中考試題吉林省2025年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷共6頁(yè)，包括三道大題，共22道小題．全卷滿(mǎn)分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意．每小題3分，共18分）1.如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)是1．若將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（）A. B. C.2 D.42.一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對(duì)面上的字為（）A.我 B.中 C.國(guó) D.夢(mèng)3.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.4.不等式的解集為（）A. B. C. D.5.如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后，能夠與它本身重合，則角的大小可以為（）A B. C. D.6.如圖，在中，．尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)畫(huà)射線(xiàn)交邊于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共15分）7.因式分解：______．8.計(jì)算：__．9.《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空：二人共車(chē)，九人步．問(wèn)車(chē)幾何？其譯文為：有若干人乘車(chē)，若每3人同乘一車(chē)，最終剩余2輛空車(chē)；若每2人同乘一車(chē)，最終剩下9人因無(wú)車(chē)可乘而步行．問(wèn)有多少輛車(chē)？為解決此問(wèn)題，設(shè)共有x輛車(chē)，可列方程為_(kāi)_______．10.如圖，正五邊形的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，則的大小為_(kāi)_______度．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為1的和．當(dāng)，分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接，，則陰影部分圖形的面積和為_(kāi)_______．（結(jié)果保留）三、解答題（本題共11小題，共87分）12.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．13.在“健康中國(guó)2030”與“體重管理年”行動(dòng)引領(lǐng)下，某校田徑社團(tuán)開(kāi)展了“2025健康長(zhǎng)跑”活動(dòng)．由于參加的人數(shù)較多，場(chǎng)地空間有限，活動(dòng)需分A，B，C三組進(jìn)行，每人只能被隨機(jī)分配到其中一組，分組工作由計(jì)算機(jī)軟件完成．請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求參與者小順和小利被分配到同一組的概率．14.吉林省長(zhǎng)白山盛產(chǎn)人參．為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價(jià)分別為每盒25元和20元．某游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元．求該游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．15.如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，連接，．（1）求證：．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．16.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（1）在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫(huà)出，使．（2）在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫(huà)出，使．17.端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來(lái)，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為合格；粽子質(zhì)量為克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個(gè)小組參加比賽，他們?cè)谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)分別包了220個(gè)和200個(gè)粽子．質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個(gè)參賽小組所包粽子中各隨機(jī)抽檢10個(gè)，分別對(duì)它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計(jì)參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個(gè)數(shù)據(jù)缺失，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級(jí)是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時(shí)間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀個(gè)數(shù)較多的小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)．估計(jì)甲、乙兩個(gè)參賽小組哪組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，并說(shuō)明理由．18.綜合與實(shí)踐：確定建筑物的打印模型的高度項(xiàng)目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹(shù)人中學(xué)的打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角．3．測(cè)出測(cè)角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．19.如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以為邊作正方形，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形與重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)______．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）當(dāng)正方形的對(duì)稱(chēng)中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．20.【知識(shí)鏈接】實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖①，在兩個(gè)完全相同的溢水杯中，分別盛滿(mǎn)甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個(gè)質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)A，B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過(guò)觀察彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計(jì)）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當(dāng)小鋁塊位于液面上方時(shí)，；當(dāng)小鋁塊浸入液面后，．【建立模型】在實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測(cè)力計(jì)A，B各自的示數(shù)與小鋁塊各自下降的高度之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，直接寫(xiě)出彈簧測(cè)力計(jì)A和彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，求彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)A懸掛的小鋁塊下降8cm時(shí)，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為，若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為，則乙液體中小鋁塊浸入的深度為，直接寫(xiě)出m，n的值．21.【問(wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個(gè)內(nèi)角為的平行四邊形的折疊問(wèn)題．其探究過(guò)程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在平行四邊形中，，，E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，且，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形是一個(gè)特殊的四邊形，請(qǐng)判斷該四邊形的形狀，不需要說(shuō)明理由．【探究證明】取圖①中的邊的中點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊上，且，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)H．連接，，如圖②．求證：四邊形是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形能否成為軸對(duì)稱(chēng)圖形．如果能，直接寫(xiě)出的值；如果不能，說(shuō)明理由．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線(xiàn)上，其橫坐標(biāo)為，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）求此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（2）被軸分成兩部分圖形的面積比是否保持不變．如果不變，直接寫(xiě)出這個(gè)面積比；如果變化，說(shuō)明理由．（3）當(dāng)?shù)倪吔?jīng)過(guò)此拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）當(dāng)此拋物線(xiàn)在內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而減小時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．吉林省2025年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷共6頁(yè)，包括三道大題，共22道小題．全卷滿(mǎn)分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意．每小題3分，共18分）1.如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)是1．若將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離計(jì)算，用點(diǎn)A表示的數(shù)減去移到的距離即可得到答案．【詳解】解；∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1．將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，故選：B．2.一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對(duì)面上的字為（）A.我 B.中 C.國(guó) D.夢(mèng)【答案】C【解析】【分析】本題考查了正方體表面展開(kāi)圖，根據(jù)特點(diǎn)作答即可．【詳解】A、“我”字一面的相對(duì)面上的字為“夢(mèng)”，不符合題意；B、“中”字一面的相對(duì)面上的字為“夢(mèng)”，不符合題意；C、“的”字一面的相對(duì)面上的字為“國(guó)”，不符合題意；D、“夢(mèng)”字一面的相對(duì)面上的字為“我”或“中”，不符合題意；故選：C．3.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了積的乘方運(yùn)算及冪的乘方運(yùn)算，熟練掌握積的乘方運(yùn)算及冪的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方法則及冪的乘方運(yùn)算，逐步計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：D．4.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題關(guān)鍵．解一元一次不等式，通過(guò)移項(xiàng)即可求解．【詳解】解：不等式為，移項(xiàng)，得：，不等式的解集為．故選：A．5.如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后，能夠與它本身重合，則角的大小可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求旋轉(zhuǎn)角，把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得，整個(gè)圖形由三個(gè)葉片組成，則相鄰葉片之間的夾角為，∴該葉片圖案繞中心至少旋轉(zhuǎn)后能與原來(lái)的圖案重合，∴角的大小可以為，故選：B．6.如圖，在中，．尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)畫(huà)射線(xiàn)交邊于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，大角對(duì)等邊，作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖，由作圖方法可得，則由三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角得到，，由大角對(duì)大邊得到，再由可得．【詳解】解：由作圖方法可得，故A結(jié)論正確，不符合題意；∴，，故B、C結(jié)論都正確，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．二、填空題（每小題3分，共15分）7.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．用提公因式方法分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．8.計(jì)算：__．【答案】【解析】【分析】本題考查的是二次根式的加減運(yùn)算，先化簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)二次根式即可．【詳解】解：，故答案為：．9.《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空：二人共車(chē)，九人步．問(wèn)車(chē)幾何？其譯文為：有若干人乘車(chē)，若每3人同乘一車(chē)，最終剩余2輛空車(chē)；若每2人同乘一車(chē)，最終剩下9人因無(wú)車(chē)可乘而步行．問(wèn)有多少輛車(chē)？為解決此問(wèn)題，設(shè)共有x輛車(chē)，可列方程為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，即可求解．【詳解】解:依題意，得：，故答案為：．10.如圖，正五邊形的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，則的大小為_(kāi)_______度．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正多邊形外角和定理，三角形內(nèi)角和定理，多邊形外角和為360度，據(jù)此可求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：五邊形是正五邊形，∴，∴，故答案：．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為1的和．當(dāng)，分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接，，則陰影部分圖形的面積和為_(kāi)_______．（結(jié)果保留）【答案】##【解析】【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的問(wèn)題，考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是求得，根據(jù)題意得到，則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入解析式求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再利用扇形的面積公式即可求得兩個(gè)象限中扇形的面積，進(jìn)一步求得陰影部分圖形的面積之和．【詳解】解：當(dāng)，分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，∴軸，軸，∵半徑為1，∴，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把代入，求得，∴，∴，，∴，∴，∴第一象限中陰影的面積，同理，第三象限中陰影的面積，∴．故答案為：．三、解答題（本題共11小題，共87分）12先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把第二個(gè)分式的分子分解因式，再計(jì)算分式乘法化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解；，當(dāng)時(shí)，原式．13.在“健康中國(guó)2030”與“體重管理年”的行動(dòng)引領(lǐng)下，某校田徑社團(tuán)開(kāi)展了“2025健康長(zhǎng)跑”活動(dòng)．由于參加的人數(shù)較多，場(chǎng)地空間有限，活動(dòng)需分A，B，C三組進(jìn)行，每人只能被隨機(jī)分配到其中一組，分組工作由計(jì)算機(jī)軟件完成．請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求參與者小順和小利被分配到同一組的概率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到參與者小順和小利被分配到同一組的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：列表如下：小順小利由表格可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中參與者小順和小利被分配到同一組的結(jié)果數(shù)有3種，∴參與者小順和小利被分配到同一組的概率為．14.吉林省長(zhǎng)白山盛產(chǎn)人參．為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價(jià)分別為每盒25元和20元．某游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元．求該游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．【答案】游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品6盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品4盒【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．設(shè)游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品x盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品y盒，根據(jù)“游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元”建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品x盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品y盒，由題意得：，解得：，答：游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品6盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品4盒．15.如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，連接，．（1）求證：．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形得到，再結(jié)合已知條件由即可證明全等；（2）根據(jù)全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∵，，∴．16.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（1）在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫(huà)出，使．（2）在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫(huà)出，使．【答案】（1）見(jiàn)解析（答案不唯一）（2）見(jiàn)解析（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)．（1）取格點(diǎn)，連接，根據(jù)得到；（2）取格點(diǎn)，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求：【小問(wèn)2詳解】解：如圖，即為所求：17.端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來(lái)，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為合格；粽子質(zhì)量為克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個(gè)小組參加比賽，他們?cè)谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)分別包了220個(gè)和200個(gè)粽子．質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個(gè)參賽小組所包粽子中各隨機(jī)抽檢10個(gè)，分別對(duì)它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計(jì)參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個(gè)數(shù)據(jù)缺失，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級(jí)是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時(shí)間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的個(gè)數(shù)較多的小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)．估計(jì)甲、乙兩個(gè)參賽小組哪組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）是優(yōu)秀（2）乙參賽小組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查眾數(shù)、樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義，并利用樣本估計(jì)總體求出兩個(gè)小組優(yōu)秀等級(jí)個(gè)數(shù)．（2）根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可；（2）利用樣本估計(jì)總體求出甲、乙小組優(yōu)秀等級(jí)的個(gè)數(shù)即可．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橐医M質(zhì)量的眾數(shù)為147，所以缺失的數(shù)據(jù)為147，且，質(zhì)量登記為優(yōu)秀；【小問(wèn)2詳解】解：乙參賽小組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由如下：甲組抽檢的優(yōu)秀為：，∴甲組優(yōu)秀個(gè)數(shù)為：（個(gè)），甲組抽檢的優(yōu)秀為：∴乙組優(yōu)秀個(gè)數(shù)為：(個(gè))，∵，∴乙參賽小組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．18.綜合與實(shí)踐：確定建筑物的打印模型的高度項(xiàng)目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹(shù)人中學(xué)的打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角．3．測(cè)出測(cè)角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．【答案】該城市規(guī)劃展覽館的高度為；打印模型的高度約為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，比例的基本性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．任務(wù)二：先由矩形得到，，然后解即可；任務(wù)三：由比例尺等于圖上距離比上實(shí)際距離求解即可．【詳解】解：任務(wù)二：由題意得為矩形，∴，，∵在中，∴，∴，答：該城市規(guī)劃展覽館的高度為；任務(wù)三：設(shè)打印模型的高度約為，則由題意得：，解得：，答：打印模型的高度約為．19.如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以為邊作正方形，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形與重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)______．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）當(dāng)正方形的對(duì)稱(chēng)中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．【答案】（1）7（2）（3）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題，正方行的性質(zhì)、三角形相似、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解；（1）當(dāng)重合時(shí)，通過(guò)勾股定理分別求出即可求解；（2）將正方形與重疊部分圖形的面積分割成一個(gè)三角形的面積和直角梯形的面積之和來(lái)求解即可；（3）根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)中心與點(diǎn)B重合時(shí)，得出，再利用勾股定理求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)重合時(shí)，如下圖：，以為邊作正方形，是等腰直角三角形，，即，解得：（負(fù)的舍去），，，，故答案為：7；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如下圖：，，，，，，解得：，，；【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)正方形的對(duì)稱(chēng)中心與點(diǎn)B重合時(shí)，，，即，解得：，．20.【知識(shí)鏈接】實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖①，在兩個(gè)完全相同的溢水杯中，分別盛滿(mǎn)甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個(gè)質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)A，B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過(guò)觀察彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計(jì)）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當(dāng)小鋁塊位于液面上方時(shí)，；當(dāng)小鋁塊浸入液面后，．【建立模型】在實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測(cè)力計(jì)A，B各自的示數(shù)與小鋁塊各自下降的高度之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，直接寫(xiě)出彈簧測(cè)力計(jì)A和彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，求彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)A懸掛的小鋁塊下降8cm時(shí)，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為，若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為，則乙液體中小鋁塊浸入的深度為，直接寫(xiě)出m，n的值．【答案】（1）彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)為，彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)為；（2）；（3），．【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）直接根據(jù)圖②作答即可；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，別將，代入計(jì)算即可；（3）由題意可知小鋁重為，將代入得，將變形即可求出，求出當(dāng)時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將代入計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：由圖②可知，當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)為，彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)當(dāng)時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，由圖可知經(jīng)過(guò)，分別將，代入得：，解得：，∴；【小問(wèn)3詳解】解：由題意可知小鋁重為，將代入得，則，即；則使乙液體中的小鋁塊所受的浮力為，∴，設(shè)當(dāng)時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，由圖可知經(jīng)過(guò)，分別將，代入得：，解得：，即，將代入得：，解得：，∴深度為．21.【問(wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個(gè)內(nèi)角為的平行四邊形的折疊問(wèn)題．其探究過(guò)程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在平行四邊形中，，，E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，且，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形是一個(gè)特殊的四邊形，請(qǐng)判斷該四邊形的形狀，不需要說(shuō)明理由．【探究證明】取圖①中的邊的中點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊上，且，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)H．連接，，如圖②．求證：四邊形是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形能否成為軸對(duì)稱(chēng)圖形．如果能，直接寫(xiě)出的值；如果不能，說(shuō)明理由．【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]：四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析；[探究證明]：四邊形是平行四邊形；[探究提升]：四邊形為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，的值為或，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及到平行四邊形，矩形，菱形、等邊三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定定理，平行四邊形的判定定理；[探究發(fā)現(xiàn)]由將△沿翻折得到△，即知，，而，故；[探究證明]同探究發(fā)現(xiàn)可知四邊形是菱形，有，而為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，即可得，，又，，故，，從而四邊形是平行四邊形；[探究提升]若四邊形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，則四邊形是矩形或菱形，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，過(guò)作于，過(guò)作于，設(shè)，則，可得，，求出，即可得；當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，延長(zhǎng)交于，設(shè)，求出，即可得．【詳解】[探究發(fā)現(xiàn)]：解：四邊形菱形，理由如下：將△沿翻折得到△，，，，，四邊形是菱形；[探究證明]：證明：如圖：將△沿翻折得到△，，，，，四邊形是菱形，，為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是平行四邊形；[探究提升]：解：四邊形能成為軸對(duì)稱(chēng)圖形，理由如下：由[探究證明]知，四邊形是平行四邊形，若四邊形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，則