進(jìn)階篇圓錐曲線中的綜合問(wèn)題進(jìn)階1橢圓、雙曲線中的常見(jiàn)結(jié)論及應(yīng)用重點(diǎn)解讀橢圓、雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式、法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問(wèn)題便能迎刃而解.題型一焦半徑公式(第二定義)例1(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x236+y220=1的左、右焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則(2)雙曲線x2y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足|PF1|=5，則△PF1F2的面積為思維升華(1)如圖1，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓上任意點(diǎn)，則橢圓的焦半徑|PF1|①|(zhì)PF1|=a+ex0；②|PF2|=aex0(記憶：左加右減).(2)如圖2，雙曲線x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦半徑|PF1|①|(zhì)PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0a|(記憶：左加右減).跟蹤訓(xùn)練1(1)雙曲線x22y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足|PF1|=3|PF2|，則點(diǎn)(2)橢圓x26+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2圓錐曲線的角度式焦半徑公式設(shè)P是圓錐曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為它的一個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠PFO＝θ，(1)橢圓：|PF|＝b2(2)雙曲線：|PF|＝b2記憶規(guī)律：同正異負(fù).即當(dāng)P與F位于虛軸的同側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù).(3)拋物線：|PF|＝p1典例設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：5x2－4y2＝m2的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且滿足AF2＝7F2B，則直線l題型二垂徑定理(第三定義)例2已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB和OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為kAB，kOM，求證：kAB思維升華(1)橢圓中的垂徑定理(2)雙曲線中的垂徑定理(3)垂徑定理也可以描述為：設(shè)點(diǎn)M是有心圓錐曲線x2m+y2n=1(m>0，n>0，或mn<0)中與坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)中心O的弦AB的中點(diǎn)，則kAB·k(4)若點(diǎn)M是有心圓錐曲線的弦AB的中點(diǎn)，其中AB與坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)中心O，且將圓看作是離心率e=0的特殊的橢圓，則有kAB·kOM=e21.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知雙曲線C：x2y2=2025的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且∠APB=4∠PAB，則∠PAB=.(2)已知A，B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|+|k2|題型三焦點(diǎn)三角形例3(多選)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是圓錐曲線的焦點(diǎn)，A，B為橢圓中過(guò)點(diǎn)F2的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A.橢圓中△ABF1的周長(zhǎng)為4aB.橢圓中當(dāng)A為短軸的端點(diǎn)時(shí)，∠F1AF2最大C.橢圓中S△AD.雙曲線中S△P思維升華橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形離心率設(shè)P是圓錐曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，且P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)不共線，記∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ，則橢圓的離心率為e＝2c雙曲線的離心率為e＝2c跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=12，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2=π3，已知△F1PF2的內(nèi)切圓的面積為A.2 B.4 C.6 D.12焦點(diǎn)弦三角形1.橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)公式F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則橢圓焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的周長(zhǎng)為4a.2.雙曲線焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)公式F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交雙曲線C同一支于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的周長(zhǎng)為4a＋2m.3.橢圓焦點(diǎn)弦三角形面積公式(1)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形△F1(2)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F4.雙曲線焦點(diǎn)弦三角形面積公式(1)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且傾斜角為θ的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形△F1(2)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F(3)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線C右支、左支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F5.拋物線焦點(diǎn)弦三角形面積公式設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l的傾斜角為θ，則焦點(diǎn)弦三角形△OAB的面積S△OAB＝p2答案精析常見(jiàn)結(jié)論及應(yīng)用例1(1)(3，15解析方法一△MF1F2為等腰三角形，點(diǎn)M在第一象限?|MF1|>|MF2|，且|MF2|<a=6，又|F1F2|=8，所以|MF2|≠|(zhì)F1F2|，故只能|MF1|=|F1F2|=8，設(shè)M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則(解得x所以M(3，15)方法二△MF1F2為等腰三角形，點(diǎn)M在第一象限?|MF1|>|MF2|，且|MF2|<a=6，又|F1F2|=8，所以|MF2|≠|(zhì)F1F2|，故只能|MF1|=|F1F2|=8，設(shè)M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，由橢圓焦半徑公式知|MF1|=6+23x0=8解得x0=3，代入橢圓方程得y0=15故M(3，15)(2)6或46解析方法一由題意得a=1，b=3，c=2，e=2設(shè)P(x0，y0)，則|PF1|=|2x0+1|=5，解得x0=2或x0=3，當(dāng)x0=2時(shí)，代入雙曲線方程可求得y0=±3，所以S△PF1F2=12·|F1F2當(dāng)x0=3時(shí)，代入雙曲線方程可求得y0=±26所以S△PF1F2=12·|F1F2|綜上所述，△PF1F2的面積為6或46.方法二由題意得a=1，b=3，c=2所以|F1F2|=4，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，由雙曲線定義可知|PF1||PF2|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=3，顯然PF2|2所以PF2⊥F1F2，從而S△PF1F2=12·|PF2|·|F1F2當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上時(shí)，由雙曲線定義可知|PF2||PF1|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=7，從而cos∠PF1F2=PF1所以sin∠PF1F2=1-cos2從而S△PF1F2=12·|PF1|·|F1F2|=12×5×4×265綜上所述，△PF1F2的面積為6或46.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2，±2)解析由題意得a=b=2，c=2，e=設(shè)P(x0，y0)，則|PF1|=|2x0+2|，|PF2|=|2x02|，因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，所以|2x0+2|=3|2x02|，解得x0=2或x0=1又|x0|≥2，所以x0=2代入雙曲線方程可求得y0=±2即P(2，±2).(2)[2，6]解析由題意得a=6，c=2，e=設(shè)P(x0，y0)，其中6≤x0≤6則|PF1|=6+63x0|PF2|=663x0所以|PF1|·|PF2|=623x02，取值范圍為[微拓展典例3或－3解析如圖，設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為連接MF2，過(guò)點(diǎn)M作右準(zhǔn)線x＝a2c的垂線MN，記∠MF2O＝則由雙曲線的第二定義知，MF2|整理得|MF2|＝b2由雙曲線C：5x2－4y2＝m2，得x2m2所以a2＝m25，b2＝m24，離心率由題設(shè)直線l的傾斜角為π－θ，由AF2＝7知|AF2|＝7|BF2|，所以b2ccosθ＋或b2ccos(π-θ)解得cosθ＝－34e或cosθ＝把e＝32代入，可求得θ＝120°或θ＝60°故直線l的斜率為3或－3.例2證明方法一如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則kAB=y2-y1x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，因?yàn)閤兩式作差得x12-x即y1-y2于是y1-y2所以kAB·kOM=b2方法二設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由y消去y得(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2a2b2=0，所以x1+x2=2于是y1+y2=k(x1+x2)+2m=2所以M-于是kOM=y0x0因此kAB·kOM=k·-b2k方法三令xa=x'，yb則x'2+y'2=1.原題設(shè)中的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分別對(duì)應(yīng)單位圓中的點(diǎn)A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是線段A'B'的中點(diǎn)，由圓的垂徑定理得kA'B'·kOM'=1，又因?yàn)閗AB＝y(tǒng)1-y2x1-x2＝所以kAB·kOM=ba·kA'B'·ba=b2a2·kA'B'·kOM'跟蹤訓(xùn)練2(1)π解析令∠PAB=α，則α∈0∠PBx=β，則β∈0則β=5α，所以α∈0由雙曲線的垂徑定理可知tanα·tanβ=tanα·tan5α=e21=1，則tanα=1tan5απ25α∈則α=π25α，故α=π(2)3解析如圖所示，連接MB，由橢圓的第三定義可知kAM·kBM=e21=b而kBM=kBN?k1k2=b則|k1|+|k2|≥2|k1|·|k2|=2ba=1?例3ABD[對(duì)于A，由橢圓的定義可知△ABF1的周長(zhǎng)為4a顯然成立，A正確；對(duì)于B，cos∠F1AF2=A=(=(2=2b2∵|AF1||AF2|≤AF1|+當(dāng)且僅當(dāng)|AF1|=|AF2|，即點(diǎn)A是短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，∴cos∠F1AF2=2b≥2b2又∵y=cosθ在(0，π)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1AF2最大，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B的推導(dǎo)過(guò)程得cos∠F1AF2=2b2∴|AF1||AF2|=2∴S△AF1F2=12|AF1||AF=12·2b21+c