第頁參考答案：1．C【分析】利用點差法計算可得；【詳解】解：設，，則，所以，整理得．因為弦的中點為，所以，即直線的斜率為．故選：C2．D【分析】利用點差法求得正確答案.【詳解】設，由于在橢圓上，所以，兩式相減并化簡得，即.故選：D3．C【分析】利用橢圓的定義結合幾何關系可求解.【詳解】根據(jù)題意作出圖形，如圖所示.對于A，由題意，得，，則.當時，，A錯誤.對于B，因為，所以以AC為直徑的圓與橢圓必有交點，則存在，使得為直角三角形，B錯誤.對于C，根據(jù)橢圓的對稱性可知，當時，四邊形ABCD的面積最大，C正確.對于D，由橢圓的定義，得的周長為，又因為，所以，當BD過點C時，等號成立，所以，即當直線過橢圓的右焦點時，的周長最大，此時，但，所以不存在，使得的周長最大，D錯誤.故選:C.4．B【分析】設，分別求出和，即可求出.【詳解】設.過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點，則，解得：，所以.由雙曲線可得漸近線為.由對稱性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，所以.因為，所以，解得：.故選：B5．C【分析】由離心率可得由題意可得，由斜率，即可得斜率的取值范圍.【詳解】設雙曲線的方程為為上一動點，上頂點下頂點離心率為，即可得直線為直線PA,直線為直線PB,則，，又，，可得，故選：C6．D【分析】過點作交軸于點，過點作垂直準線于點，在三角形中，設，則，代入即可得出答案.【詳解】過點作交軸于點，過點作垂直準線于點，由拋物線的定義知：，在三角形中，設，，，所以.故選：D.7．B【分析】先求出直線的方程，然后求出的坐標，代入可得結果.【詳解】設，則，即.因為，，所以，解得.由題意四點共圓，圓心為的中點，半徑為，所以方程為；的方程為；兩式相減可得直線的方程，令得，即；令得，即；，所以.故選：B.8．D【分析】過三點向準線作垂線，可證明，再由有公共點可得三點共線，即直線一定過點，即直線一定過準線與x軸交點，結合選項，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點為，準線方程為，設直線方程為，聯(lián)立方程，整理得，設，則，，過三點向準線作垂線，垂足分別為，準線與軸交于點，則而，所以，因為有公共點，所以三點共線，即直線一定過點,由四個選項可知，只有選項經(jīng)過點.故選：D.9．D【分析】設，則可得切線的方程，即可得到直線的方程，進而可求出點點的坐標，再結橢圓方程可求出的值【詳解】解：設，則切線的方程為，切線的方程為，因為點在切線上，所以，，所以直線的方程為，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質有應用，解題的關鍵是設點，再由已知條件得到直線的方程為，從而可得的坐標，進而可得答案，考查計算能力和轉化能力，屬于中檔題10．C【分析】設的中點為M，根據(jù)求出r，進而得到M點橫坐標；再設直線，由韋達定理得到k與M橫坐標的關系，進而求出k．【詳解】設的中點為M，軸于點N，過A，B作準線的垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的橫坐標為，設直線，將代入，得，則，解得，故直線l的方程為．故選：C．【點睛】本題解題的關鍵是要抓住圓的兩要素：圓心和半徑，用圓心的橫坐標得到斜率的等量關系．11．BCD【分析】根據(jù)橢圓方程，求出、，即可判斷A、B，設，，利用點差法求出直線的斜率，即可得到直線方程，從而判斷C，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式求出，即可判斷D；【詳解】解：由橢圓方程，所以，，所以，故，所以橢圓的焦點坐標為，，故A錯誤；因為，所以橢圓的長軸長為，故B正確；設點，，則，兩式相減可得，整理得，因為點是線段的中點，且，所以，所以，所以直線的方程為，即，故C正確；由，得，所以，，所以，故D正確．故選：BCD12．AD【分析】求出雙曲線與橢圓的焦點坐標，即可判斷A，由橢圓的定義可分析B選項，根據(jù)橢圓和離心率的取值范圍可分析C選項，考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況，從而可分析D選項.【詳解】解：對于A：雙曲線與橢圓的焦點均為，故A正確；對于B：根據(jù)橢圓的定義，在平面內，設、為兩個定點，為動點，當時，動點的軌跡為橢圓，當時，動點的軌跡為線段，當時，動點的軌跡不存在，故B錯誤；對于C：方程的兩根為，，不能為橢圓和雙曲線的離心率，故C錯誤；對于D：雙曲線的右焦點為，，，當直線的斜率不存在時，代入雙曲線中，可得，所以；當直線的斜率存在時，設其直線方程為，聯(lián)立，可得，顯然，所以，所以，，所以，解得，故D正確.故選：AD.13．BCD【分析】設，直線m的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)判斷A，根據(jù)焦半徑公式判斷B，通過計算即可判斷C，利用點差法計算判斷D；【詳解】解：拋物線C的焦點F的坐標為，由題意分析可知，直線的斜率一定存在．設，直線m的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，所以，，所以，所以為鈍角，故A錯誤；（當且僅當時等號成立），故B正確；因為點，因為，即直線和直線的傾斜角互補，所以平分，故C正確；由兩式相減得，因為點是弦的中點，所以，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，故D正確．故選：BCD．14．AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷A選項的正誤；求出點的坐標，代入雙曲線的方程，求出該雙曲線的離心率，可判斷B選項的正誤；求出的值，可判斷C選項的正誤；利用兩點間的距離公式可判斷D選項的正誤.【詳解】由已知得，設，由，得，所以軸，即，A正確；不妨設點在第一象限，易知，，，即點，設，由，得，所以，所以，即．因為點在雙曲線上，所以，整理得，所以，解得或（負值舍去），B正確；，故C的漸近線的斜率的平方為，C錯誤；不妨設點在第一象限，則，所以，D錯誤．故選：AB．15．ACD【分析】對于A，由雙曲線的定義知，，結合，即可判定A.對于B，在中，由正弦定理得出，結合雙曲線的定義求出，因為，即可判定B.對于C，由分析知，當直線PQ垂直x軸時，周長的最小值，代入即可判定C.對于D，設，過點P的雙曲線E的切線方程為，與兩條漸近線聯(lián)立，求出A，B的坐標，又因為，故點P是AB的中點，所以，代入計算，即可判定D.【詳解】由題意知，，則，所以有，從而，，故A正確.在中，由正弦定理得，則在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B錯誤.當直線PQ垂直x軸時，的最小值為，，故C正確.設，過點P的雙曲線E的切線方程為，E的漸近線方程為，不妨設切線與漸近線的交點為A，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得.又因為點P在雙曲線E上，則有，，故點P是AB的中點.設切線與x軸的交點為G，易知，所以，所以，故D正確.故選：ACD.16．BC【分析】根據(jù)題意設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到的值，根據(jù)拋物線的定義即可求解A項；設兩點的坐標，利用導數(shù)求解切線斜率，進而得出切線方程，聯(lián)立切線方程即可求解B、C兩項；利用兩點間距離公式得到的值，結合A項的值，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，求解最小值即可.【詳解】由題可得，拋物線的焦點坐標為，對于選項A，設，則與拋物線聯(lián)立方程消元化簡得，所以，所以，所以解得，所以可知當時，直線AB的傾斜角為或，所以選項A錯誤；設，由，所以，所以，即為，同理可得,由,解得，由上知，，所以,所以點P在直線上，所以選項B正確；因為，所以，所以，所以選項C正確；因為，即為，所以，因為，所以，令，則原式.因為函數(shù)在上單調遞增，所以當，即時取到最小值，其最小值為.所以選項D錯誤.故選:BC.17．【分析】當直線斜率不存在時，直線的方程為，設出點并求出直線，易知直線過點；當直線的斜率存在時，設，直線為，，聯(lián)立，結合根與系數(shù)的關系，證明直線過點即可【詳解】（1）當直線斜率不存在時，直線的方程為，不妨設，則此時直線的方程為即，所以直線過點．（2）當直線的斜率存在時，設，直線為，，由得，所以直線：，只需證明直線過點即可，令，得，所以，即證，即證，可得，所以直線過點．綜上所述，直線恒過軸上的定點．18．2【分析】設出，根據(jù)條件推出在圓上運動，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點，則得答案.【詳解】設點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數(shù)a的最大值為2，故答案為：219．【分析】根據(jù)題意繪出草圖，把點的位置分兩種情況進行討論，分情況設出點的坐標，利用點與點關于軸對稱關系（見詳解圖），結合直線的斜率來求解即可.【詳解】根據(jù)題意繪圖如下，設直線AB交準線于G點，當點在第一象限時，設，則，被軸平分，點與點關于軸對稱，.又，，，由得：，即，故，.同理，當點在第四象限時，設，則有.綜上分析得知：.故答案為：20．【分析】設的坐標為，表示出直線的方程，求得，同理求得，可得的表達式，結合三角函數(shù)的平方關系化簡，可得答案.【詳解】如圖所示：設的坐標為,,由則直線的方程為令時，則即,直線的方程為,令，則即,,故答案為：21．【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，設為的中點，連接，再根據(jù)向量的線性運算以及兩向量垂直數(shù)量積為得出為等腰直角三角形，再利用雙曲線的定義列出方程組，求出、和的長，進而利用幾何關系列出關于離心率的齊次式求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設為的中點，連接，易知，，，又為的中點，，，，為等腰直角三角形，設，由雙曲線的定義知，解得，，又，.在中，，，，化簡得，即，又，.故答案為：.22．②③【分析】對于①，其解題的關鍵是正確地理解直線的傾斜角與斜率之間的關系；對于②，其解題的難點是能推出的分析與應用；對于③，其解題的關鍵是正確地運用雙曲線的簡單幾何性質和定義對其進行求解．【詳解】對于①，因為直線，所以其斜率為，所以，所以，即①是錯誤的；對于②，設過拋物線焦點的直線為，于是聯(lián)立直線與拋物線的方程并整理可得：，所以由韋達定理可得進而得出，即②是正確的；對于③，設的內切圓分別與切于點，與切于點，則，，，又因為點在雙曲線的右支上，所以，即，所以，而，設點，因為，所以，即，又因為內切圓的圓心與點的連線垂直于軸，所以的內心始終在一條直線上，所以③是正確的．故答案為:②③．23．【分析】（1）當直線斜率不存在時，設，此時，由聯(lián)立求解即可；（2）當直線斜率存在時，設，，設直線方程為：，由AB⊥QT可得，由BT⊥AQ可得，化簡得（*），聯(lián)立直線與橢圓，結合韋達定理可得，即可代入（*）得，又，最后求解上述不等式即可.【詳解】（1）當直線斜率不存在時，設，此時，則，∴，又，聯(lián)立解得或（舍去），∴.（2）當直線斜率存在時，設，，設直線方程為：，直線QT的斜率為，∵AB⊥QT，∴，即，又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）聯(lián)立化為，則，，，∴，，代入（*）可得．∴，解得，綜上可知：實數(shù)m的取值范圍為．故答案為：【點睛】（1）直線需討論斜率存在與否；（2）三角形垂心成立，相當于滿足兩組高和底垂直即可，即可結合向量來表示；當使用到坐標時，可以聯(lián)立直線與圓錐曲線，結合韋達定理來表示，最后還需滿足24．【詳解】試題分析：由圖可知過兩曲線的交點的直線與軸的交點為，所以，當對稱的兩個點分屬兩段曲線時，設其中一個點為，則其對稱點為，將其代入曲線，得到關于的方程的解有且只有兩個，當時，不符合題意，所以，所以，即，所以答案應填：．考點：拋物線的簡單幾何性質．25．(1)(2)矩形面積為，五邊形EMOGH的面積為，五邊形的面積更接近的面積【分析】（1）設分界線上任意一點為（x，y），根據(jù)條件建立方程關系進行求解即可．（2）設M（x0，y0），則y0＝1，分別求出對應矩形面積，五邊形FOMGH的面積，進行比較即可．（1）設分界線上任意一點為（x，y），由題意得，得，；（2）設，則，∴，∴設所表述的矩形面積為S3，則；設五邊形的面積為S4，則，，∴五邊形的面積更接近S1的面積；.綜上，C的方程為，五邊形的面積更接近S1的面積.26．(1)；(2)是定值，且.【分析】（1）由條件求出橢圓的方程，與所設直線方程聯(lián)立，利用弦長公式求得直線斜率，得到直線方程.（2）根據(jù)過的直線l的方程可表示出點P的坐標，該直線與橢圓交于C、D兩點，直線AC與直線BD交于點Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點Q的坐標，代入即可得到定值的結論．【詳解】（1）∵橢圓的焦點在軸上，設橢圓的標準方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當直線與軸垂直時與題意不符，設直線的方程為，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡得，則，，∴，解得.∴直線的方程為；（2）當軸時，，不符合題意，當與軸不垂直時，設：，則，設，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線：，直線：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點坐標為，∴，所以為定值.27．(1)(2)①存在，；②證明見解析【分析】（1）由點差法可得，結合及，可求得結果.（2）①又直線與雙曲線相交可求得，再設，聯(lián)立結合韋達定理可求得的坐標，進而得，代入可求解.②由①知,由對稱性知過的定點在軸上，計算可得解.（1）由題意知，直線的斜率為，設，由題意，兩式相減得：，整理得：，即，又，所以，即雙曲線，經(jīng)檢驗滿足題意.（2）①因為的斜率存在且，設，，聯(lián)立，消去整理得：，由題意得，解得又，設直線，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得，又，，于是，故，同理可得，，，為定值，所以的值②由①知（*），由對稱性知過的定點在軸上，在（*）令，得，解得直線恒過定點28．(1)(2)(3)或【分析】（1）由橢圓基本量列方程組即可；（2）直線與橢圓聯(lián)立結合韋達定理求解；（3）求出點到直線AB的距離，再設平行直線與橢圓聯(lián)立即可.【詳解】（1）由題知,解得所以橢圓的標準方程（2）設聯(lián)立,得由,得因為,所以即所以,又,所以（3）由題知,得由題知直線AB的斜率又直線AB過點,所以直線AB的方程為,即點到直線AB的距離因為,所以點到直線AB的距離設與直線AB平行且兩直線距離為的直線方程為則,所以或若,即,即聯(lián)立,得,則直線與橢圓無交點,故舍去若,即,即聯(lián)立,得解得或代入直線方程得點的坐標為或【點睛】方法點睛：本題第（3）問還可以利用橢圓參數(shù)方程以及對稱相反構造求解29．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意設直線為，聯(lián)立拋物線方程得，再由整理得，代入即可求得，進而可知直線過定點；（2）由到直線和的距離相等，可得，進而利用韋達定理求得，結合圖像易知平分，故由角平分線定理得，進而得到，同理，由此可得，再求得，從而求得的重心.（1）根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，故設直線的方程為，聯(lián)立方程，消去，得，設，，則，即，，，因為，，，所以，即解得或，當時，由，得或，即必有一點落在軸上，這與是上位于軸兩側的不同兩點矛盾，故舍去，所以，即直