§5.5復(fù)數(shù)課標要求1.通過方程的解，認識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中是復(fù)數(shù)的實部，是復(fù)數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)復(fù)數(shù)實數(shù)(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?(a，b，c，d∈R).

(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di互為共軛復(fù)數(shù)?(a，b，c，d∈R).

(5)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作或，即|z|=|a+bi|=(a，b∈R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

；

②減法：z1z2=(a+bi)(c+di)=

；

③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=

；

④除法：z1z2=a+bic+di=(a+b(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即OZ=，Z1Z21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(2)原點是實軸與虛軸的交點.()(3)已知z=a+bi(a，b∈R)，當a=0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()2.(2024·新課標全國Ⅱ)已知z=1i，則|z|等于()A.0 B.1C.2 D.23.已知復(fù)數(shù)z=i3(1+i)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.復(fù)數(shù)5i-2的共軛復(fù)數(shù)是1.熟記與復(fù)數(shù)有關(guān)的常用結(jié)論(1)(1±i)2=±2i；1+i1-i=i；1-i1+i=(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=1，i4n+3=i(n∈N*).(3)z·z=|z|2=|z|2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，z1z2=|z1||z2(4)r1≤|z|≤r2表示以原點O為圓心，以r1和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；|z(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.2.謹防兩個易誤點(1)利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.(2)兩個不全為實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小.題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)(2024·白山模擬)復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3，則z的虛部為()A.2iB.B2i C.2D.D2(2)(2024·銀川模擬)已知復(fù)數(shù)z=m21+(m+i2)·i(m∈R)表示純虛數(shù)，則m等于()A.1B.B1 C.1或1 D.2(3)(2025·晉中模擬)已知復(fù)數(shù)z=12i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的根，則|a+bi|等于()A.5 B.4 C.21 D.29思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的常用方法(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實部為a，虛部為b.(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件：①z=a+bi∈R?b=0(a，b∈R)；②z∈R?z=z；③z∈R?z2≥0.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a，b∈R)；②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2<0.(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=abi，則z·z=|z|2=|z|2，即|z|=|z|=z·z跟蹤訓練1(1)(2024·海口模擬)下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是()A.復(fù)數(shù)i是最小的純虛數(shù)B.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有1，1，i和i四個C.i與i是一對共軛復(fù)數(shù)D.虛軸上的點都表示純虛數(shù)(2)(2025·南通模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i，則|z|等于()A.32 B.5 C.5 D.(3)已知復(fù)數(shù)z滿足4z(1+z)=15+8i，則z的實部為.

題型二復(fù)數(shù)的四則運算例2(1)(2024·新課標全國Ⅰ)若zz-1=1+i，則z等于(A.1i B.1+iC.1i D.1+i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+2i2-i2025，則z等于(A.1B.B1C.iCD.iD(3)(2024·南陽模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z-3z-i=2i，則z·z思維升華復(fù)數(shù)四則運算問題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進行復(fù)數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式，這里的分母實數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化跟蹤訓練2(1)(2023·新高考全國Ⅰ)已知z=1-i2+2i，則zz等于(A.iB.iB.i C.0 D.1(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為(2，1)，則z+iz-1(3)已知i為虛數(shù)單位，則i+i2+i3+…+i2025=.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3(1)(2024·西寧模擬)已知復(fù)數(shù)z=(a1)2ai(a∈R)，且|z|=5，若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則a等于()A.2 B.125 C.2 D.(2)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，且|zi|=|z+2i|，則|z3+3i|的最小值為()A.5 B.4 C.3 D.2思維升華復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量OZ相互聯(lián)系、一一對應(yīng)，即z=a+bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ.(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.跟蹤訓練3(1)(2025·南充模擬)當1<m<2時，復(fù)數(shù)m1+(m2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z2|=1，則|zi|的最小值為()A.1 B.51 C.5+1 D.3答案精析落實主干知識1.(1)ab(2)=≠=(3)a=c且b=d(4)a=c，b=d(5)|z||a+bi|a3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(ac)+(bd)i③(acbd)+(ad+bc)i④ac+bdc2+d2+OZ自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.C3.D4.2+i探究核心題型例1(1)D[由z=i+2i2+3i3可得z=22i，故z的虛部為2.](2)B[因為z=m21+(m+i2)·i=m21+(m1)·i，若復(fù)數(shù)z表示純虛數(shù)，則m2-1=0，m-1≠(3)D[由題意得，z=1+2i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的一個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得1+2i+12i=a，(1+2i)(12i)=b，故a=2，b=14i2=1+4=5，故|a+bi|=|2+5i|=4+25=29.]跟蹤訓練1(1)C[虛數(shù)不能比大小，故A錯誤；對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，但凡滿足a2+b2=1，其模均為1，顯然不僅四個，比如a=12，b=32時，|z|=1，故B錯誤；由共軛復(fù)數(shù)的定義可知C正確；原點(0，0)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯誤(2)C[設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，則z2=a2b2+2abi，又z2=3+4i，所以a解得a=1，則z=1+2i或z=12i，所以|z|=1+4=5.](3)1解析設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，則z=abi，由4z(1+z)=15+8i，得4(abi)+4(a2+b2)=15+8i，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得4解得a故z的實部為12例2(1)C[因為zz-1=1+1z-1所以z=1+1i=1i.(2)C[∵1+2i2-i==5i5=i∴z=i2025=i4×506+1=i.](3)5解析因為z-3z所以z3=2i(zi)=2+2iz，所以z=51-2i==1+2i，所以z=12i，則z·z=(1+2i)(12i)=5.跟蹤訓練2(1)A[因為z=1-i2+2i==-2i4=12所以z=12i，即zz=i.(2)2i解析由題意得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為(2，1)，故z=2i，z=2+i，故z+iz-1==2(1+i)2(1-i)(1+i)=(3)i解析i+i2+i3+i4=0，則i+i2+i3+…+i2025=506×0+i=i.例3(1)A[由題意|z|=(a-1得5a22a24=0，解得a=2或a=125因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，所以a-1<0，-2a>0，故a<0(2)B[方法一由|zi|=|z+2i|，得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到點(0，1)與點(2，1)的距離相等，則點Z在直線x=1上.|z3+3i|表示點Z與點(3，3)的距離，過點(3，3)作直線x=1的垂線，垂足為P(圖略)，當點Z與點P重合時，|z3+3i|取得最小值4.方法二因為z=a+bi(a，b∈R)，則zi=a+(b1)i，z+2i=(a+2)+(b1)i，由|zi|=|z+2i|，可得a=(a解得a=1，則z=1+bi，所以z3+3i=4+(b+3)i，因此|z3+3i|=(-4)2+(當且僅當b=3時，等號成立，