí)，=m2-6m+13=0,△＜0故不存在，③當(dāng)AP=BP時(shí)，=，解得：m=，∴P（，），綜上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），【點(diǎn)睛】此題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定，勾股定理.【題型3一次函數(shù)與三角形存在問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)下·陜西安康·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l，且直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．(1)求直線l的解析式及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)或或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)圖象平移問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、等腰三角形的定義【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律得出直線l的解析式，由函數(shù)解析式令求A點(diǎn)坐標(biāo)，求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：將直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l，∴直線l的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得或，∴M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴M的坐標(biāo)為；綜上，M的坐標(biāo)為或或．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·期末）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸相交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，設(shè)的面積為．

(1)寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得與、、中任意兩點(diǎn)形成的三角形面積也為，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，，．【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由可求函數(shù)關(guān)系式，（2）將代入函數(shù)解析式可求得點(diǎn)；（3）根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)不同分類討論求出點(diǎn)M．【詳解】（1）解：點(diǎn)在第二象限，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x，則（)（2）由（1）可知當(dāng)則此時(shí)：所以（3）存在點(diǎn)M滿足條件，I．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，II．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為；III．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，

，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B下方時(shí)，點(diǎn)M點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；；IV．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，不合題意舍去；V．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若，即，∴，∴，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是分類討論的數(shù)學(xué)思想．2．（24-25九年級(jí)上·黑龍江綏化·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線CE上一點(diǎn)．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)和直線的解析式；(2)若的面積為21，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是直線在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線的解析式為(2)或(3)或或【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、用勾股定理解三角形【分析】本題考查題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)E和C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用列方程解題；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，分為，和三種情況，利用勾股定理計(jì)算即可解題．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，∴，∵E是AB的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，解得：（舍去）或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【題型4一次函數(shù)中折疊的綜合問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，直線與軸，軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)B，M是上一點(diǎn)，若將沿折疊，則點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處．求：(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）分別令，求出A、B的坐標(biāo)即可；（2）設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，等積法求出的值，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，；（2）解：∵，，∴，，∵翻折，∴，，∴，設(shè)，則：，∴，解：，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的處，若是軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且是等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】或或【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)度，設(shè)，則在中，利用勾股定理即可得出關(guān)于的方程，解之即可得出的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得，然后分三種情況討論求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．．由折疊的性質(zhì)可得，．設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，∵，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，解得，此時(shí)；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、折疊的性質(zhì)以及勾股定理，等腰三角形的定義，在中，利用勾股定理找出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶北碚·八年級(jí)重慶市朝陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】或【分析】由題意可求點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，分點(diǎn)在正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論，根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，若點(diǎn)在正半軸上，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在直線上點(diǎn)處，∵直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，得：，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)恰好落在直線上點(diǎn)處，∴，，，∴，在中，，∴，∴，∴；如圖，若點(diǎn)在負(fù)半軸上，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在直線上點(diǎn)處，∴，，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，運(yùn)用了分類討論的思想．熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)在直線上是否存在點(diǎn)P，使是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若將折疊，使邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BC，求折痕所在直線的表達(dá)式．【答案】(1)，；(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)折痕的解析式為．【分析】（1）利用直線解析式，容易求得、的坐標(biāo)；（2）作線段的垂直平分線，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，則容易求得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）可設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得到，，在中，由勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的值，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式．【詳解】（1））在中，令可得，令可求得，，；（2）如圖1，作線段的垂直平分線，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，即點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，，，在中，當(dāng)時(shí)，可得，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）如圖2，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，設(shè)直線解析式為，，解得，折痕的解析式為．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，在（2）中確定出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．【題型5一次函數(shù)中生一次函數(shù)綜合問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，它們的坐標(biāo)分別為、，且，．(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，三角形的面積為，請(qǐng)求出與之間的關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使三角形的面積是三角形面積的，若存在，請(qǐng)求出的值和點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，(3)存在，，，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、坐標(biāo)與圖形、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】（1）根據(jù)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）分類討論：P在線段上，P在線段的延長(zhǎng)線上，根據(jù)三角形的面積公式，可得t的值，根據(jù)線段的和差，可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）首先求出的面積，然后根據(jù)三角形的面積是三角形面積的，得出，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）∵、∴，又∵，∴∴∴∴，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得：，（3）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，∴，∴，∴，同理，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是（2）（3）需要求出符合條件的所有情況，是一道比較容易出錯(cuò)的題目．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，交軸和軸于兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)作，截取，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向下運(yùn)動(dòng)，連接，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，三角形的面積為，請(qǐng)用含的式子表示，并直接寫(xiě)出的取值范圍；(3)在（2）的條件下，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使與全等?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)與全等時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值非負(fù)性、坐標(biāo)與圖形、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（1）利用絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作于H，證明，分和兩種情況，列分段函數(shù)；（3）點(diǎn)M可能在x軸上，也可能在y軸上，因此需要分兩種情況分別計(jì)算．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)D作于H，，，在和中，，，當(dāng)時(shí)，由題意得：則，；當(dāng)時(shí)，，，則（3）解：如圖②，，，，，當(dāng)時(shí)，，，∴點(diǎn)M在x軸上．，，當(dāng)時(shí)，，∵點(diǎn)在軸上，，，，綜上所述：與全等時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，射線交y軸正半軸于點(diǎn)B，，三角形的面積為12．

(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)：(2)點(diǎn)C是射線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n．①當(dāng)點(diǎn)C（不與點(diǎn)B重合）在線段上時(shí)，請(qǐng)用含n的式子表示三角形的面積；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)連接，若三角形的面積是三角形面積的，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)及運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【答案】(1)，(2)①；②，秒；，秒【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、坐標(biāo)與圖形、幾何問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)圖像與性質(zhì)及一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)三角形面積及兩直角邊關(guān)系可直接求出；（2）①根據(jù)坐標(biāo)與圖形關(guān)系表示面積即可；②先用待定系數(shù)法求出直線表達(dá)式，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在Q左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在Q右側(cè)時(shí)，分別列方程求出即可．【詳解】（1）解：∵三角形的面積為12，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸的負(fù)半軸上，y軸的正半軸上，∴，；（2）解：①如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于M．

∵點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n，∴

∴三角形的面積為：，∴三角形的面積為；②設(shè)直線表達(dá)式為，由題意得：，解得：，直線表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，即，，，，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P在Q左側(cè)時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在Q右側(cè)時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．一、單選題1．（2025·陜西西安·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線沿軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A．6 B．4 C．9 D．8【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)圖象平移問(wèn)題【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)上加下減，左減右加的平移規(guī)律得到平移后的直線解析式，再求出平移后的直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：將直線沿軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線解析式為，在中，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，∴平移后的直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴平移后的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·河南·期中）已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，M是上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】折疊問(wèn)題、用勾股定理解三角形、一次函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合、勾股定理及折疊的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后可得，設(shè)點(diǎn)，則有，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：由折疊可知：，令時(shí)，則，解得：，令時(shí)，則，∴，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，則有，在中，由勾股定理可得，解得：；故選B．3．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖①所示，于點(diǎn)，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)再到點(diǎn)后停止，速度為，其中的長(zhǎng)度（單位：）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）的關(guān)系如圖②，則三角形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】從函數(shù)的圖象獲取信息、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象【分析】本題考查了函數(shù)的圖象．根據(jù)圖象獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．由題意知，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，，故選：B．4．（24-25八年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，直線：與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線l上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在y軸上存在（）個(gè)點(diǎn)Q，使得以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與全等．A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)與幾何綜合、全等三角形的性質(zhì)、用勾股定理解三角形【分析】先求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求得的長(zhǎng)，利用面積法即可求得的長(zhǎng)，分與兩種情況討論，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】解：對(duì)于直線，令，則，令，則，解得：，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，，∴，，∴，∵∴；①當(dāng)時(shí)，如圖2和圖3，由（1）得，∴，即P點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為：，∴，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為：，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖4和圖5，∴，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q共4個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（23-24八年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）若直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為9，則b＝．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先用b表示出直線與x、y軸的交點(diǎn)，再利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為．∵直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為9，∴，∴．故答案為：．6．（23-24八年級(jí)下·上海松江·期中）一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形，稱為該一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形．已知一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形的面積為6，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，解答本題需要注意有兩種情況，不要漏解，表示出函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再利用三角形的面積公式得到關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值．【詳解】解：，令，則，令，則，一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形的面積為6，，解得：，故答案為：．7．（23-24八年級(jí)下·福建泉州·期中）直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線，點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若與全等，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、全等三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題主要考查三角形全等性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理，先求得的坐標(biāo)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分析不同情況根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可；【詳解】解：將時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，可知，，如圖則，∴當(dāng)時(shí)，，如圖，則，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵∴∴，在中，∴∴綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)是或故答案為：或．8．（23-24八年級(jí)下·天津西青·期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在的直線折疊．（Ⅰ）在x軸上是否存在C點(diǎn)，使折疊后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好落在y軸上？（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)“是”或“否”）．（Ⅱ）如果存在滿足（Ⅰ）中條件的點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫(xiě)出它的坐標(biāo)．．【答案】是，【知識(shí)點(diǎn)】折疊問(wèn)題、用勾股定理解三角形、一次函數(shù)與幾何綜合【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，翻折變換，勾股定理；（Ⅰ）折疊以后可以發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)C點(diǎn)使折疊后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好落在y軸上；（Ⅱ）根據(jù)勾股定理得到，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)A落在y軸的正半軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）折疊以后可以發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)C點(diǎn)使折疊后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好落在y軸上；故答案為：是；（Ⅱ）∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)A落在y軸的正半軸上時(shí)，過(guò)作于，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵折疊后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好落在y軸上，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴；同理，當(dāng)點(diǎn)A落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，過(guò)作于，∴∴，∵，∴，解得，∴；故答案為：，．三、解答題9．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形．例如，圖中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，則為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形．(1)求函數(shù)的坐標(biāo)三角形的面積；(2)若函數(shù)（b為常數(shù)）的坐標(biāo)三角形周長(zhǎng)為16，求此三角形的面積．【答案】(1)4.5(2)【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)與幾何綜合、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，對(duì)于（1），分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得三角形的面積；對(duì)于（2），先用b表示的函數(shù)與x軸，y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得到兩交點(diǎn)之間的距離，根據(jù)b的取值以及三角形的周長(zhǎng)為16可得b的值，進(jìn)而求得三角形的面積．【詳解】（1）解：∵直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴函數(shù)的坐標(biāo)三角形的面積為；（2）解：直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理，得坐標(biāo)三角形的斜邊的長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，坐標(biāo)三角形面積為；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，三角形面積．綜上，當(dāng)函數(shù)的坐標(biāo)三角形周長(zhǎng)為16時(shí)，面積為．10．（23-24八年級(jí)下·陜西安康·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l，且直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．(1)求直線l的解析式及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)或或【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、一次函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)圖象平移問(wèn)題、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律得出直線l的解析式，由函數(shù)解析式令求A點(diǎn)坐標(biāo)，求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：將直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l，∴直線l的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得或，∴M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴M的坐標(biāo)為；綜上，M的坐標(biāo)為或或．11．（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．(1)求、的長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得以D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法分別得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定，以及的長(zhǎng)度，得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系求出即可．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)，則；當(dāng)，則，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：，B點(diǎn)坐標(biāo)為：；∴；（2）解：，，，點(diǎn)D在x上；，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，找準(zhǔn)D、C、O為頂點(diǎn)的三角形與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，三角形的面積是6；

(1)求三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接、，并用含字母的式子表示的面積；(3)在（2）問(wèn)的條件下，是否存在點(diǎn)，使的面積等于的面積的，如果存在，請(qǐng)求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)解析式【分析】此題考查了求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積得到，解得，即可求出答案；（2）作于點(diǎn)，分三種情況畫(huà)出圖形分別進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)（2）列方程解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵三角形的面積是6∴解得∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，（2）作于點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，綜上可知，（3）當(dāng)時(shí)，或，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或13．（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，A點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積是4．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)C是y軸正半軸點(diǎn)A上方一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），C點(diǎn)坐標(biāo)，連接，點(diǎn)E是x軸正半軸上一點(diǎn)，且，連接．①如圖2，若三角形的面積是8，求m的值；②如圖3，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)F與點(diǎn)B，點(diǎn)O不重合），連接，，當(dāng)四邊形的面積與三角形的面積相等時(shí)，用只含有m的代數(shù)式表示三角形的面積，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)與幾何綜合【分析】（1）首先得到，然后根據(jù)三角形的面積是4得到，即可求解；（2）①首先得到，然后表示出，然后根據(jù)三角形的面積是8得到，即可求解；②設(shè)，則，，然后根據(jù)題意得到，代入得到，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)，∴∵三角形的面積是4．∴∴∴；（2）解：①∵點(diǎn)C是y軸正半軸點(diǎn)A上方一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），C點(diǎn)坐標(biāo)，∴∴∴∴∵三角形的面積是8∴，即∴；②∵點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)F與點(diǎn)B，點(diǎn)O不重合），∴設(shè)∴，∵四邊形的面積與三角形的面積相等∴∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和幾何綜合，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．14．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．(1)的長(zhǎng)為_(kāi)__________，點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)5，(2)(3)或(4)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與幾何綜合、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者A