2/9《二次函數(shù)》復習指導一.知識結(jié)構(gòu)：實際問題二次函數(shù)實際問題二次函數(shù)目標目標構(gòu)建二次函數(shù)模型求解實際問題探究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系構(gòu)建二次函數(shù)模型求解實際問題探究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二.要點梳理：1.二次函數(shù)表達式：y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c為常數(shù)且）2.拋物線的圖象與性質(zhì)：（1）a決定拋物線的：當a>0時，；當a<0時，.（2）c決定拋物線與y軸交點的位置：當c>0時，圖象與y軸交點在y軸的上；當c<0時，圖象與y軸交點在y軸的上;當c=0時，圖象過.（3）b、a共同決定拋物線的對稱軸x=-eq\f(b,2a)的位置：若b、a同號，則對稱軸在y軸；若b、a異號，則對稱軸在y軸；若b=0，則對稱軸是.（4）拋物線的頂點坐標為.3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：△=b2-4ac決定拋物線與x軸交點情況：當△>0時，拋物線與x軸有個交點；當△<0時，拋物線與x軸有個交點；當△=0時，拋物線與x軸交點.三.中考在線：（一）考點透視：考點1考查二次函數(shù)的概念【例1】（哈爾濱市）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園，設(shè)邊長為米，則菜園的面積（單位：米）與（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為（不要求寫出自變量的取值范圍）.AABCD（例1圖）菜園墻【解析】由題意分析出矩形的寬BC為，于是可得函數(shù)關(guān)系式：.【點評】分析出菜園所在的矩形的長與寬是列出函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵.考點2考查二次函數(shù)解析式的確定xyO3

－9－1－1AxyO3

－9－1－1AB圖（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；【分析】本題所給的二次函數(shù)關(guān)系式中有兩個待定系數(shù)，而且觀察圖形知，圖形上標注了兩個已知點的坐標A（-1，-1）、B（3，-9），可以代入解析式，解二元一次方程組求出兩個待定系數(shù)了.【解】（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得∴二次函數(shù)的表達式為.（2）對稱軸為；頂點坐標為（2，-10）.【點評】本題第（1）問考查了二次函數(shù)解析式中待定系數(shù)的確定問題，一般地有兩個待定系數(shù)時，我們需要從已知條件中獲取兩個點的坐標，從而借助于二元一次方程組求解待定系數(shù).考點3考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】（南充市）如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A（－3，0），對稱軸為x＝－1.給出四個結(jié)論：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【分析】觀察所給的拋物線圖象，開口向下知，對稱軸在y軸左側(cè)，知，可得；拋物線與x軸交于不同兩點，知，由圖象過點A（－3，0），對稱軸為x＝－1，可推得與x軸另一交點為（1，0），故當x=1時，a+b＋c=0.由得于是一定有5a＜b.【解】由已上分析知②、③有誤，應該選B.【點評】這樣的結(jié)合圖象和特征點的已知信息，識別二次函數(shù)待定系數(shù)的相關(guān)關(guān)系式成立條件問題，近年來各地中考試題中比較常見，而且能力要求較高.往往綜合了很多數(shù)學知識，同學們注重積累這種題型.考點4與拋物線有關(guān)的平移變換【例4】（浙江蕭山中學）二次函數(shù)的圖象如何移動就得到的圖象（）A.向左移動1個單位，向上移動3個單位.B.向右移動1個單位，向上移動3個單位.C.向左移動1個單位，向下移動3個單位.D.向右移動1個單位，向下移動3個單位.【解析】先將二次函數(shù)配方成，顯然將拋物線向左平移1個單位，向下平移3個單位后可得到.即選C.【點評】與拋物線有關(guān)的平移變換問題，通常都要將二次函數(shù)化成“頂點式”，這樣結(jié)合拋物線的平移規(guī)律即可分析.【例5】（上海市）在直角坐標平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為，且過點.（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標.【分析】第（1）問選擇“頂點式”可迅速確定二次函數(shù)解析式，第二問題探究拋物線平移后經(jīng)過坐標原點的問題，要分析出圖象經(jīng)過坐標原點時解析式中的系數(shù)有何特點？原來是變換后的函數(shù)解析式常數(shù)項為0.明白這點，結(jié)合原拋物線與x軸的交點可以就可以分析出平移的單位了.【解】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)圖象過點，，得.二次函數(shù)解析式為，即.（2）令，得，解方程，得，.二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標分別為和.二次函數(shù)圖象向右平移1個單位后經(jīng)過坐標原點.平移后所得圖象與軸的另一個交點坐標為【點評】本題第（2）問表面上看沒有求原拋物線與x軸的交點問題，但我們通過先求原拋物線與x軸的交點后，使得平移變換的探究顯得十分簡單了，這種轉(zhuǎn)化思想值得同學體會.考點5探究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【例6】（濰坊市）對于二次函數(shù)，我們把使函數(shù)值等于的實數(shù)叫做這個函數(shù)的零點，則二次函數(shù)（為實數(shù)）的零點的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.0 D.不能確定【解析】閱讀題意知，“零點”的點含義其就是拋物線與x軸的交點時的橫坐標，也就是方程的根.于是所要求的二次函數(shù)的零點個數(shù)，實質(zhì)是要求方程的解的情況，由根的判別式知，即此方程有兩個不等實根，于是二次函數(shù)（為實數(shù)）的零點的個數(shù)是兩個.故選B.【點評】這是一道創(chuàng)新考題，透過現(xiàn)象看本質(zhì)是我們學習數(shù)學的一個方向.本題閱讀所給的新定義“零點”，識別出本題的實質(zhì)是探究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解決類似問題的關(guān)系.考點6探究生活情景中的二次函數(shù)關(guān)系【例7】（揚州）連接上海市區(qū)到浦東國際機場的磁懸浮軌道全長約為，列車走完全程包含啟動加速、勻速運行、制動減速三個階段.已知磁懸浮列車從啟動加速到穩(wěn)定勻速動行共需秒，在這段時間內(nèi)記錄下下列數(shù)據(jù)：時間（秒）050100150200速度（米／秒）0306090120路程（米）07503000675012000（1）請你在一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中選擇合適的函數(shù)來分別表示在加速階段（）速度與時間的函數(shù)關(guān)系、路程與時間的函數(shù)關(guān)系.（2）最新研究表明，此種列車的穩(wěn)定動行速度可達180米／秒，為了檢測穩(wěn)定運行時各項指標，在列車達到這一速度后至少要運行100秒，才能收集全相關(guān)數(shù)據(jù).若在加速過程中路程、速度隨時間的變化關(guān)系仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系式，并且制作減速所需路程與啟動加速的路程相同.根據(jù)以上要求，至少還要再建多長軌道就能滿足試驗檢測要求？（3）若減速過程與加速過程完全相反.根據(jù)對問題（2）的研究，直接寫出列車在試驗檢測過程中從啟動到停車這段時間內(nèi)，列車離開起點的距離（米）與時間（秒）的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出過程）【分析】第（1）問探究速度與時間的函數(shù)關(guān)系、路程與時間的函數(shù)關(guān)系時，可借助描點或發(fā)現(xiàn)其規(guī)律來確定函數(shù)關(guān)系式.第（2）問是建立在第（1）問函數(shù)解析式確定下來的基礎(chǔ)上進行的計算；第（3）問探究列車離開起點的距離（米）與時間（秒）的函數(shù)關(guān)系式時，要注意分類討論，因為列車運行在三個時間段中其距離與時間t的關(guān)系式是在變化著的.【解】（1）通過描點或找規(guī)律，確定與是一次函數(shù)，與是二次函數(shù)，.（2）由得當時，秒，則米千米.米千米因為減速所需路程和啟動加速路程相同，所以總路程為所以還需建千米.（3）當時，當時，當時，（一般式為）.【點評】本題有效考查了幾種常見函數(shù)的發(fā)現(xiàn)與探究，特別是第（3）問的“分段函數(shù)”意識的考查，值得同學們注意，近來年，一些復雜數(shù)學問題（如運動變換下的函數(shù)關(guān)系探究等）的函數(shù)關(guān)系往往都是分段函數(shù)問題，即隨著自變量的變化，函數(shù)的解析式也是呈現(xiàn)變化的.同學們在結(jié)合平時的學習注重積累這種題型.考點7探究幾何圖形中的二次函數(shù)關(guān)系【例8】（南京）在梯形中，，，，點分別在線段上（點與點不重合），且，設(shè)，.（1）求與的函數(shù)表達式；（2）當為何值時，有最大值，最大值是多少？【分析】本題以等腰梯形為載體，在尋找相似三角形后，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得相似三角形的性質(zhì)可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，進而借助最值公式求得最大值.【解】（1）在梯形中，，，，，.，，...，，.與的函數(shù)表達式是：；（2）.當時，有最大值，最大值為.【點評】這類探究幾何圖形下兩種線段的關(guān)系式的問題，近年來考試題中較為常見，同學們要注意總結(jié)它們的方法，一般地，在平面幾何中尋找兩個線段的關(guān)系式，往往可以通過尋找圖形中的相似三角形作為突破，進而根據(jù)比例式能得到一些關(guān)系式，這也是幾何函數(shù)綜合問題的一種思路.四.糾錯覓源：（一）忽視二次項系數(shù)出錯【例9】當為何值時，是關(guān)于的二次函數(shù)？【錯解】根據(jù)二次函數(shù)的概念，得.所以，所以，.所以當或時，函數(shù)是二次函數(shù).【剖析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，要使是二次函數(shù)，必須滿足兩個條件：（1）（2）.兩者缺一不可.【正解】根據(jù)題意，得，.解得.所以當時，是二次函數(shù).（二）忽視二次函數(shù)增減性的范圍出錯【例10】已知點，，在函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【錯解】因為，所以.所以選C.【剖析】對于函數(shù)的增減性應分和討論，當時，隨的增大而減小，因為，所以.對于對稱軸兩側(cè)的值，應根據(jù)它到對稱軸的距離來比較函數(shù)值的大小.因為，所以.所以.【正解】選B.五.復習策略：同學們，復習本章時，要達到以下目標：1.通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，并體會具體函數(shù)的意義；2.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)；3.會確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸；4.體會二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；復習本章時的幾點策略：1、注重探索開放性結(jié)論在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的.同學們在復習相關(guān)知識時也要注意對具體問題解決后進行反思，努力探索其他的一些開放性結(jié)論.如，思考二次函數(shù)y=ax＋bx＋c與函數(shù)的關(guān)系，可通過配方法加以轉(zhuǎn)化.這樣循序漸進的反思探索，同學們不僅學到二次函數(shù)的有關(guān)知識，而且在知識的學習過程中不斷提高學習的能力.2、注重知識之間的聯(lián)系同學們在復習二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系時，體會函數(shù)與方程的聯(lián)系.一方面可以深化對一元二次方程的認識，另一方面又可