第頁參考答案：1．C【解析】【分析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.2．C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離.故選：C.3．D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求解直線與的公垂線的方向向量，利用異面直線距離的向量公式，即得解【詳解】如圖所示，以為原點，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標系則設直線與的公垂線的方向向量為則不妨令又則異面直線與之間的距離故選：D4．D【解析】以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和的公垂線的方向向量，求出，再由可求出.【詳解】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，，設和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.【點睛】本題考查異面直線距離的求解，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量的方法求解.5．(1)(2)【解析】【分析】（1）取線段的中點，連接、，證明出平面，，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得到平面的距離；（2）設，其中，利用空間向量法可得出關于的等式，結合可求得的值，然后利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.(1)解：取線段的中點，連接、，因為為等邊三角形，為的中點，所以，，因為平面平面，平面平面，平面，平面，在底面中，因為，則，即，因為為的中點，則，所以，四邊形為平行四邊形，，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.(2)解：設，其中，，平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，因為，解得，所以，，設平面的法向量為，則，取，則，所以，，則，因此二面角的正弦值為.6．(1)(2)【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得到平面的距離；（2）設點，其中，利用空間向量法可得出關于的方程，解出的值，即可得解.(1)解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為為的中點，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.(2)解：設點，其中，，，設平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由已知可得，解得，此時點為的中點，故.7．(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】【分析】(1)要證面面平行，轉化為證明兩組線面平行，連接AC，證明EF∥AC∥，可證∥平面，同理可證EG∥平面；(2)由(1)知兩平面平行，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，兩平面間的距離為在法向量上的投影﹒(1)∵E是AB中點，F(xiàn)是BC中點，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒(2)如圖：以D為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz﹒則∴，設平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒8．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，設，根據為平行四邊形，得到，求得，得到，求得平面的法向量為，又由，結合距離公式，即可求解；（2）由（1）知平面的一個法向量為，又由，求得點到平面的距離，進而求得平面與平面之間的距離.【詳解】（1）由題意，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，設，因為為平行四邊形，可得，即，所以，即，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，所以點到平面的距離為.（2）由（1）知平面的一個法向量為，又由，可得點到平面的距離為，因為過點平行于平面的平面為，所以平面與平面之間的距離等于但到平面的距離，即平面與平面之間的距離.9．(1)證明見解析(2)存在，且【解析】【分析】（1）取線段的中點，連接、，設，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再證明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）設，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的等式，結合可求得的值，即可得解.(1)證明：連接，因為平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，因為四邊形為菱形，則，，平面，設，取線段的中點，連接、，因為四邊形為菱形，則為的中點，所以，且，由已知且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，則平面，平面，故平面平面.(2)解：因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，則，設，其中，，，設平面的法向量為，則，取，可得，由已知可得，整理可得，因為，解得.因此，在棱上存在點使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，且.10．(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）根據題設可得兩兩互相垂直，構建空間直角坐標系求直線DE與PB的方向向量并求其數量積，即可確定異面直線的夾角.（2）由（1）得，進而求得，再求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及已知二面角正弦值列方程求參數，即可判斷存在性.(1)因為，分別為，的中點，則，因為，則，即．又，，平面，所以平面，又，綜上，兩兩互相垂直．以為坐標原點，向量為正交基底建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，則，，．所以，故，所以異面直線與所成的角大小為.(2)假設存在使二面角的正弦值為，即二面角的余弦值為由，．所以，，．易知：平面的一個法向量為設平面的法向量，則，令，則，綜上，有，即，解得，．又，故．故存在，使二面角的正弦值為．11．D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D12．D【解析】【分析】求出的坐標，利用點到平面距離的向量求法計算作答.【詳解】依題意，，所以點P到平面的距離為.故選：D13．A【解析】【分析】根據空間直角坐標系，根據向量的夾角的余弦值來確定異面直線的夾角.【詳解】取中點為，連接，所以，又面面且交線為，面，所以面，面，則.設正方形的對角線長度為2，如圖所示，建立空間直角坐標系，，所以，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:A14．B【解析】【分析】異面直線的夾角在中，結合求解即可.【詳解】由題，，，則，故選：B15．C【解析】【分析】以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系,利用向量法求解.【詳解】如圖示，以D為原點，分別為x、y、z軸正方向聯(lián)立空間直角坐標系.不妨設.則，，，，，，.所以，.因為異面直線與所成角的余弦值為，所以，解得：t=2.即2.故選：C16．A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，易知，設平面的法向量，則，令，解得，故點到平面的距離為.故選：A.17．D【解析】【分析】對于A，利用兩向量的共線定理即可判斷；對于B，判斷方向向量與法向量是否垂直即可；對于C，判斷兩平面的法向量是否垂直即可；對于D，首先寫出直線的標準方程，將點到直線的距離轉化到兩點間的距離進行求解即可.【詳解】對于A，，與不平行.對于B，，與不平行；對于C，，與不垂直；對于D，直線過點，且方向向量為直線的標準方程為過點作與已知直線垂直相交的平面，且設直線與平面的交點為，則到直線的距離可轉化為到的距離；方向向量為平面的方程為：即：設垂足，點在平面上，則解得：故選：D.18．D【解析】【分析】A選項，作出輔助線，證明出AC⊥BC，結合平面可得線線垂直，從而證明線面垂直，最后證明出面面垂直；B選項，求出點P到直線CD的距離即為PC的長度，利用勾股定理求出答案；C選項，建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解；D選項，過點A作AH⊥PC于點H，證明AH的長即為點A到平面的距離，求出AH的長.【詳解】A選項，因為平面，平面，所以CD，故∠PBA即為與底面所成的角，，因為，所以PA=AB=1，因為，取AD中點F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因為，所以CD⊥平面PAC，因為CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正確；由A選項的證明過程可知：CD⊥平面PAC，因為平面PAC所以CD⊥PC，故點P到直線CD的距離即為PC的長度，其中由勾股定理得：，B正確；以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，其中平面ACD的法向量為，設平面ACE的法向量為，則，令得：，所以，設二面角的平面角為，顯然，其中，解得：或，因為，所以，C正確；過點A作AH⊥PC于點H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因為，所以AH⊥平面PCD，故AH即為點A到平面PCD的距離，因為PA⊥AC，所以，D選項錯誤故選：D19．ABC【解析】【分析】對A，以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求出點到平面的距離，分析即可判斷A；對B，當平面，則，則有，求出，即可判斷B；對C，當時，取得最小值，結合B即可判斷C；對D，設，當為中點時，根據判斷得符號即可判斷D.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，則，則，故，則，，對于A，，設平面的法向量，則有，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故A正確.當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對于D，當為中點時，則，，則，，所以，所以為銳角，故D錯誤；故選：ABC.20．BCD【解析】【分析】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，對選項ACD一一判斷；對選項B，連接與交于點，連接，易知，則由線面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判斷B.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，對于A，，，所以，所以與不垂直，所以A錯誤；對于B，連接與交于點，連接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正確；對于C，，，所以，，所以，與CD所成角的余弦值為，故C正確；對于D，，設面，，，令，，所以，與平面所成角為，，所以，與平面所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.21．BCD【解析】【分析】建立圖所示的直角坐標系,利用向量法逐一求解.【詳解】解：建立圖所示的直角坐標系，由題意得,所以,所以,故A錯，,故B對，設平面的法向量為，則,即,令，得，故點到平面的距離，故C對，根據正方體的可知，平面,故直線與平面所成的角的正弦值為：,又，故60°，故D正確.故選：BCD.22．BCD【解析】【分析】由條件建立空間直角坐標系，利用向量方法判斷的位置關系，利用空間角的向量求法判斷B，C，再結合點到平面的距離的向量求法判斷D.【詳解】由已知，，又，平面，所以平面，以為坐標原點，，為軸正方向建立空間直角坐標系，又正方形和矩形所在平面所成的角為60°，所以，，所以，，，，所以，，所以，所以不垂直，A錯，，，所以，所以直線與所成角的余弦值是，B對，設平面的法向量為，，由已知，所以，取可得，，即可取法向量為，直線的方向向量，所以，所以線與平面所成角的正弦值是，C對，因為，平面的法向量為，設點到平面的距離為，則，D對，故選：BCD.23．ABC【解析】【分析】過點在平面內作交于點，過點在平面內作交于點，證明出平面，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】如下圖所示，過點在平面內作交于點，過點在平面內作交于點，因為平面平面，平面平面，，平面，平面，同理可得平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、.對于A選項，，，則，，故直線與直線所成角的大小為，A對；對于B選項，，，，所以，直線與直線所成角的余弦值為，B對；對于C選項，，平面的一個法向量為，，所以，直線與平面所成角的大小為，C對；對于D選項，，平面的一個法向量為，，所以，直線直線與平面所成角的大小為，D錯.故選：ABC.24．ABD【解析】【分析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，當為中點時，根據判斷得符號即可判斷A；當平面，則，則有，求出，即可判斷B；當時，取得最小值，結合B即可判斷C；利用向量法求出點到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，則，則，故，則，，對于A，當為中點時，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C錯誤；對于D，，設平面的法向量，則有，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.25．【解析】【分析】直接利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】因為，所以.因為異面直線所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.故答案為：26．1【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到面的距離公式進行求解.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量，則有，令得：，故，其中，則點A到平面的距離為故答案為：127．【解析】【分析】作出二面角的平面角，求出點P到平面的距離，再求出PB長，求邊BD上的高即可作答.【詳解】在等腰梯形中，，是線段的中點，四邊形為平行四邊形，則，是菱形，連接AE，則、都是正三角形，取DE中點O，連接AO，PO，如圖，則有，是二面角的平面角，有，且平面，又平面，則平面平面，在平面內過P作于H，連BH，因平面平面，于是得平面，而平面，即有，，而，則有，，又，，，中，，由余弦定理得：，從而得，所以邊BD上的高，所以點到直線的距離是.故答案為：【點睛】方法點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．28．#【解析】【分析】建立空間直角坐標系，直接利用異面直線之間的距離公式求解即可.【詳解】以為坐標原點，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,,,,∴,,設是，的公垂線方向上的單位向量，則，即①，，即②，易知③，聯(lián)立解得，，或，，；不妨取，又∵,則異面直線與的距離，故答案為：.29．##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量求出點Р到直線距離的函數關系，再求其最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點P在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取“=”，所以點Р到直線的距離的最小值為.故答案為：30．(1)詳見解析；(2).【解析】【分析】（1）作，根據條件證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；（2）取中點，然后證明平面，進而建立空間直角坐標系，利用坐標法即得.(1)作，交于點，由，則，∵，∴，即，∴且，連接，所以四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，且平面，∴平面．(2)取中點，連接、，∵，，，根據余弦定理得：，∴，則，又平面平面，平面平面，∴平面，∵是等邊三角形，∴，如圖建立空間直角坐標系，則，∴，∴，∴點到直線的距離為.31．(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，由空間向量求解（2）設出點坐標，由空間向量列方程求解(1)以為原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，故得，又，故點到面的距離為(2)設，則，，設為異面直線所成的角，由題意得，解得（舍去）故點E存在，32．(1)證明見解析(2)(3)(4)(5)【解析】【分析】（1）以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面．（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值．（4）求出的坐標，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點到平面的距離；（5）設點在平面內的射影為點，從而表示出的坐標，求出到平面的距離，列出方程組，求出點坐標，從而求出的長度.(1)四棱錐，底面是一個直角梯形，，平面，所以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，，，設平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線平面.(2)，，，設平面的法向量，則，即，取，則，設直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.(3)設平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.(4)，平面的法向量，所以點到平面的距離為.(5)設點在平面的射影為點，則，所以點到平面的距離為，根據，得解得，，，或者，，（舍）所以.33．(1)2(2)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量垂直充要條件列出等式，解之即可求得的值；（2）先由直線到平面的距離為求得的長度，再利用平面與平面法向量的夾角公式去求平面與平面夾角的正弦值.(1)在四棱錐中，，異面直線與所成的角為.即,又為兩相交直線，則平面取PD中點F，連接EF，又，則，則平面又四邊形中，，則，則三直線兩兩互相垂直以E為原點，分別以ED、EB、EF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖：設，則，，，，，，,設平面PBE的一個法向量為，則，即，令，則，則設，則由直線平面，可得，即則，解之得，則，又，則(2)由直線到平面的距離為，得點C到平面的距離為，又，為平面PBE的一個法向量則，即，解之得，則，，設平面的一個法向量為，又則，即，令，則，則設平面與平面夾角為則又，則34．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，進而證明結論；（2）由平面平面得平面，再結合幾何關系得，進而以為正交基底建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.(1)解：取中點，連接由分別為中點，得；在菱形中為中點，得,所以，所以為平行四邊形，故又平面平面，所以平面(2)解：因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又菱形中，，所以所以，以為正交基底建立空間直角坐標系則：，設，則，設平面的一個法向量為可得，取，又則點到平面的距離為，解得，.所以，又平面的一個法向量為，.設平面與平面所成的銳角為，則，所以平面與平面所成的銳角余弦值為35．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理即得；（2）由題建立空間直角坐標系，利用點到平面的距離的向量求法即得.(1)設PB的中點為G點，連接GF和GE，因為點G、點F分別為PB和PC的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形GFDE為平行四邊形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；(2)由二面角的大小為可知，平面平面，取BE得中點O，連接，則，平面，如圖建立空間直角坐標系，則，，所以，設平面PCD的法向量為，則，令則，又，所以點A到平面PCD的距離為.36．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）過點在平面內作，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.(1)證明：因為、分別為、的中點，則，平面，平面，因此，平面.(2)解：過點在平面內作，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.37．(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）推導出平面平面，，，由此能證明平面．（2）以為坐標原點，為軸，為軸，取中點，以為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點到平面的距離．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．(1)證明：在底面上的射影為的中點，即平面，又平面平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，，且，平面平面．(2)如圖所示，以為坐標原點，為軸，為軸，取中點，以為軸，建立空間直角坐標系，平面，平面，，所以平行四邊形是菱形，是的中點，，，，，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，所以到平面的距離，(3)解：平面，平面的法向量，，設二面角的平面角為，顯然為銳角，，二面角的余弦值為．38．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明出，，利用線面垂直和面