江蘇省如皋市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編章節(jié)測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm2、小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當它把繩子的下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．9m3、下列各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，54、為⊙外一點，與⊙相切于點，，，則的長為（

）A． B． C． D．5、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．66、如圖，已知點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是()A．48 B．60C．76 D．807、如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．2、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．3、如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長為_______4、如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號）．5、如圖，點在正方形的邊上，若，，那么正方形的面積為_．6、某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的是樣子離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動，將梯子斜塞在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全道的寬BE為__________m．7、如圖，在中，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，過點作，垂足為，若，，則的長為__．8、云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點E在上，．一名滑雪愛好者從點A滑到點E，他滑行的最短路線長為_________m．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖所示的一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積．2、如圖，將RtABC紙片沿AD折疊，使直角頂點C與AB邊上的點E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求線段BD的長．3、如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=10cm，D是腰AC上一點，且CD=6cm，BD=8cm．(1)判斷△BCD的形狀，并說明理由；(2)求△ABC的周長．4、小明爸爸給小明出了一道題：如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．已知A，B，C在同一條直線上，為了在小山的兩側(cè)B，C同時施工，過點B作一直線m（在山的旁邊經(jīng)過），過點C作一直線l與m相交于D點，經(jīng)測量，，米，米．若施工隊每天挖100米，求施工隊幾天能挖完？5、在尋找某墜毀飛機的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標A前進，同時，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時的速度向著目標B出發(fā)，1.5小時后，他們同時分別到達目標A、B．此時，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6、我市《道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測點A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車速檢測點A相距50m的B處．請問這輛小汽車超速了嗎？若超速，請求出超速了多少？7、如圖，將一個長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，已知AB=4，BC=2，求折疊后重合部分的面積．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】畫出圖形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．2、B【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【詳解】如圖所示：設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故選B．【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的基本思路是是畫出示意圖，利用勾股定理列方程求解．3、D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，看較小的兩邊的平方和是否等于最大的邊的平方即可進行判斷.【詳解】A、42+72≠82，故不能構(gòu)成直角三角形；B、22+22≠22，故不能構(gòu)成直角三角形；C、2+2=4，故不能構(gòu)成三角形，不能構(gòu)成直角三角形；D、52+122=132，故能構(gòu)成直角三角形，故選D．【考點】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即若三角形的三邊符合a2+b2=c2，則此三角形是直角三角形．4、A【解析】【分析】連接OT，根據(jù)切線的性質(zhì)求出求，結(jié)合利用含的直角三角形的性質(zhì)求出OT，再利用勾股定理求得PT的長度即可．【詳解】解：連接OT，如下圖．∵與⊙相切于點，∴．∵，，∴，∴．故選：A．【考點】本題考查了切線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OT的長度是解答關(guān)鍵．5、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．6、C【解析】【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選：C.7、A【解析】【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【考點】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題1、15【解析】【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面積=49-8-12-14=15（cm2）；故答案為：15．【考點】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積．2、5【解析】【分析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運用勾股定理計算出DE的長.【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點】本題主要考查到運用勾股定理求長度，說明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.3、13【解析】【分析】先根據(jù)△BCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，根據(jù)△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的長．【詳解】∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，∴BC=5．∵CD=17，∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12．∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD=12．在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC13．故答案為13．【考點】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【考點】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．5、．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：由勾股定理得，，正方形的面積，故答案為．【考點】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．6、2.7【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，同理可得出AB的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案為2.7．【考點】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．7、【解析】【分析】過作，為垂足，通過已知條件可以求得，，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過作，為垂足，，又，，又，，在與中，，，，∴，在中，，設(shè)，則由勾股定理可得即解得故答案為．【考點】此題主要考查了三角形全等的證明方法和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，利用已知條件合理構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．8、【解析】【分析】根據(jù)題意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，線段AE即為滑行的最短路線長．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，線段AE即為滑行的最短路線長．在Tt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝（m）．故答案為：【考點】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾股定理求最短距離．三、解答題1、【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定為直角三角形，從而不難求得這塊地的面積．【詳解】解：連接．，，為直角三角形，，這塊地的面積．【考點】本題考查了學生對勾股定理及其逆定理的理解及運用能力，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的知識．2、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，，，設(shè)，列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，則，，，設(shè)，則，∴解方程得：因此，的長為所以，【考點】本題考查的知識點是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．3、(1)△BDC為直角三角形，理由見解析；(2)△ABC的周長為=cm．【解析】【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形；（2）由此可求出AC的長，周長即可求出．(1)解：△BDC為直角三角形，理由如下，∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而102=62+82，∴BC2=BD2+CD2．∴△BDC為直角三角形；(2)解：設(shè)AB=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC=x，則AD=x-6，∵AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，∴x=，∴△ABC的周長=2AB+BC=（cm）．【考點】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用解答．4、施工隊6天能挖完．【解析】【分析】根據(jù)題意可得∠BCD＝90°，再利用勾股定理得出BC，繼而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵米，米，∴（米）故（天）答：施工隊6天能挖完．【考點】本題考查外角的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得∠BCD＝90°．5、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根據(jù)題意求出OA、OB，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：OA＝16海里/時×1.5小時＝24海里；OB＝12海里/時×1.5小時＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方