《全稱量詞命題和存在量詞命題的否定》同步學(xué)案(學(xué)生版)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的含義。2.能正確地對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定。3.掌握含有一個(gè)量詞的命題的否定的真假判斷方法。二、知識(shí)梳理1.全稱量詞命題的否定一般地，全稱量詞命題“$forallxinM$，$p(x)$”的否定是存在量詞命題“$existsxinM$，$negp(x)$”。例如，全稱量詞命題“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“存在一個(gè)矩形不是平行四邊形”。2.存在量詞命題的否定一般地，存在量詞命題“$existsxinM$，$p(x)$”的否定是全稱量詞命題“$forallxinM$，$negp(x)$”。例如，存在量詞命題“存在一個(gè)實(shí)數(shù)$x$，使$x^2+1=0$”的否定是“對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+1neq0$”。三、基礎(chǔ)練習(xí)1.命題“$forallxinR$，$x^2geq0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$x^2lt0$B.$existsxinR$，$x^2geq0$C.$existsxinR$，$x^2lt0$D.$forallxinR$，$x^2leq0$答案：C分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$x^2geq0$”的否定是“$existsxinR$，$x^2lt0$”。2.命題“$existsxinZ$，$x^2+2x+mleq0$”的否定是（）A.$forallxinZ$，$x^2+2x+mgt0$B.$forallxinZ$，$x^2+2x+mgeq0$C.$existsxinZ$，$x^2+2x+mgt0$D.$existsxinZ$，$x^2+2x+mgeq0$答案：A分析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“$exists$”改為“$forall$”，并否定結(jié)論，所以“$existsxinZ$，$x^2+2x+mleq0$”的否定是“$forallxinZ$，$x^2+2x+mgt0$”。3.命題“任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)”的否定是（）A.任意一個(gè)自然數(shù)都不是正整數(shù)B.至少存在一個(gè)自然數(shù)不是正整數(shù)C.至少存在一個(gè)自然數(shù)是正整數(shù)D.所有的自然數(shù)都不是正整數(shù)答案：B分析：全稱量詞命題“任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)”的否定是存在量詞命題“至少存在一個(gè)自然數(shù)不是正整數(shù)”。4.命題“存在實(shí)數(shù)$x$，使$xgt1$”的否定是（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$xgt1$B.不存在實(shí)數(shù)$x$，使$xleq1$C.對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$xleq1$D.存在實(shí)數(shù)$x$，使$xleq1$答案：C分析：存在量詞命題“存在實(shí)數(shù)$x$，使$xgt1$”的否定是全稱量詞命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$xleq1$”。5.命題“$forallxinR$，$|x|+x^2geq0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$|x|+x^2lt0$B.$forallxinR$，$|x|+x^2leq0$C.$existsxinR$，$|x|+x^2lt0$D.$existsxinR$，$|x|+x^2geq0$答案：C分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$|x|+x^2geq0$”的否定是“$existsxinR$，$|x|+x^2lt0$”。四、能力提升6.已知命題$p$：$forallxinR$，$x^2x+frac{1}{4}geq0$，則$negp$是（）A.$existsxinR$，$x^2x+frac{1}{4}lt0$B.$forallxinR$，$x^2x+frac{1}{4}leq0$C.$existsxinR$，$x^2x+frac{1}{4}geq0$D.$forallxinR$，$x^2x+frac{1}{4}lt0$答案：A分析：全稱量詞命題$p$：“$forallxinR$，$x^2x+frac{1}{4}geq0$”的否定$negp$是存在量詞命題“$existsxinR$，$x^2x+frac{1}{4}lt0$”。7.命題“$existsxinR$，$x^2+2x+3=0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$x^2+2x+3neq0$B.$forallxinR$，$x^2+2x+3=0$C.$existsxinR$，$x^2+2x+3neq0$D.$existsxinR$，$x^2+2x+3gt0$答案：A分析：存在量詞命題“$existsxinR$，$x^2+2x+3=0$”的否定是全稱量詞命題“$forallxinR$，$x^2+2x+3neq0$”。8.若命題“$existsxinR$，使得$x^2+(a1)x+1lt0$”是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(1,3)$B.$[1,3]$C.$(infty,1)cup(3,+infty)$D.$(infty,1]cup[3,+infty)$答案：C分析：因?yàn)槊}“$existsxinR$，使得$x^2+(a1)x+1lt0$”是真命題，所以其否定“$forallxinR$，$x^2+(a1)x+1geq0$”是假命題。對(duì)于二次函數(shù)$y=x^2+(a1)x+1$，要使其存在小于$0$的值，則判別式$Delta=(a1)^24gt0$，即$(a1+2)(a12)gt0$，$(a+1)(a3)gt0$，解得$alt1$或$agt3$。9.已知命題$p$：$forallxin[0,1]$，$ageqe^x$；命題$q$：$existsxinR$，使得$x^2+4x+a=0$。若命題“$pwedgeq$”是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$[e,4]$B.$(infty,e]$C.$[4,+infty)$D.$(infty,4]$答案：A分析：對(duì)于命題$p$：$forallxin[0,1]$，$ageqe^x$，因?yàn)?y=e^x$在$[0,1]$上單調(diào)遞增，所以$e^x$的最大值為$e^1=e$，則$ageqe$；對(duì)于命題$q$：$existsxinR$，使得$x^2+4x+a=0$，則判別式$Delta=4^24ageq0$，解得$aleq4$。因?yàn)槊}“$pwedgeq$”是真命題，所以$p$，$q$都為真命題，所以$eleqaleq4$。10.命題“$forallxinR$，$x^3x^2+1leq0$”的否定是（）A.$existsxinR$，$x^3x^2+1gt0$B.$forallxinR$，$x^3x^2+1gt0$C.$existsxinR$，$x^3x^2+1geq0$D.$forallxinR$，$x^3x^2+1geq0$答案：A分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$x^3x^2+1leq0$”的否定是“$existsxinR$，$x^3x^2+1gt0$”。五、拓展延伸11.已知命題$p$：$existsxinR$，$mx^2+1leq0$，命題$q$：$forallxinR$，$x^2+mx+1gt0$。若$pveeq$為假命題，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$mgeq2$B.$mleq2$C.$mleq2$或$mgeq2$D.$2leqmleq2$答案：A分析：因?yàn)?pveeq$為假命題，所以$p$，$q$都是假命題。對(duì)于命題$p$：$existsxinR$，$mx^2+1leq0$為假命題，則其否定“$forallxinR$，$mx^2+1gt0$”為真命題，當(dāng)$m=0$時(shí)，$1gt0$恒成立；當(dāng)$mneq0$時(shí)，需滿足$begin{cases}mgt0Delta=04mlt0end{cases}$，解得$mgt0$，所以$mgeq0$。對(duì)于命題$q$：$forallxinR$，$x^2+mx+1gt0$為假命題，則其否定“$existsxinR$，$x^2+mx+1leq0$”為真命題，所以判別式$Delta=m^24geq0$，解得$mleq2$或$mgeq2$。綜合可得$mgeq2$。12.已知命題$p$：“$forallxin[1,2]$，$x^2ageq0$”，命題$q$：“$existsxinR$，使$x^2+2ax+2a=0$”，若命題“$p$且$q$”是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.${a|aleq2或a=1}$B.${a|ageq1}$C.${a|aleq2或1leqaleq2}$D.${a|2leqaleq1}$答案：A分析：對(duì)于命題$p$：“$forallxin[1,2]$，$x^2ageq0$”，即$aleqx^2$在$[1,2]$上恒成立，所以$aleq(x^2)_{min}=1$。對(duì)于命題$q$：“$existsxinR$，使$x^2+2ax+2a=0$”，則判別式$Delta=(2a)^24(2a)geq0$，即$4a^2+4a8geq0$，$a^2+a2geq0$，$(a+2)(a1)geq0$，解得$aleq2$或$ageq1$。因?yàn)槊}“$p$且$q$”是真命題，所以$p$，$q$都為真命題，所以$aleq2$或$a=1$。13.已知命題$p$：$existsxinR$，$mx^2+2leq0$；命題$q$：$forallxinR$，$x^22mx+1gt0$。若$pveeq$為假命題，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$[1,+infty)$B.$(infty,1]$C.$(infty,2]$D.$[1,1]$答案：A分析：因?yàn)?pveeq$為假命題，所以$p$，$q$都是假命題。對(duì)于命題$p$：$existsxinR$，$mx^2+2leq0$為假命題，則其否定“$forallxinR$，$mx^2+2gt0$”為真命題，當(dāng)$m=0$時(shí)，$2gt0$恒成立；當(dāng)$mneq0$時(shí)，需滿足$begin{cases}mgt0Delta=08mlt0end{cases}$，解得$mgt0$，所以$mgeq0$。對(duì)于命題$q$：$forallxinR$，$x^22mx+1gt0$為假命題，則其否定“$existsxinR$，$x^22mx+1leq0$”為真命題，所以判別式$Delta=(2m)^24geq0$，即$4m^24geq0$，$m^21geq0$，$(m+1)(m1)geq0$，解得$mleq1$或$mgeq1$。綜合可得$mgeq1$。14.已知命題$p$：$forallxinR$，$x^2+2x+ageq0$，命題$q$：$existsxinleft{xmid0leqxleqfrac{1}{2}right}$，$x^2a=0$。若命題$p$和命題$q$中有且只有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(infty,1)cupleft(frac{1}{4},+inftyright)$B.$[1,+infty)$C.$left(infty,frac{1}{4}right)$D.$left[frac{1}{4},1right)$答案：A分析：對(duì)于命題$p$：$forallxinR$，$x^2+2x+ageq0$，則判別式$Delta=2^24aleq0$，解得$ageq1$。對(duì)于命題$q$：$existsxinleft{xmid0leqxleqfrac{1}{2}right}$，$x^2a=0$，即$a=x^2$在$left[0,frac{1}{2}right]$上有解，所以$0leqaleqfrac{1}{4}$。當(dāng)$p$真$q$假時(shí)，$begin{cases}ageq1alt0或agtfrac{1}{4}end{cases}$，解得$ageq1$；當(dāng)$p$假$q$真時(shí)，$begin{cases}alt10leqaleqfrac{1}{4}end{cases}$，解得$0leqaleqfrac{1}{4}$。綜上，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(infty,1)cupleft(frac{1}{4},+inftyright)$。15.已知命題$p$：$forallxinR$，$ax^2+2x+3gt0$，如果命題$negp$是真命題，那么實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$altfrac{1}{3}$B.$0ltaleqfrac{1}{3}$C.$aleqfrac{1}{3}$D.$ageqfrac{1}{3}$答案：C分析：因?yàn)槊}$negp$是真命題，所以命題$p$是假命題。當(dāng)$a=0$時(shí)，$2x+3gt0$不恒成立；當(dāng)$aneq0$時(shí)，要使$ax^2+2x+3gt0$不恒成立，則需滿足$begin{cases}alt0Delta=2^24timesatimes3gt0end{cases}$或$begin{cases}agt0Delta=2^24timesatimes3geq0end{cases}$，解$begin{cases}alt0412agt0end{cases}$得$alt0$，解$begin{cases}agt0412ageq0end{cases}$得$0ltaleqfrac{1}{3}$，綜上$aleqfrac{1}{3}$。六、鞏固練習(xí)16.命題“$forallxinR$，$x^22x+1geq0$”的否定是（）A.$existsxinR$，$x^22x+1lt0$B.$forallxinR$，$x^22x+1leq0$C.$existsxinR$，$x^22x+1geq0$D.$forallxinR$，$x^22x+1lt0$答案：A分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$x^22x+1geq0$”的否定是“$existsxinR$，$x^22x+1lt0$”。17.命題“$existsxin(0,+infty)$，$lnx=x1$”的否定是（）A.$forallxin(0,+infty)$，$lnxneqx1$B.$forallxnotin(0,+infty)$，$lnx=x1$C.$existsxin(0,+infty)$，$lnxneqx1$D.$existsxnotin(0,+infty)$，$lnx=x1$答案：A分析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“$exists$”改為“$forall$”，并否定結(jié)論，所以“$existsxin(0,+infty)$，$lnx=x1$”的否定是“$forallxin(0,+infty)$，$lnxneqx1$”。18.命題“有些三角形是等腰三角形”的否定是（）A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等邊三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形答案：C分析：存在量詞命題“有些三角形是等腰三角形”的否定是全稱量詞命題“所有三角形不是等腰三角形”。19.命題“$existsxinR$，$x^2+2x+2leq0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$x^2+2x+2gt0$B.$forallxinR$，$x^2+2x+2leq0$C.$existsxinR$，$x^2+2x+2gt0$D.$existsxinR$，$x^2+2x+2geq0$答案：A分析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“$exists$”改為“$forall$”，并否定結(jié)論，所以“$existsxinR$，$x^2+2x+2leq0$”的否定是“$forallxinR$，$x^2+2x+2gt0$”。20.命題“$forallxinR$，$|x|+x^2geq0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$|x|+x^2lt0$B.$forallxinR$，$|x|+x^2leq0$C.$existsxinR$，$|x|+x^2lt0$D.$existsxinR$，$|x|+x^2geq0$答案：C分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$|x|+x^2geq0$”的否定是“$existsxinR$，$|x|+x^2lt0$”。七、綜合應(yīng)用21.已知命題$p$：$forallxinR$，$ax^2+2x+3gt0$，若命題$p$為假命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$altfrac{1}{3}$B.$0ltaleqfrac{1}{3}$C.$aleqfrac{1}{3}$D.$ageqfrac{1}{3}$答案：C分析：因?yàn)槊}$p$為假命題，所以其否定“$existsxinR$，$ax^2+2x+3leq0$”為真命題。當(dāng)$a=0$時(shí)，$2x+3leq0$有解；當(dāng)$aneq0$時(shí)，需滿足$begin{cases}alt0Delta=2^24timesatimes3geq0end{cases}$或$begin{cases}agt0Delta=2^24timesatimes3geq0end{cases}$，解$begin{cases}alt0412ageq0end{cases}$得$alt0$，解$begin{cases}agt0412ageq0end{cases}$得$0ltaleqfrac{1}{3}$，綜上$aleqfrac{1}{3}$。22.已知命題$p$：$existsxinR$，$x^2+2ax+aleq0$。若命題$p$是假命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(infty,0)cup(1,+infty)$C.$[0,1]$D.$(infty,0]cup[1,+infty)$答案：A分析：因?yàn)槊}$p$是假命題，所以其否定“$forallxinR$，$x^2+2ax+agt0$”是真命題。對(duì)于二次函數(shù)$y=x^2+2ax+a$，要使其恒大于$0$，則判別式$Delta=(2a)^24alt0$，即$4a^24alt0$，$a(a1)lt0$，解得$0ltalt1$。23.已知命題$p$：$forallxin[1,2]$，$x^2ageq0$，命題$q$：$existsxinR$，$x^2+2ax+2a=0$。若命題“$pwedgeq$”是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(infty,2]$B.$(infty,2]cup{1}$C.$[1,+infty)$D.$[2,1]$答案：B分析：對(duì)于命題$p$：$forallxin[1,2]$，$x^2ageq0$，即$aleqx^2$在$[1,2]$上恒成立，所以$aleq(x^2)_{min}=1$。對(duì)于命題$q$：$existsxinR$，$x^2+2ax+2a=0$，則判別式$Delta=(2a)^24(2a)geq0$，即$4a^2+4a8geq0$，$a^2+a2geq0$，$(a+2)(a1)geq0$，解得$aleq2$或$ageq1$。因?yàn)槊}“$pwedgeq$”是真命題，所以$p$，$q$都為真命題，所以$aleq2$或$a=1$。24.已知命題$p$：$forallxinR$，$x^2+(a1)x+1geq0$，命題$q$：$existsxinR$，$ax^22ax3gt0$。若$p$假$q$真，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解：對(duì)于命題$p$：因?yàn)?p$為假命題，所以其否定“$existsxinR$，$x^2+(a1)x+1lt0$”為真命題，所以判別式$Delta=(a1)^24gt0$，即$(a1+2)(a12)gt0$，$(a+1)(a3)gt0$，解得$alt1$或$agt3$。對(duì)于命題$q$：當(dāng)$a=0$時(shí)，$3gt0$不成立；當(dāng)$agt0$時(shí)，二次函數(shù)$y=ax^22ax3$的圖象開口向上，一定存在$x$使得$ax^22ax3gt0$；當(dāng)$alt0$時(shí)，要使$existsxinR$，$ax^22ax3gt0$，則判別式$Delta=(2a)^24atimes(3)gt0$，即$4a^2+12agt0$，$4a(a+3)gt0$，解得$alt3$或$agt0$（舍去）。綜上，取交集得$alt3$或$agt3$。25.已知命題$p$：$forallxinR$，$mx^2+2geq0$；命題$q$：$existsxinR$，$x^2+2mx+1leq0$。若$pveeq$為假命題，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。解：因?yàn)?pveeq$為假命題，所以$p$，$q$都是假命題。對(duì)于命題$p$：“$forallxinR$，$mx^2+2geq0$”為假命題，則其否定“$existsxinR$，$mx^2+2lt0$”為真命題。當(dāng)$m=0$時(shí)，$2geq0$恒成立，不符合；當(dāng)$mgt0$時(shí)，$mx^2+2geq2gt0$恒成立，不符合；當(dāng)$mlt0$時(shí)，符合。對(duì)于命題$q$：“$existsxinR$，$x^2+2mx+1leq0$”為假命題，則其否定“$forallxinR$，$x^2+2mx+1gt0$”為真命題，所以判別式$Delta=(2m)^24lt0$，即$4m^24lt0$，$m^21lt0$，$(m+1)(m1)lt0$，解得$1ltmlt1$。綜上，取交集得$1ltmlt0$。八、課后作業(yè)26.命題“$forallxinR$，$x^2x+1gt0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$x^2x+1leq0$B.$existsxinR$，$x^2x+1leq0$C.$existsxinR$，$x^2x+1gt0$D.$forallxinR$，$x^2x+1lt0$答案：B分析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，將“$forall$”改為“$exists$”，并否定結(jié)論，所以“$forallxinR$，$x^2x+1gt0$”的否定是“$existsxinR$，$x^2x+1leq0$”。27.命題“$existsxinR$，$x^2+2x+3=0$”的否定是（）A.$forallxinR$，$x^2+2x+3neq0$B.$forallxinR$，$x^2+2x+3=0$C.$existsxinR$，$x^2+2x+3neq0$D.$existsxinR$，$x^2+2x+3gt0$答案：A分析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“$exists$”改為“$forall$”，并否定結(jié)論，所以“$existsxinR$，$x^2+2x+3=0$”的否定是“$forallxinR$，$x^2+2x+3neq0$”。28.命題“所有能被$2$整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是（）A.所有不能被$2$整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被$2$整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個(gè)不能被$2$整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個(gè)能被$2$整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案：D分析：全稱量詞命題“所有能被$2$整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是存在量詞命題“存在一個(gè)能被$2$整除的整數(shù)不是偶數(shù)”。29.命題“存在實(shí)數(shù)$x$，使$x^2+2x+3lt0$”的否定是（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+2x+3lt0$B.不存在實(shí)數(shù)$x$，使$x^2+2x+3geq0$C.對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+2x+3geq0$D.存在實(shí)數(shù)$x$，使$x^2+2x+3geq0$答案：C分析：存在量詞命題“存在實(shí)數(shù)$x$，使$x^2+2x+3lt0$”的否定是全稱量詞命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2+2x+3geq0$”。30.已知命題$p$：$forallxinR$，$x^22x+ageq0$，若$negp$是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$alt1$B.$aleq1$C.$agt1$D.$ageq1$答案：A分析：因?yàn)?negp$是真命題，所以$p$是假命題。對(duì)于命題$p$：$forallxinR$，$x^22x+ageq0$，其否定“$existsxinR$，$x^22x+alt0$”為真命題。對(duì)于二次函數(shù)$y=x^22x+a$，要使其存在小于$0$的值，則判別式$Delta=(2)^24agt0$，即$44agt0$，解得$alt1$。31.已知命題$p$：$existsxinR$，$x^2+2ax+aleq0$。若命題$p$是假命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(infty,0)cup(1,+infty)$C.$[0,1]$D.$(infty,0]cup[1,+infty)$答案：A分析：因?yàn)槊}$p$是假命題，所以其否定“$forallxinR$，$x^2+2ax+agt0$”是真命題。對(duì)于二次函數(shù)$y=x^2+2ax+a$，要使其恒大于$0$，則判別式$Delta=(2a)^24alt0$，即$4a^24alt0$，$a(a1)lt0$，解得$0ltalt1$。32.已知命題$p$：$forallxin[0,1]$，$ageqe^x$；命題$q$：$existsxinR$，使得$x^2+4x+a=0$。若命題“$pwedgeq$”是真命題，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$[e,4]$B.$(infty,e]$C.$[4,+infty)$D.$(infty,4]$答案：A分析：對(duì)于命題$p$：$forallxin[0,1]$，$ageqe^x$，因?yàn)?y=e^x$在$[0,1]$上單調(diào)遞增，所以$e^x$的最大值為$e^1=e$，則$ageqe$；對(duì)于命題$q$：$existsxinR$，使得$x^2+4x+a=0$，則判別式$Delta=4^24ageq0$，解得$aleq4$。因?yàn)槊}“$pwedgeq$”是真命題，所以$p$，$q$都為真命題，所以$eleqaleq4$。33.