2024-2025學(xué)年福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.化簡同一而+元一元=()

A.2SDB.0C.BDD.0

3.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是()

11

AB

3-2-

4.已知是兩條不重合的直線，a,0是兩個(gè)不重合的平面，貝1)()

A.若小〃a,則zn〃nB.若m〃a,m10,貝！Ja〃￡

C.若1.,則ni〃7iD.若aL則7nln

5.已知高均為1的圓柱和圓錐的底面半徑相等，且側(cè)面積相等，則圓錐的體積為()

A苧TTB.ITC.V3nD.3n

6.若cos(a-S)=得,cos2a=，，且a為銳角，/?為鈍角，則cos(a+/?)=()

*5+24/7_5-24/7?12+10VT_12-10<2

BD

7.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，&表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2”，4表示事件“第一次拋擲

骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，區(qū)表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，4表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)

之和為7”,則()

A./與4為對立事件B.4與4為相互獨(dú)立事件

C.4與4為相互獨(dú)立事件D.4與4為互斥事件

8.已知點(diǎn)P是平行四邊形4BCD內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足河+2而+3同+4而=6,設(shè)三角形PBC和平行四邊

形力BCD的面積分別是Si和S2,則祗=()

1111

A5BqC.-D.-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知向量1=(3,-1),b=(1,2),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.a1bB.|a+h|=V17

C.若m=(t,l)且“，貝肥=一3D.c?與另夾角的余弦值為宗

10.已知函數(shù)f(x)=3sin(3久+9)(3＞0,0＜卬＜IT)的部分圖象如圖所示，=3,f(0)=等,

/⑶=-3則()

A.3=2

2TT

B.g=守

C"(x—看)為奇函數(shù)

D.當(dāng)f(x)在［0,打上恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，,WtW等

3O

11.如圖，棱長為2的正方體48CD-41%的久中，E為棱DA的中點(diǎn)，尸為正方形gCDDi內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包

括邊界)，且當(dāng)尸//平面&BE,則下列說法正確的有()

A動(dòng)點(diǎn)尸軌跡的長度為，2

B.直線與不可能垂直

C.當(dāng)三棱錐當(dāng)-的體積最小時(shí)，直線當(dāng)尸與2#所成角的余弦值為需

D.當(dāng)三棱錐為-的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為二：

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，夕1/軸，C，D7/y'軸，CB'=

/2,A'B'=5,則回4B'C’的原圖形的面積為.

13.如圖，在使用無人機(jī)測量某塔高度的過程中，發(fā)現(xiàn)在地面上選擇一個(gè)觀測點(diǎn)C,在C處測得4處的無人

機(jī)和塔頂M的仰角分別為30。，45°,且在4處無人機(jī)測得點(diǎn)M的仰角為15。，點(diǎn)B,C,N在同一條直線上.則

塔的高度MN與無人機(jī)距地面的高度4B之比為.

14.己知函數(shù)/(X)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，滿足f(l+x)=/(l—x),若/⑴=2,則f(l)+/(2)+

/⑶+…+”2024)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某企業(yè)為了解員工對“工作任務(wù)安排”的認(rèn)可程度，人力部門隨機(jī)抽取了200名員工，根據(jù)這200名員工對

“工作任務(wù)安排”的認(rèn)可程度給出的評分(評分均在，50,100/內(nèi))，將所得數(shù)據(jù)分成五組：

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求小的值，并估計(jì)這200名員工評分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)估計(jì)這200名員工評分的第60百分位數(shù)；

(3)為了了解部分員工對“工作任務(wù)安排”的認(rèn)可程度較低的原因，人力部門從評分落在

[50,60),[60,70),[70,80)的員工中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取54人進(jìn)行溝通，求抽取的評分落在[70,80)內(nèi)

的人數(shù).

16.（本小題15分）

如圖，在四棱錐?！?BCD中，底面力BCD是邊長為2的菱形，AABC=60",。4_1_平面ZBCD,OA=2,M

為。4的中點(diǎn)，P為CD的中點(diǎn).

（1）求證：CD_L平面AMP；

（2）求證：MP〃平面OBC；

（3）求三棱錐M-PAD的體積.

17.（本小題15分）

為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量

y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)

的底數(shù)），根據(jù)如圖提供的信息：

（1）求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為保證學(xué)生的身體健康，規(guī)定當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克及以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室.

請計(jì)算從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)，學(xué)生才能回到教室.（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7）

18.（本小題17分）

如圖，在EMBC中，。是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且4WB=亨.

c

D

AEB

(1)已知D,E在2B的垂直平分線上，且CD—AD=1,AB=G

①求ac；

②若。為回ABC外接圓的圓心，。1為回4BD外接圓的圓心，求。?！?/p>

(2)若DE是乙的角平分線，AB=2/3,求0E的最大值.

19.(本小題17分)

己知平面四邊形48CD,AB=AD=2,^BAD=60°,/.BCD=30",現(xiàn)將沿8。邊折起，使得平面

4BD1平面BCD,此時(shí)AD1CD,點(diǎn)P為線段AD的中點(diǎn).

(1)求證：BP_L平面4CD；

(2)若M為CD的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，求二面角P-BM-。的平面角的余弦值.

參考答案

1.D

2.D

3.4

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.BCD

1Q.AB

U.ACD

12.10

13.2

14.0

15.解:(1)由題意知(0.010+0.015+爪+0.030+0.025)X10=1,解得m=0.020.

估計(jì)這200名員工評分的平均數(shù)元=55x0.1+65x0.15+75x0.2+85X0.3+95x0.25=79.5.

(2)前3組的頻率為(0.010+0.015+0.020)x10=0.45,

前4組的頻率為(0.010+0.015+0.020+0.03)X10=0.75,

則第60百分位數(shù)位于［80,90),設(shè)為x,

則0.45+(久一80)X0.030=0.6,解得％=85,

即這200名員工評分的第60百分位數(shù)為85.

(3)評分落在［50,60)的人數(shù)：0.01x10x200=20,

評分落在［60,70)的人數(shù)：0.015x10x200=30,

評分落在［70,80)的人數(shù)：0.020X10X200=40,

所以評分落在區(qū)間［50,60),［60,70),［70,80)的員工的人數(shù)比例為20:30:40=2:3:4,

所以應(yīng)抽取的評分落在［70,80)內(nèi)的人數(shù)為54x式占=24.

16.解:⑴連接4C,

因?yàn)镃M1平面ABC。，CDu平面ABC。，所以。21CD,

因四邊形4BCD為菱形且乙4BC=60°,貝I]EMCD為正三角形,

又P為CD的中點(diǎn)，貝MP1CD,

5LOAHAP=A,。4,4Pu平面M4P,貝UCD_1_平面用40.

(2)設(shè)N為線段0B的中點(diǎn)，連接MN、CN,

因M為04的中點(diǎn)，則MN〃4B,且MN=：4B,

XCD//ABS.CD=AB,P為CD的中點(diǎn)，則MN//CP且MN=CP,

則四邊形MNCP為平行四邊形，則MP〃NC,

又MPC平面。8C,CNu平面。BC,則MP〃平面。BC；

(3)???CD=2,[34CD為正三角形，

???AP=y[3,PD=1,

v0A=2,M為04的中點(diǎn)，

???AM=1,

^M-PAD~

故三棱錐M-PAD的體積為^.

o

17.解：(1)由圖，直線過點(diǎn)(0.1,1),所以圖象中線段的方程為y=10t(0WtW0.1),

/1\t-a-a

又點(diǎn)(0.1,1)在曲線y=卜)上，所以1=卜)，則a=0.1,

所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

10t(0<t<0.1)

七一0.1

(t)(t>。，)

（2）因?yàn)樗幬镝尫胚^程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于0.25毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室,

所以只能當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到0.25毫克及以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室,

則01<0.25,所以G）’01<G『管，所以t一0.1>ln4,解得t>1,5,

所以從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過1.5小時(shí)，學(xué)生才能回到教室.

18.(1)①因?yàn)?。，E在48的垂直平分線上，

所以，DA=DB,EA=EB,即E是28的中點(diǎn)，且回D4B為等腰三角形，

所以，DE1AB,^EDA=Z.EDB=^ADB=\B=y.

L36

又AB=O,

所以DE==I，AD==1,DB=AD=1.

2tan12sin?

又CD-AD=1,

所以CD=2,BC=CD+BD=3.

在團(tuán)ABC中，有B=?,BC=3,AB=/3,

由余弦定理可得4C2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=3+9-2xCx3x苧=3,

所以，AC—yj~3.

②易知點(diǎn)。,。1在直線DE上，且在直線AB的同側(cè)，則。。1=OE-。1￡

設(shè)團(tuán)ABC外接圓的半徑為R,回28。外接圓的半徑為

貝l」2R=當(dāng)=20，

sinn

所以R=-\/_3>OA=R=?

在Rt回OEA中,有OE=y/OA2-AE2=|.

2a=*=2,

所以Ri=1,OrA=%=1.

22

在RtEI。送力中，有。iE=4O1A-AE=

所以，。。1=OE-OrE=1.

（2）由已知DE是乙4DB的角平分線，AB=26,^ADB=y,

可得，乙ADE=ABDE=￡.

所以，s^ABD=s^ADE+s^BDE,

1-11

^DA-DBsinZ-ADB=^DA-DEsm^ADE+^DE-DBsmz.BDE,

整理可得ZM-DB=DA-DE+DE-DB=DE{DA+DS）,

所以有』既需

又DA+DBN27DA-DB,當(dāng)且僅當(dāng)ZM=DB時(shí)等號成立，此時(shí)DE有最大值,

此時(shí)回4BD為等腰三角形，DE1AB,B=￡且BE=^AB=73,

此時(shí)有DB=彗=耳=2,DA=DB=2,

COS丁衛(wèi)

62

r-r-.?DA,DB/DA,DBVDA-DB

所以s有DE=訴族《云布福=k~=4L

即0E的最大值為1.

19.解：（1）證明：AB=4D,^BAD=60°,

??.△ABD為等邊三角形，

???P為4。中點(diǎn)，.-.BP1AD,

取BD中點(diǎn)E,連接4E,則AE1BD,

?.?平面力RD_L平面BCD,平面ABDC平面BCD=BD,AEu平面ABD,

???AE1平面BCD，又CDu平面BCD,

???AE1CD.

XvCD1AD,ADCiAE=A,AD、AEu平面ABD,

???CD1平面ABD.

???BPu平面ABD,???CDIBP.

又???CDCtAD=D,CD,ADu平面ACD,

.-.BP1平面力CD.

解：（2）過點(diǎn)M作MH1PC,垂足為從如圖所示

A

由(1)知，8Pl平面ACD.

因?yàn)镸HU平面力CD,所以BPIM”.

又BPCPC=P,BP,PC^^BPC,所以M”_L平面BPC,

所以NMPC為MP與平面BPC所成角.

由(1)知,CD1平面力BD,BDu平面BBD,所以CD1BD.

在Rt團(tuán)BCD中，?；4BCD=3Q°,BD=2,

?,,山=^^=套=26

3

因?yàn)椤盀镃D的中點(diǎn)，所以MD=CM==，G.

在Rt0PDM中，PM=VPD2+MD2=—2,

在Rtl3PDC中，PC=y/PD2+CD2==V13,

在團(tuán)CPM中,3PC=$嚴(yán)=(以展r、內(nèi)

I?ye2T

所以sin/MPC=Vl2-cos2z.MPC=