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專題04二次根式

考點(diǎn)01有意義

1.(2025?北京?中考真題)若6^二5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>l

【分析】本題主要考杳二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是

解題的關(guān)鍵.

此題可根據(jù)二次根式有意義的條件”被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”得到不等式求解.

【詳解】解：???4一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

，3x-3>0,

解得：A>1,

故答案為：X>1.

2.(2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)若代數(shù)式7三十(1-2025)°有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍

是.

【答案】x>3且XH2025

【分析】本題主要考查代數(shù)式有意義的條件，由二次根式及分式、零指數(shù)幕有意義的條件可得：x-3>0且

x-2025*0,求解即可得到答案.

【詳解】解：???代數(shù)式/J+(X-2025)°有意義，

???工一3>0且x-2025/O,

，工>3且XW2025.

故答案為：x>3目//2025.

3.(2025?四川涼山?中考真題)若式子亞己在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則加的取值范圍是.

w+2

【答案】^>1

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義則被開方數(shù)非負(fù)，

分式有意義則分母不為0是解題的關(guān)鍵.

w-1>0

根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件得到…。,再求解即可.

【詳解】解：???式子比1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

m+2

,w-1>0

?w?+2*0

角畢得：m>\,

???/〃的取值范圍是〃此1,

故答案為：〃此1.

4.（2024,黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)卜=-7』=+一二中，自變量x的取值范圍是______.

V3+Xx+2

【答案】工>-3且x-2

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組

解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)犍.

3+x>0

【詳解】解：由題意可得，

x+2w0’

解得x>-3且xw-2,

故答案為：x>-3且"-2.

5.（2024?上海?中考真題）已知、6』=1,則工=.

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.由

二次根式被開方數(shù)大于0可知?jiǎng)t可得出2x-l=l,求出x即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：2x-l>0,

??.2.1=1,

解得：x=l,

故答案為：1.

6.（2023?四川綿陽?中考真題）使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式

求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得:

x+3>0,4-3x20

4

解得-3<xt

???使代數(shù)式有意義的整數(shù)有-2,-1,0,1.

共有4個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非

負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是?？碱}型，比較簡(jiǎn)單.

7.（2023?湖南永州?中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使牛5在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有富義的工值

是.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得當(dāng)x-3<0時(shí)，G與沒有意義，解不等式，即川解答.

【詳解】解：當(dāng)x-3<0時(shí)，沒有意義，

解得x<3,

??,x為正整數(shù)，

???X可取1,2,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號(hào)下的式子小于零時(shí)，二次根式無意義，是解題的關(guān)

鍵.

8.（2023?湖南?中考真題）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有筋.6=而.該運(yùn)算法則成立的條件

是（）

A./>0B.a<0,b<0C.aK0,〃K（）D.t?>0,/）>0

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果.

a>0

【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得"2。，

ab>0

:.a>0,b>0,

故選：D.

3.(2025?湖南?中考真題)化簡(jiǎn)任=.

【答案】2G

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：舊=石港=2百，

故答案為：2百?

4.(2024?甘肅蘭州?中考真題)計(jì)算：a

【答案】6

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類二次根式即

可.

【詳解】解:原式=3百-假￡

=3x/3-25/3

=.

5.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則府1的化

簡(jiǎn)結(jié)果是()

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

【答案】A

【分析1本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，根據(jù)數(shù)軸可得-3<a<-2,

0<6<1,,再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知：-3<。<-2,0<6<1,

a-b<0,

/.^(a-b)2-(b-a-2)

=\a-b\-(b-a-2)

=-^a-b)-(b-a-2)

=-a+b-b+a+2

=2，

故選：A.

6.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）計(jì)算爐，所得結(jié)果是（）

A.3B.V6C.3石D.±3石

【答案】C

【分析】本題考查化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：V92-62=781-36=745=3>/5；

故選C.

7.（2024?青海西寧?中考真題）在一個(gè)不透明的袋中裝有5個(gè)相同的小球，分別寫有屈，g,a,廂,

后,隨機(jī)摸出一個(gè)小球，上面的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的概率是.

【答案】12/0.4

【分析】此題考查了簡(jiǎn)單概率的計(jì)算.熟練掌握概率的意義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.概率是隨機(jī)事件發(fā)

生可能性大小的數(shù)值，計(jì)算方法是在〃次等可能結(jié)果的一次試驗(yàn)中事件/包含其中的〃，種結(jié)果，力事件發(fā)

生的概率為

在5個(gè)二次根式中，6，J正是最簡(jiǎn)二次根式，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：在屈，g,m，廂,及7這5個(gè)二次根式中，后，而是最簡(jiǎn)二次根式，有2個(gè)，

???隨機(jī)摸出一個(gè)小球，上面的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的概率是2+5=（,

故答案為：j2.

8.（2025,天津?中考真題）計(jì)算（標(biāo)+1）（兩'-I）的結(jié)果為.

【答案】60

【分析】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式.

利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（而+1）（標(biāo)-1）

=61-1

=60，

故答案為：60.

9⑵24?江蘇南京?中考真題)計(jì)算”組

【答案】2G

【分析】本題考查/二次根式的乘除，根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：駕曲="=聒=26,

V2V2

故答案為：2\/6.

10.(2024?重慶?中考真題)已知用=用-百，則實(shí)數(shù)，”的范圍是()

A.2<m<3B.3<w<4C.4<w<5D.5<w<6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運(yùn)算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法

是解決此題的關(guān)鍵.先求出加=歷-百=/，即可求出機(jī)的范圍.

【詳解】解：???〃?=炳一百=3石一6=2百=厄，

???3<瓦<4,

3<m<4,

故選：B.

7(x\

11.(2023?湖北恩施?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：-r-7-1——；，其中工=石-2.

x--4x-2J

【分析】先把括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行通分，再將除法變?yōu)槌朔ɑ?jiǎn)，最后代入x的值計(jì)算即可.

2x-2-x

【詳解】解：原式=(?2)(.2)+,-2

2「2

-(x+2)(x-2)"7^2

2x-2

~(x+2)(x-2)~

:——1

x+2

當(dāng)工=石一2時(shí),

原式=--=4

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值和二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)分式是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?吉林長(zhǎng)春?中考真題）先化簡(jiǎn).再求值：（1+X）2-2X,其中X=

【答案】/+],4

【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式將括號(hào)展開后合并得最簡(jiǎn)結(jié)果，再把％代

入計(jì)算即可.

【詳解】解：（1+X）2-2X

=l+2x+x2-2x

=x2+\，

當(dāng)/=時(shí)'，原式三十1—3十1三4.

13.（2023?湖南湘西?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1+—;十&,其中4=0-

〈a-\Ja-1

【答案】。+1,6

【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)

結(jié)果，最后把。的值代入計(jì)算即

【詳解】解：[1+一二）+±

\a-\）a-1

。-1+1（a+l）（a-l）

a-\a

_a（4+l）（"l）

a-\a

=a+\

當(dāng)〃=亞-1時(shí)，原式=應(yīng)-1+1=71，

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)03二次根式中的規(guī)律問題

1.（2024?四川德陽?中考真題）將一組數(shù)五,2,#,2及，布,2石,…，歷，…，按以下方式進(jìn)行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VJVTO2V3

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）

A.772B.85/2C.屈D.4s

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從

而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，笫一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)數(shù)，

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是，2、29=屈，

故選：C.

2.（2025?安徽?中考真題）綜合與實(shí)踐

【項(xiàng)目主題】

某勞動(dòng)實(shí)踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環(huán)保組件改善小區(qū)幼兒園室內(nèi)活動(dòng)場(chǎng)地.

【項(xiàng)目準(zhǔn)備】

（1）密鋪知識(shí)學(xué)習(xí)：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，使圖形之間既沒有空隙也沒

有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪.

（2）密鋪方式構(gòu)建：運(yùn)用密鋪知識(shí)得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組件的

邊長(zhǎng)均為20cm.

（3）密鋪規(guī)律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”.

10cm

______________________________^|40cm_______

〈XXX…〈）0（）0（…寬206cm（）0（

圖1圖2圖3圖4

觀察發(fā)現(xiàn)：自左向右拼接圖1時(shí)，每增加一個(gè)圖3所示的拼接單元，則增加1個(gè)正六邊形和2個(gè)正三角形,

長(zhǎng)度增加40cm,從而x個(gè)這樣的拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度為（4Dx+10）cm.

自左向右拼接圖2時(shí)，每增加一個(gè)圖4所示的拼接單元，則增加①一個(gè)正六邊形和②_個(gè)正三角形，長(zhǎng)度增

加③_cm,從而），個(gè)這樣的拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度為④_cm.

【項(xiàng)目分析】

（1）項(xiàng)FI條件：場(chǎng)地為長(zhǎng)7.4m、寬6m的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價(jià)分別為1元和5元.

（2）基本約定：項(xiàng)目成本僅計(jì)算所需組件的費(fèi)用.

（3）方式確定:

（/,）考慮成本因素，采用圖1方式進(jìn)行密鋪；

（/7）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用?個(gè)正六邊形與兩個(gè)正三角形組件按圖1所示方式依

次交替拼接，當(dāng)不能繼續(xù)拼接時(shí)，該行拼接結(jié)束：

（L7）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方式逐行密鋪，直至不能拼接為止.

（4）方案論證：按上述確定的方式進(jìn)行密鋪，有以下兩種方案.

方案一：第一行沿著長(zhǎng)度為6”?的墻自左向右拼接（如圖5）.

<------X------X------X------X-6XmX----------X------X--------->|

VVVVVVVV第一行

AAAAAAAA

第二行

???

圖5

根據(jù)規(guī)律，令40X+10W600,解得XW14.75,所以每行可以先拼14塊拼接單元，即共用去14個(gè)正六邊形和

28個(gè)正三角形組件，由40x14+10=570知，所拼長(zhǎng)度為570cm,剩余30cm恰好還可以擺放一個(gè)正六邊形

組件（如圖5所小的陰影止六邊形）.最終需用15個(gè)止六邊形和28個(gè)止三角形組件，由5x15+1x28=103知,

方案一每行的成本為103元.

由干每行寬度為206cm（按石=1.73計(jì)算），設(shè)拼成s行，則20百s?740，解得sW王四之21.34，故需

3

鋪21行.由103x21=2163知，方案一所需的總成本為2163元.

方案二：第一行沿著長(zhǎng)度為7.4m的墻自左向右拼接.

類似于方案一的成本計(jì)算，令40.X+10W740..

方案二每行的成本為⑤一元，總成本為⑥一元.

【項(xiàng)目實(shí)施】

根據(jù)以上分析，選用總成本較少的方案完成實(shí)踐活動(dòng)（略）.

請(qǐng)將上述材料中橫線上所缺內(nèi)容補(bǔ)充完整：

:②；③：④：⑤：⑥.

【答案】①1;②6；③60：?60.V+10：⑤126：@2142

【分析】本題主要考查了平面鑲嵌，通過觀察圖4所示的拼接單元，數(shù)出增加的正六邊形和正三角形的數(shù)

量，再根據(jù)邊長(zhǎng)計(jì)算出長(zhǎng)度的增加量，進(jìn)而得出歹個(gè)拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度.涉及根據(jù)給定的拼接條件

進(jìn)行不等式計(jì)算，以確定拼接單元數(shù)量、組件數(shù)量，

進(jìn)而計(jì)算每行成本和總成本.方案二的計(jì)算方法與方案一類似.

【詳解】解：項(xiàng)目主題：

觀察圖4可知，每增加一個(gè)圖4所示的拼接單元，增加1個(gè)正六邊形和6個(gè)正三角

形；

由正六邊形和正三角形組件的邊長(zhǎng)均為20cm,觀察圖4可得

增加的長(zhǎng)度為3個(gè)邊長(zhǎng)，K|J3x20=60(cm)

計(jì)算y個(gè)拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度第一個(gè)拼接單元有一個(gè)正六邊形左邊的10cm,每增加一個(gè)拼接單元長(zhǎng)度

增加60cm,所以y個(gè)這樣的拼接單元拼成一行的長(zhǎng)度為(60y+10)cm

項(xiàng)目分析：

計(jì)算方案二每行可拼接的單元數(shù)量令40X+10W740,

移項(xiàng)可得40xW740-10,BP40%<730,

兩邊同時(shí)除以40,解得X418.25,

二.每行可以先拼18塊拼接單元.

計(jì)算方案二每行所需的正六邊形和正三角形組件數(shù)量

???拼18塊拼接單元，

???共用去18個(gè)正六邊形和2x18=36個(gè)正三角形組件.

由40x18+10=730知,所拼長(zhǎng)度為730cm,

剩余740-730=10cm,無法再擺放組件.

由5x18+1x36=90+36=126知，方案二每行的成本為126元.

由于每行寬度為20&m(按行=1.73計(jì)算)，設(shè)拼成s行，

則20氐4600,

600

兩邊同時(shí)除以20百,<=10\/3?17,

一20百

故需鋪17行.

計(jì)算方案二的總成本126x17=2142.

方案二所需的總成本為2142元.

項(xiàng)目實(shí)施：

兩種方案比較可知：2163>2142.

二?選方案二完成實(shí)踐活動(dòng).

故答案為：①1：②6；③60：@60y+10；⑤126；@2142.

3.(2024?江蘇鹽城?中考真題)發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

箱售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖I

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有〃個(gè)籽，每列有人個(gè)籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(〃，A均為正整數(shù)，〃>左23,”>()),如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖I是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)

為;

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為；

方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

解決問題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

^壬蕓由曲川…NNS

圖1圖2圖3

【答案】分析問題：方案1：(〃-1”；2k；2(〃-1)以；方案2：方案3：今xl2k-\'id;

解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解：方案

3：根據(jù)圖得出斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為宜還史，根據(jù)題意得一共有2〃列，2〃行，斜著鏟相

22

當(dāng)于有“條線段長(zhǎng)，同時(shí)有2%-1個(gè)，即可得出總路徑長(zhǎng)：

解決問題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：方案1:根據(jù)題意每行有〃個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為力

???每行鏟的路徑長(zhǎng)為（〃-1）",

???每列有4個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，

???相當(dāng)于有2%行，

???鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2（〃-1）以，

故答案為：（〃—l）d；2k：2（〃一1）成：

方案2：根據(jù)題意每列有2個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

???每列鏟的路徑長(zhǎng)為（"I"，

???每行有〃個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，，

???相當(dāng)于有2〃列，

???鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2（〃-1）而，

故答案為:2（k-l）dn；

方案3：由圖得斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為叵運(yùn),

22

根據(jù)題意得一共有2〃列，2k行,

斜著鏟相當(dāng)于有〃條線段長(zhǎng)，同時(shí)有2Z-1個(gè)，

，鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為：蟲x（2A-l）〃d;

解決問題

由上得：2（〃-1）或一2（4-1）"〃=2ndk-2dk-Indk+2dn=2?〃一@>（,

???方案1的路徑總長(zhǎng)大于方案2的路徑總長(zhǎng)；

2?-1）力L*X（2Z—1）力?=（2-/2）攵—卜幾

當(dāng)上=3時(shí)，

（2—0卜3-2+4=4一（>0，

2（k-\）dn-^[2k-\）dn>0?

，方案3鏟籽路徑總長(zhǎng)最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對(duì)菠蘿的損耗.

4.（2021?青海?中考真題）觀察下列各等式:①

以上規(guī)律，請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：.

【答案】6舟桎

【分析】根據(jù)左邊根號(hào)外的因數(shù)與根號(hào)內(nèi)的分子相同，根號(hào)內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號(hào)內(nèi)為

左邊根號(hào)外與根號(hào)內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第〃個(gè)等式，再將〃=6代入即可求出答案.

【詳解】解：猜想第〃個(gè)為：

（〃為大『等J'2的自然數(shù)）；

理由如下：

V/i>2,

提取公因式得:

"后

分解分子得：

^n2-1Vn2-1n2-\\n2-1

即：

第