2024-2025學年河南省駐馬店市某中學高二（下）期中考試

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在平面直角坐標系xOy中，曲線C：苧+粵=1的周長為（）

43

A.12B.14C.16D.20

2.若(爐+4)仁+3)6的展開式中％3的系數(shù)為75,則Q=()

aVx

A.土等B.±1C.±2D.±4

3.若隨機變量X?8(10,0.6),貝I]D(2X—1)=()

A.4.8B.2.4C,9.6D.8.6

4.已知N=(4,2,3),空間向量方為單位向量，位,初=李，則空間向量方在向量方方向上的投影向量為()

11

A.2eB.12eC.——aD.-a

5.已知拋物線%2=16y上的點M到焦點F的距離為6,則點M到y(tǒng)軸的距離為（）

A.2合B.472C.2D.4

6.設%是等差數(shù)列｛總的前n項和，若/=今，則胎=（）

395

A3B-C—D-

Ay*7,16*9

7.已知曲線y=ln（x—1）+ax在x=2處的切線方程為y=2久+6,則b=（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知正方體力BCD-4/1的。1，如圖，延長BiB至P使BP=2BB1，。為8的的中點，設交平面A8CD

于K,則下列說法正確的是（）

A.小。與28異面

B.D1K=^-DK

C.NK。。的余弦值為要

D.平面％K。與平面41%的。1的夾角的正切值為，國

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.在平面直角坐標系上的一只螞蟻從原點出發(fā)，每次隨機地向上、下、左、右四個方向移動1個單位長度,

移動6次，則（）

第1頁，共17頁

A.螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度的概率是言

B.螞蟻移動到點(3,3)的概率為急

C.螞蟻回到原點的概率為金

D.螞蟻移動到直線y=x上的概率為意

10.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9

B.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1—P(D|C),貝UC,。相互獨立

C.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4%+a,

若其中一個散點坐標為(—a,5.4),貝！|a=9

D.將兩個具有相關關系的變量x,y的一組數(shù)據(jù)Oi，yD，(x2,y2),(xn,%J調(diào)整為(巧,當+3)，

(x,y+3),(x,y+3),決定系數(shù)R?不變(附：b="片？與，)，a=y—bx,#=i一第詈岑_)

22nnLi=1ixi-x)Zj=l(%一力

11.在數(shù)列｛an｝中，的=1,對任意ni,neN+,am+n-am+an+2mn,貝！J()

A.a4=16

B.｛冊｝為遞增數(shù)列

C.｛an｝為等差數(shù)列

D.」一+二一+二一+…+」一=衛(wèi)

。1+1。2+2。3+3。2。+2021

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(久)=logax(a>1)的導函數(shù)是f'(久)，記力=/'(a),B=f'(a+1),C=管黑詈則4、

B、C的大小關系是.

13.設等差數(shù)列｛%｝,也｝的前幾項和分別為%,Tn,若含=指，則魯=.

14.2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學在內(nèi)共有16個學

科900多項實驗與實踐活動.我市某學校的數(shù)學老師組織學生到“牛馬司農(nóng)產(chǎn)品基地”進行科學實踐活動，

在某種植番石榴的果園中，尹詩老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以

向前走，不能回頭.結果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走

到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設小明在果園中一共會遇到幾顆番石榴(不妨設n

顆番石榴的大小各不相同)，最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中

第2頁，共17頁

摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前k(l<k<n)顆番石榴，自第k+1顆開始,

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.記該學生摘到那顆最大的番石

榴的概率為P,若n=4,fc=2,則「=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調(diào)查了

100人，并將結果整理如下：

單位：人

態(tài)度

年齡段合計

不喜歡喝茶喜歡喝茶

35歲以上(含35歲)303060

35歲以下251540

合計5545100

(1)依據(jù)小概率值a=0.1的/獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關？

(2)以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術

節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為X,求X的分布列與期望.

n^ad-bc)2

參考公式:Z2其中n=a+%+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(久)=ex~2a,g(久)=Inx.

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(1/(1))處的切線方程;

(2)若a=l,是否存在直線與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，若存在求出所有這樣的直線；若不存在，請

說明理由.

17.(本小題15分)

nn

已知數(shù)列｛an｝滿足的=5,an+1-2an=3(n6N*),記bn=an_3.

(1)求證：｛%｝是等比數(shù)列；

第3頁，共17頁

(2)設品=用口，數(shù)列｛%｝的前兀項和為％,若不等式(-l)/<Sn+/對一切neN*恒成立，求實數(shù)4的取

值范圍.

18.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，PD_L平面4BCD,AB//CD,AB1BC,AB=2CD=2BC=2a.

(1)求證：AD_L平面P8D；

(2)若PD=a,求平面PAB與平面PBD所成銳二面角的余弦值.

19.(本小題17分)

已知力(-2,0),8(1,|)兩點在橢圓C：，+噲=1上，直線及橢圓C于P,Q兩點(P,Q均不與4點重合)，過4

作直線I的垂線，垂足為從

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線AP,4Q的斜率分別為自，k2,當自+電=1時,

(W證：直線計亙過定點，并求出定點坐標；

理|。小的最小值.

第4頁，共17頁

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：在第一象限中，%>0,y>0,曲線方程耳+粵=1可化為［+曰=1,即y=3—,x.

它與乂軸的交點為(4,0),與y軸的交點為(0,3).

根據(jù)兩點間距離公式d=/(%2—/)2+(>2-%)2,

在第一象限中，該直線段的兩個端點為(4,0)和(0,3),

則此線段的長度為J(4一0)2+(0—3尸=V16+9=，汨=5,

因為曲線耳+母=1關于%軸、y軸對稱，所以整個曲線是由四個這樣長度為5的線段組成.

那么曲線的周長為4x5=20.

故選：D.

曲線塔+呼=1的圖形關于x軸、y軸對稱，我們可以先分析第一象限的情況，然后根據(jù)對稱性求出整個曲

線的周長.

本題考查曲線與方程，屬于中檔題.

2.【答案】B

【解析】解：二項式《+左)6展開式的通項公式為底+1=酸(尸(意)JC照尸產(chǎn)竽，卜=0,1,2,

3,4,5,6,

令6—=3,得k=2；令6—工k=0,得k=4；

所以(爐+4)仁+上)6中爐的系數(shù)為2X(1)4+雋X(-)2=75,解得a=±1.

CLVX4CCLCL

故選：B.

利用(尹專K展開式的通項公式底+1=俄弓尸/號即可求解.

本題考查二項式定理的應用，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：???隨機變量X?8(10,0.6),

???D(X)=10x0.6x(1-0.6)=2.4,

D(2X-1)=22D(X)=4x2.4=9.6.

故選：C.

第5頁，共17頁

根據(jù)已知條件，結合二項分布的方差公式，以及方差的線性公式，即可求解.

本題主要考查二項分布的方差公式，以及方差的線性公式，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：已知彼=(0,2,3),空間向量?為單位向量，且<五,3>=手

則空間向量,在向量方方向上的投影向量為警?落

因為Z為單位向量，同=1,位，為=專,

,2177"

所以五?》=,3+4+9xcosy=-2,

所以粵Z=—2落

|e|

故選：B.

由投影向量的計算公式即可求解.

本題考查的知識點：向量的投影向量，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：已知拋物線廣=16y上的點M到焦點F的距離為6,

則尸(0,4),

則YM+4=6，

即VM=2，

則四=32,

則|%MI=4>f2,

則點M到y(tǒng)軸的距離為4/2.

故選：B.

由拋物線的性質，結合拋物線的定義求解即可.

本題考查了拋物線的性質，重點考查了拋物線的定義，屬基礎題.

6.【答案】C

<14m+4(4T)d1

【解析】解：因為餐=)，所以由等差數(shù)列的前n項和公式，得18島)另，

S848。1+*欠d4

則2^="即16的+24d=8%+28d,得到d=2%,

oQ|+ZoU4

in.12(12-1),

prprS12_12。1+2d_12。1+66d_12。1+132al_144__9_

歷以嘉一16./16(莊巧-16臼+120d-16臼+240al-256-16,

故選：C.

第6頁，共17頁

設出首項和公差，利用率得到d=2%,再求值即可.

為4

本題主要考查等差數(shù)列前幾項和公式，屬于基礎題.

7.【答案】A

.’1

【解析】解：因為y=f(x)=ln(x-1)+ax,所以/''(x)=[五+a,

所以f(2)=2a,1(2)=a+1,

又曲線y=ln(x-1)+ax在久=2處的切線方程為y-2x+b,

所以/''(2)—a+1—2,所以a=l,

所以切點坐標為(2,2),又其在切線：y=2x+b±,

所以2=4+6,所以6=-2.

故選：A.

根據(jù)導數(shù)的幾何意義，方程思想，即可求解.

本題考查函數(shù)的切線問題，導數(shù)的幾何意義的應用，屬基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：連接人。1，易知。8=：力。1，OB//ADr,

所以四邊形AB。氏為直角梯形，與。1。相交，故/錯誤；

令正方體的棱長為3,由BP=28/，

知BK==272,DK=BD—BK=/I，

D]K=+DK2=AHI，

所以鬻=答=孚，D、K=^DK，故8錯誤；

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，貝i」C(030)，K(LLO)，。(|，3,|),

第7頁，共17頁

原=(_a_2,_|),泥=(—1,0,—|),市.瓦=#43,|網(wǎng)==苧,

所以COSNKOC=屋3題=喑，故C錯誤；

丁X丁

由。1(0,0,3),K(l,l,o)，。(|,3,|),市=(1,1,—3),用=(|,3,一|),

易知平面4/1的。1的法向量4=(0,0,1),

設平面。冰。的法向量藥=(x,y,z),

則［空1區(qū)則悝氏，則

1%。1藥I/。.記=0匕％+3'-產(chǎn)=。=3x+6y—3z=。

取x=-5,得y=2,z=-l,則說=(一5,2,-1),

所以說-U2=~1，l^il=1，\u^\-V25+4+1——V30,

所以|cos(說，說＞|=|急|=|一鬻|=等|sin〈訪，石)|=

所以|tan〈說，說)|=，西，。正確.

故選：D.

連接4D1，可得四邊形4B。％為直角梯形，可判斷4

令正方體的棱長為3,計算可得能=空判斷B；

以。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求得COSNKOC判斷C；

求得平面481的。1的一個法向量和平面0K。的一個法向量，進而利用向量法可求得二面角的夾角的余弦值,

進而可求得正切值判斷。.

本題考查向量法的應用，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于4螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度，則每一步的位置只能是(0,0)或原點的上下左

右四個點，

最開始螞蟻在原點，第一次移動有上下左右4種走法，第二次移動只能回到原點，即只有1種走法，

同理第三次移動有上下左右4種走法，第四次移動只能回到原點，即只有1種走法,

第五次移動有上下左右4種走法，第六次移動只能回到原點，即只有1種走法,

所以滿足題意的共有4x1x4x1x4x1=64種路徑，

而移動6次，每次有4種走法，即總路徑數(shù)為46,

第8頁，共17頁

由古典概型可知螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度的概率為雋=白，故/正確；

4064

對于8,螞蟻移動到點(3,3),則需恰好右移3次，上移3次，路徑數(shù)為碇=20種，

所以螞蟻移動到點(3,3)的概率為患=離，故2錯誤；

對于C,要回到原點，則左右移動次數(shù)相等，均為a次；上下移動次數(shù)相等，均為b次,

總次數(shù)滿足2a+26=6,即a+b=3,

可能的組合有:

?a=3,b=0,即左右都3次，路徑數(shù)為僚=20種；

@a=2,b=l,即左右均2次，上下均1次，路徑數(shù)為牖鬣g=180種;

@a=l,b=2,即左右均1次，上下均2次，路徑數(shù)為量最C：=180種;

孰=0,b=3,即上下都3次，路徑數(shù)為《=20種；

所以路徑總數(shù)為20+180+180+20=400種,

故螞蟻移動到點(3,3)的概率為竿=我，故C正確；

對于D,螞蟻要移動到直線y=x上，則水平凈移動(向右移動次數(shù)減去向左移動次數(shù))要等于垂直凈移動(向

上移動次數(shù)減去向下移動次數(shù))，

例如，向右移動3次，向左移動1次，則水平凈移動為3-1=2,向上移動2次，向下移動0次，則垂直

凈移動為2-0=2次，此時螞蟻位于(2,2),符合題意，

設水平凈移動為n,則垂直凈移動也為人

當n=0時，水平和垂直凈移動均為0,即回到坐標原點，也即C選項所考慮的結果，共400種；

當九=1時，水平和垂直凈移動均為1,設向左次數(shù)為則向右次數(shù)為1+1；設向下次數(shù)為則向上次數(shù)

為m+1,

總移動次數(shù)，+1+1+m+血+1=6,BPZ+m=2,所以可能的組合有：

①1=3爪=2,此時向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路徑數(shù)為3,5=60種；

②1=1,m=l,此時向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路徑數(shù)為點或屈=180種；

③1=2,m=0,此時向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路徑數(shù)為底或=60種；

所以當n=1時，路徑總數(shù)為60+180+60=300種；

由對稱性，可知當n=-1時，路徑總數(shù)也為300種；

當幾=2時，水平和垂直凈移動均為2,設向左次數(shù)為Z,則向右次數(shù)為2+2；設向下次數(shù)為小，則向上次數(shù)

為m+2,

第9頁，共17頁

總移動次數(shù)2+1+2+m+爪+2=6,BPZ+m=1,所以可能的組合有：

0=0,7n=1,此時向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路徑數(shù)為點或=60種；

②1=Lm=0,此時向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路徑數(shù)為猿髭=60種；

所以當n=2時，路徑總數(shù)為60+60-120種；

由對稱性，可知當幾=-2時，路徑總數(shù)也為120種；

當n=3時，水平和垂直凈移動均為3,設向左次數(shù)為Z,則向右次數(shù)為1+3；設向下次數(shù)為小，則向上次數(shù)

為m+3,

總移動次數(shù)Z+l+3+m+m+3-6,即Z=m=0,

所以可能的組合只有：1=0,a=0,此時向右3次，向左0次，向上3次，向下。次，路徑數(shù)為或=20

種；

由對稱性，可知當n=-3時，路徑總數(shù)也為20種；

當幾=4或絕對值更大時，總移動次數(shù)會超過6次，不符合題意，

故螞蟻移動到直線y=x上的總路徑數(shù)為400+300x2+120x2+20x2=1280種，

所以概率為甯=段，故。正確.

故選：ACD.

對于4由題意可知螞蟻每一步的位置只能是(0,0)或原點的上下左右四個點，第一次從坐標原點出發(fā)，有上

下左右4種走法，第二次移動只能回到原點，即只有1種走法，同理可得后面四次的走法，利用分步乘法

計數(shù)原理可得符合題意的路徑數(shù)，而總路徑數(shù)易得為46種，利用古典概型可算得其概率；對于B,螞蟻移動

到點(3,3),則需恰好右移3次，上移3次，路徑數(shù)為或種，利用古典概型可算得其概率；對于C,要回到

原點，則左右移動次數(shù)相等，需要分類討論，求出符合題意的路徑數(shù)，再除以總路徑數(shù)即可求得其概率；

對于。，可設凈移動的概念，則滿足題意的凈移動取值有±3,±2,±1,0,類似C選項的分析，進行分類討

論同時可以考慮問題的對稱性，可求得符合題意的路徑總數(shù)，再除以總路徑數(shù)即可求得其概率.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了排列組合知識，屬于難題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于4把數(shù)據(jù)從小到大排列為：3,4,6,7,8,9,10,11,

因為8x75%=6,

所以數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為誓=9.5,故/錯誤；

對于B,因為P(D)=1—P(D|C),所以P(O|C)=P(O),

第10頁，共17頁

由條件概率公式得P(D|C)=陪.

得到P(CD)=P(C)-P(D),即C,D相互獨立，故8正確；

對于C,散點不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯誤；

對于。，由于R2=1—學?二之%變成了%+3,

%=1\yi—y)

r

則y，-y+3,yi-bxt+a+3—yt+3,

從而%-%，%-y都不變，則R2=(R')2,故￡)正確.

故選：BD.

利用上四分位數(shù)的性質判斷4利用條件概率公式和獨立事件概率公式判斷B,利用散點圖的性質判斷C,利

用決定系數(shù)的性質判斷。即可.

本題主要考查了百分位數(shù)的定義，考查了條件概率公式，以及線性回歸方程的性質，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：在數(shù)列｛廝｝中，⑥=1,對任意rn,neN+,am+n=am+an+2mn,

可令zn=1,即有ai+n=%+an+2n,即為“+i—an=2n+1,

則。幾=ctj+(a2—a】)+(<23—a，2)+...+(cin—a“_i)=1+3+5+...+(2n-1)=/，

上式對n=1也成立，

則。4=16,數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列，不為等差數(shù)列，故正確，C錯誤；

由=工—工，可得，+―++^_=1—工+工_4++工—工=i—J_=型，

mJ

an+nn(n+l)nn+1'^^+1a2+2a20+2022320212121

故。正確.

故選：ABD.

可令zn=l,推得冊+i-冊=2n+1,由累加法求得“=足，再對各個選項分析，可得結論.

本題考查數(shù)列的遞推式和累加法，以及數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，

屬于中檔題.

12.【答案】A>C>B

【解析】解：由已知2=y，(a),B-ff(a+1),分別是函數(shù)/'(%)=logM在x=a，久=a+1處的切線斜

率，

C=偌苔箸是點(a,f(砌)與(a+l,/(a+1))連線的斜率，

如圖：自左向右，三條直線的斜率分別為4C,B,其傾斜角皆為銳角，

且從左向右依次減小，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，貝IM>C>B；

第11頁，共17頁

同理，可作出當。<a<l時，函數(shù)圖象及三條直線，類似的也可以得到A>C〉B.

故答案為A>C>B

利用導數(shù)的幾何意義以及B的幾何意義，利用數(shù)形結合的方法求解，注意分a>l,和。<a<l兩種情況

討論.

這道題主要是考查了導數(shù)的幾何意義，畫出圖象直觀的觀察它們傾斜角的變化，進一步研究斜率的變化即

可獲得解答.

13.【答案】

【解析】解：因為等差數(shù)列｛%｝,也｝的前4項和分別為工，Tn,

所以S"=17（佝；臼7）=17a9,T17=比7）=17b9,

[r]||￡9_^17_17+1_9

人%-T17~2x17+4-19?

故答案為：卷.

根據(jù)等差數(shù)列前幾項和的性質，可得詈=2，結合金=怨，可求出詈.

匕9/17Tn2n+4比

本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質，屬于基礎題.

14.【答案】總

【解析】解：假設小明在果園中一共會遇到n顆番石榴（不妨設n顆番石榴的大小各不相同），

最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，

方法是：不摘前k（lWk<n）顆番石榴，自第k+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.

若=4,k=2,

可得4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，有用=24種情況，

第12頁，共17頁

要摘到那顆最大的番石榴，有以下兩種情況.

①最大的番石榴是第3顆，其他的隨意在哪個位置，有“=6種情況；

②最大的番石榴是最后1顆，第二大的番石榴是第1顆或第2顆，

其他的隨意在哪個位置，有2掰=4種情況，

所以所求概率為2=啜=得.

1Z

故答案為：志.

利用排列分析4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，再分類討論最大的番石榴位置，利用古典概型求

解即可.

本題考查數(shù)列與概率的綜合，以及分類討論的方法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

15.【答案】不能;

【解析】解：(1)零假設Ho：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系,

100x(30x15-30x25)2

則/2=工=1.515<2.706,

60x40x55x45

根據(jù)小概率值a=0.1的公獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷/不成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒

有關系;

(2)由題意可知，X的取值可能為0,1,2,

則P(x=0)=(|)2=[P(X=1)=/X[x|/P(X=2)=(1)2=

所以X的分布列為：

X012

441

P

999

所以E(X)=0x§+lx§+2x"=!\

(1)根據(jù)列聯(lián)表計算得出*2的值即可得出結論；

(2)易知X的所有取值可能為0,1,2,分別計算出對應概率可得分布列及其期望值.

本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)當a=2時，f(x)=ef所以f#(%)=

所以/(1)=「'(l)=e-3,

所以當a=2時，y=/(久)在點(1,/(1))處的切線方程為：

y—e~3=e~3(x—1),即為％—e3y=0；

第13頁，共17頁

(2)若a=1,則/(%)=ex~2,g(%)=In%,

所以f/(%)=ex~2,g/(%)=

若存在兩函數(shù)的公切線分別切兩函數(shù)于點/(第1，?肛一2),B(%2/n%2)，

則/1-2==——-lnx2^所以久-/一巧，

%2%1-%2

所以(%i-l)eX1-2=—1,

解得3：或七;〕

所以力(l,e-i),B[e,1),所求切線為y—l=eT(x—e),

或A(2,l),所求切線為y=x-l,

即存在切線ey-x=0或x-y-1=0滿足題意.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

n

17.【答案】解：(1)證明:由On+i—20n=3,得冊+i-3"+1=2(%—3"),

1n

-3=5—3=20,且“—an—3,

■-bn+1=2bn,即數(shù)列｛"｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列;

n

(2)由(1)知，bn=2x2-1=2,

2n+l_2n+l

則7

3s72n—12n+l

+n

2n-l2'

2n-l2n+l

衿=?+瑟+環(huán)+…+2n'2n+l9

兩式作差得：/=|+￡+去+…+￡l

_32。一2n+l_512n+l

-52n+1~2~2n-1-2rl+1'

則Sn=5—(2踐+5)(物，

n

若不等式(—l)A<Sn+舟對一切nGN*恒成立，

即(—1)”<5-(2n+5)弓廠+券對一切neN*恒成立,

則(-l)n2<5[1-g)n]對一切neN*恒成立，

當九為奇數(shù)時，有—％<511—弓)"],貝iu>—'i；

第14頁，共17頁

當n為偶數(shù)時,有4<5[1-(抄],則4cM.

綜上所述，4的取值范圍為(T，不.

Z4

【解析】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，屬于

中檔題.

(1)由0n+1-2冊=3",得%+1-3八+1=2(%-3"),即可證明數(shù)列｛bn｝是以2為首項，以2為公比的等比

數(shù)列；

(2)由(1)知，bn=2x2"T=2",代入"=胃，利用錯位相減法求和，再代入不等式(―1)9<5八+冊,

整理后對？I分類求解得答案.

18.【答案】證明見解析；!

【解析】（1）證明：因為力B//CD,AB1BC,AB=2CD=2BC=2a,

所以四邊形為直角梯形，取A8中點E,連接DE,

則4E=5E=Q,則四邊形BCDE為正方形,

yTla，BD=>J~2BC—

^^AD2+BD2=AB2,所以ADIB。,

因為PD1平面力BCD,ADu平面力BCD,所以4。1PD,

因為PDCiBD=D,PDu平面PBD,BDu平面PBD,

所以力D_L平面P8D.

(2)由(1)可知，AD,PD、BD兩兩垂直，以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

第15頁，共17頁

因為力B=2CD=2BC=2ct,PD=a,

則A(，^a,O,O),P(O,O,a),

則荏=(—7^a,/Ia,0),AP=(-72a,0,a),

設平面P4B的一個法向量訪=(x,y,z),

Ijlljfm1AB貝|伊,4B-0即卜^Tiax+ay-0

l訪1APl沅-AP—0［—y/-2ax+az=0

令z=/