2024-2025學(xué)年廣西桂林中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（B卷）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x\x2=x},則ACB=（）

A.{-1,2}B.{-1,0}C.[0,1}D.{-1,0,1）

2.在等比數(shù)列{廝}中，+a2-1,a4+as=8,則公比q的值為（）

A.4B.±4C.2D.±2

3.已知拋物線C：必=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P（-9,0）與點(diǎn)尸關(guān)于直線1對稱，貝"C的方程為

（）

A.y2=3xB.y2=6xC,y2—12xD.y2=24x

4.若（2x-專產(chǎn)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則該展開式中;的系數(shù)為（）

A.-48B.48C.-80D.80

5.已知角aeR,貝U"a為第二象限角”是“cosa<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到列聯(lián)表,

2

Mad-be)______在萱得2

并由f《7.822,參照附表，則下列結(jié)論正確的是（

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)"再1中Z)

附:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

A.根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無關(guān)

B.根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過

0.001

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無關(guān)

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無關(guān)

7.設(shè)數(shù)列的前幾項(xiàng)和為%.若%=1,an+1=2Sn+1,則$6=（）

A.61B.121C.125D.364

8.已知函數(shù)/(%)與其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R,且廣(魯。)>0,則/(2—尤)=/Q)e2x-2,不等式

等<早的解集是()

A.(0,e2)B.(1,e2)C.(e,e2)D,(e2,+oo)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.對于(1-2x)7的展開式，下列結(jié)論正確的是()

A.第2項(xiàng)為一14%B.%2的系數(shù)為84

C.各項(xiàng)系數(shù)和為-2D.二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

10.若函數(shù)/(X)=：%3—9X+2,下列說法正確的是()

A./(久)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,3)

B.x=一3是/(x)的極小值點(diǎn)

C.f(%)沒有最大值也沒有最小值

D.若函數(shù)g(x)=/(%)-a在區(qū)間［0,6］上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(—16,2］

11.已知直線I：口久一y-4a+1=0,點(diǎn)P,Q是圓C：(久一4/+(y-2/=4上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論成立

的是()

A.當(dāng)。=時(shí)，直線2的傾斜角為與

B.直線1與圓C一定相交

C.直線鋅皮圓C截得的弦長最大值為4

D.若點(diǎn)4在直線久+y-10=0上，NP2Q的最大值為60。，則點(diǎn)4的坐標(biāo)可以是(4,6)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=1)=；,若Y=2X+3,則D(Y)=

13.在平面四邊形2BCD中，AB=3,BC=4,CD=6,DA=7,則不?前的值為.

14.已知函數(shù)/'(久)=e*+s譏久，/'(久)為/'(久)的導(dǎo)函數(shù)，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

②/Q)在區(qū)間(―兀,0)上有極小值；

③/''(X)在區(qū)間(-兀,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=2a-4X+2X—1.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求在xG［—3,0］上的值域；

(2)若/(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題15分)

強(qiáng)基計(jì)劃某試點(diǎn)高校為選拔基礎(chǔ)學(xué)科拔尖人才，對考生設(shè)置兩項(xiàng)能力測試：學(xué)科知識(shí)整合能力指標(biāo)雙考察

數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科知識(shí)的交叉應(yīng)用)和創(chuàng)新思維能力指標(biāo)y(考察邏輯推理、問題建模等能力).隨機(jī)抽取5名

考生的測試結(jié)果如下表：

X689t12

y23456

(1)若學(xué)科知識(shí)整合能力指標(biāo)的平均值i=9,

(i)求1的值;

(苴)求y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a,并估計(jì)學(xué)科知識(shí)整合能力指標(biāo)為14時(shí)的創(chuàng)新思維能力指標(biāo)；

(2)現(xiàn)有甲、乙兩所試點(diǎn)高校的強(qiáng)基計(jì)劃筆試環(huán)節(jié)均設(shè)置了三門獨(dú)立考試科目，每門科目通過情況相互獨(dú)

立；

甲高校：每門科目通過的概率均為最通過科目數(shù)記為隨機(jī)變量X；

乙高校：第一門科目通過概率為爪(0<1),第二門科目通過概率為第三門科目通過概率為主通過

科目數(shù)記為隨機(jī)變量y；

若以筆試環(huán)節(jié)通過科目數(shù)的期望為決策依據(jù)，分析考生應(yīng)選擇報(bào)考哪所高校.

(附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中b和a的最小二乘估計(jì)分別為：b=

17.(本小題15分)

如圖1,在直角梯形ABCD中，已知ADAB^BC=2,ABAD=90°,現(xiàn)將△4BD沿BD折起到

△PBD的位置，使平面PBD1平面BCD,如圖2.

(1)求證：CD1PB-,

(2)求PC與平面BCD所成的角的正弦值；

(3)求二面角P-BC-。的平面角的余弦值.

18.(本小題17分)

nn

已知數(shù)列｛時(shí)｝滿足曰=2+2T禺T+2或2c廠2+…+22C2+2碎,數(shù)列｛%｝滿足%=nan.

⑴求數(shù)列也｝的前7項(xiàng)和土;

2

(2)若&<|fon-(1+2)n+n+［對任意的九eN*恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

19.(本小題17分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)2(。,1),且截x軸所得的弦長為2.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程C；

(2)8,。為曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過B,。中點(diǎn)M且與y軸平行的直線交曲線C于點(diǎn)N,曲線C在點(diǎn)N處的切線

交y軸于點(diǎn)P

(i)證明：BD//NP；

(過)若點(diǎn)”在直線)7=x上，求4BNP面積的最大值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4={—1,0,1,2},B={x\x2=x)={0,1},所以4cB={0,1}.

故選：C.

先計(jì)算集合B,然后根據(jù)交集運(yùn)算判斷即可.

本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閧即}是等比數(shù)列，且的+a2=1,a4+a5=8,

所以(％_+(22)q3=8,即q3=8,解得q=2.

故選：C.

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求答案.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由拋物線C：y2=2px(p>0),

知準(zhǔn)線方程為乂=一8

根據(jù)對稱性得+(—9)=2x(-,因此p=6,

故C的方程為f=12%.

故選：C.

根據(jù)點(diǎn)P(-9,0)與點(diǎn)F關(guān)于直線/對稱列出方程，求解即可.

本題主要考查拋物線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：若(2久-《尸的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則2n=32,

所以n=5,

則展開式的通項(xiàng)為〃+i=CI?(2久)5寸?(―力=(—1)。-25-r?備■x5-3r,

令5-3r=-1,貝懺=2,

展開式中工的系數(shù)為23x《=80.

故選：D.

由己知結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出n,然后結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：①若a是第二象限角，貝ijcosa<0,

②當(dāng)cosa<0時(shí)，則a是第二象限角或者第三象限角或者終邊在x軸負(fù)半軸上，

“a為第二象限角”是“cosa<0”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)象限角的性質(zhì)即可結(jié)合充分必要條件的定義求解.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的符號(hào)，命題的充分條件和必要條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解:因?yàn)?.822<10.828,

所以根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無關(guān)，且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過

0.001,故A正確，B錯(cuò)誤;

又因?yàn)?822>6.635,

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別有關(guān)，或在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01

的前提下，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別有關(guān)，

故C和。錯(cuò)誤.

故選：A.

利用％2y7.822與臨界值比較即可.

本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解:當(dāng)n=1時(shí)，a2=2S1+l=2a1+l=3,

當(dāng)nN2時(shí)，由%i+i=2Sn+1,

可得=2Sn_i+l(n>2),

相減可得，an+1—an-2(Sn—Sn_i)=2an,

所以tZn+i=3a5(MN2),

_3a1，

所以數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

所以56=與甲=蓼=竽=364.

1-3ZZ

故選：D.

根據(jù)遞推關(guān)系式求出及冊+i與冊的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解:令9(久)=exf(x'),則g'(久)=ex[f'(x)+/(%)],

因?yàn)樾‘?dāng)魚>0，所以當(dāng)乂>1時(shí)，+/(x)>0,g'O)>0,g(x)在(1,+8)上為增函數(shù)，

當(dāng)*<1時(shí)，f'(x)+/(%)<0,g'(x)<0,g(x)在(一8,1)上為減函數(shù)，

因?yàn)閒(2尸%)=/(%比2*-2,所以e2-x/(2-￡)

所以g(2-久)=g(x),故g(2)=g(0),

因?yàn)?警)<烏等價(jià)于<e2/(2),等價(jià)于g(伉x)<g(2),

所以0〈伍x<2,故l<x<e2,即不等式的解集是(l,e2)

故選：B.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x),通過求導(dǎo)結(jié)合條件分析g(x)的單調(diào)性，由/(2-x)=/(x)e2x-2,可得g(2)=

g(。)，將所求不等式轉(zhuǎn)化為9(洗出)<9(2),利用單調(diào)性可得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于(1—2x)7,其展開式的通項(xiàng)公式為〃+1=OX廿-『X(―2x)r=(―2)r。/,r=0,

1,2,3,4,5,6,7,

對于2,令r=l得，72=(-2)1Gxi=-2x7Y=—14x,故A正確；

對于8,令r=2,則B=(-2)2。>2=4x療=4x=84/,所以/的系數(shù)為84,故B正

0、''21(7—2)!2x1

確；

對于B,令久=1,則(1—2x1)7=(—1)7=—1,所以各項(xiàng)系數(shù)和為—1,故C錯(cuò)誤；

對于C,根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)，二項(xiàng)式(1-2x)7的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式、各項(xiàng)系數(shù)和以及二項(xiàng)式系數(shù)和的相關(guān)知識(shí)來逐一分析選項(xiàng).

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解:導(dǎo)函數(shù)f'Q)=%2=9=(x+3)(%-3),

當(dāng)x6(―8,—3)U(3+8)時(shí)，/(久)>0,

當(dāng)xG(一3,3)時(shí)，［(X)<0,

因此函數(shù)f(x)在(-3,3)上單調(diào)遞減，在(-8,-3)和(3+8)上單調(diào)遞增,

對于選項(xiàng)4〃久)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,3),因此選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)2：根據(jù)單調(diào)性可知x=-3是極大值點(diǎn)，因此選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：當(dāng)Kt+8時(shí)，/(無)7+8,當(dāng)*7—8時(shí)，f(X)T—8,

結(jié)合函數(shù)/(")的單調(diào)性可知，/(X)既沒有最大值也沒有最小值，因此選項(xiàng)C正確;

對于選項(xiàng)。：〃久)在［3,6］上單調(diào)遞增，在［0,3］上單調(diào)遞減，

所以/(久)疝n=/(3)=—16,又因?yàn)?(0)=2,〃6)=20,

函數(shù)g(x)=/(%)-a在區(qū)間［0,6］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

則a的取值范圍為(-16,2］.故D正確.

利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可判斷4C；根據(jù)極值定義可判斷8；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)定義可判斷。.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項(xiàng)A,直線I：ax-y-4a+1=0,當(dāng)a=V"^時(shí)，直線，的

傾斜角為或可知A正確；

對于選項(xiàng)8,直線八ax—y—4a+1=0,恒過(4,1)點(diǎn)，圓C：(%—4)2+(y—

2)2=4的圓心(4,2),半徑為2,顯然直線1與圓C一定相交.可知2正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)橹本€過定點(diǎn)(4,1)且斜率一定存在，所以直線不過圓心，可知

C錯(cuò)誤；

對于。選項(xiàng)，點(diǎn)4是直線八x+y-10=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓C：(x-4/+(y—2)2=4上的動(dòng)點(diǎn),

如圖，

圓c的半徑為2,所以直線上的點(diǎn)a到圓心的距離為4,結(jié)合圖形，可知a的坐標(biāo)為(4,6)滿足題意.可知〃正

確.

故選：ABD.

求解傾斜角判斷4判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷B；通過直線的斜率判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷C；求

解a的坐標(biāo)，判斷D.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

12.【答案】|

【解析】解：根據(jù)兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)得p(x=o)=',

22

mX)-lxi+Ox1=l,D(X)=lx(l-i)+|x(0-i)=^,

根據(jù)方差的性質(zhì)得D(y)=22X令=g

故答案為：

根據(jù)兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)和方差公式得D(X)=得，再利用方差的性質(zhì)即可得到答案.

本題考查兩點(diǎn)分布的方差，考查方差的性質(zhì)，是中檔題.

13.【答案】10

【解析】解：平面四邊形4BCD中，AB=3,BC=4,CD=6,DA=7,

故方-~BD=~CA-AD-~CA-AB-\AC\'\AD|cosz￡)XC+\AC\'\AB|coszFXC

_|^C|2+|^D|2-|DC|2|ZC|2+|^B|2-|BC|2-|^D|2+|DC|2+|^B|2-|BC|2

=---------2-------+-------2-------=-----------2----------=T°.

利用向量減法的法則和定義法求解數(shù)量積可得刀-BD=CA-(AD-AB)=~\AC\-\AD\cosADAC+

\AC\-\AB\cosABAC，再結(jié)合余弦定理即可求解.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.【答案】①②

【解析】解：因?yàn)?'(x)=ex+sinx,

所以/''(x)—ex+cosx,

對①當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，ex>1,cosxE［-1,1］>

所以此時(shí)((?>0,所以/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以①正確；

對②③，因?yàn)?''(久)=ex+cosx,令fO=0,可得e*=—cosx,

因?yàn)閥=與y=-cosx在(一兀,+8)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)&e(一兀,0),

且當(dāng)x€(一兀,久°)時(shí)，ex<-cosx；久6。0，+8)時(shí)，ex>—cosx；

所以當(dāng)xG(一兀,比)時(shí)，f<x)<0；6(%o,+8)時(shí)，f'(x)>0,

所以/(久)在區(qū)間(-兀,0)上僅有一個(gè)極小值點(diǎn)與，所以②正確；

所以尸(x)在區(qū)間(-兀,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)沏，所以③錯(cuò)誤.

故答案為：①②.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)，針對各個(gè)問題，分別求解即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬中檔題.

15.【答案】［一2,-芻；

［。,+8).

【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=—2?#+2*—1=-2(2，)2+2X-1.

1

々t=2",X6［—3,0］,tE［g/1］?

i7

則y=-2t2+t-1=-2(t--)2-

-17

當(dāng)t=，時(shí)％nax=—7當(dāng)土=1時(shí)％nin=-2,

故函數(shù)y=-2(t—2)2—LtE焉1］的值域?yàn)椋邸?,—芻.

4-0oo

所以當(dāng)a=-1時(shí)，/(久)在久￡［-3,0］上的值域?yàn)椋?2,-)

(2)當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=2X-1,滿足f(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，滿足題意；

當(dāng)a力0時(shí)，設(shè)t=2",貝Uy=2<1產(chǎn)+t-1,(t>2).

因?yàn)?=2工單調(diào)遞增，

所以要使/(乃在［1,+8)上單調(diào)遞增，

須使y=2at2+t—1在［2,+8)上單調(diào)遞增，

(a＞0,

所以11々,解得。＞°-

【一正42,

綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a20,即［0,+8).

(1)先利用換元法將指數(shù)型函數(shù)/(X)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.

(2)分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.

本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】(i)t=10；(0)y=0.7x=2.3,7.5；

答案見解析.

【解析】(1)(。根據(jù)題意可得】==%解得［=10,

(ii)將題干數(shù)據(jù)代入所給公式中可得：

,_2區(qū)1陽為-5成_194-5x9x4在_AoQQ

b-2-.?_zci，//T\y\b-0.79CL-4-9x0.7——2.3,

^=1x?-5x425-5x81

所以y=0.7x-2.3,

令x=14,解得y=0.7x14-2.3=7.5,

所以預(yù)測值為7.5；

(2)由題意易知，隨機(jī)變量個(gè)X滿足二項(xiàng)分布X?B(3,|),

所以E(X)=3x|="

由題意易知，隨機(jī)變量丫的所有可能取值為0,1,2,3,

P(y=0)=(l-m)(l-11)x(l-|2)=i1(l-m),

12121271

12121215

P(Y=2)=mx-x(l—-)+mx(l—-)x-+(l—m)x-x-=-+—m,

121

P(Y=3)=mx-x-=-m,

436

7iir111

所以E(Y)=--+2(-+—m)+3x-m=—+m,

1Z5o1ZoiZ

當(dāng)E(X)=E(Y)時(shí)，此時(shí)＜=［+m,得加=系

當(dāng)E(X)＞E(Y)時(shí)，此時(shí)於居+機(jī)，又0＜機(jī)＜1,得0＜?。枷?/p>

當(dāng)E(X)＜E(Y)時(shí)，此時(shí)5＜號(hào)+小，又0＜機(jī)＜1,得言＜?。?,

所以，當(dāng)他=會(huì)時(shí)，該考生報(bào)考甲高校或乙高校都可以；

6U

當(dāng)。＜?。既瘯r(shí)，該考生更應(yīng)報(bào)考甲高校；

6U

當(dāng)券＜小＜1時(shí)，該考生更應(yīng)報(bào)考乙高校.

(1)。)由題意可得6+8+?"12=9,求解即可；(ii)利用最小二乘法求得回歸方程，可求得預(yù)測值；

(2)利用X?8(3,|),求得E(X),利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式與互斥事件的概率加法公式求得y的分

布列與數(shù)學(xué)期望，比較可得結(jié)論.

本題主要考查線性回歸方程以及離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析；富

63

-1

【解析】(1)證明；因?yàn)榱=AB=^BC=2/BAD=90°,

則BD=CD=

可得BO?+CZ)2=貝UBDICD.

又因?yàn)槠矫鍼BD1平面BCD,且平面PB。Cl平面BCD=BD,CDu平面BCD,

可得CD，平面PBD,

且PBu平面PBD,

所以CD1PB.

(2)過點(diǎn)P作PE1BD,交BD于點(diǎn)E.

尸⑷

因?yàn)镻B=P。，貝UE為8。的中點(diǎn)，

又因?yàn)槠矫鍼BO_L平面BCD,平面PBDCl平面BCD=BD,PEu平面PBD,

所以PE_L平面BCD.

連接CE,貝UNPCE為PC與平面BCD所成的角.

由(1)知BD=CD=22，

因?yàn)镻E="CE=y/CD2+DE2=YIU,

則PC=7PE2+CE2=2/3,

所以直線PC與平面BCD所成的角的正弦值Sin/PCE=霹=?

(3)由(2)知PE1平面BCD,BCu平面BCD,所以PE1BC.

過E作EF1BC交BC于點(diǎn)F,連接PF,

尸⑷

因?yàn)镻ECEF=E,PE,EFu平面PEF,所以BCJj;fffiPEF,

且PFu平面PEF,所以BC1PF,

可知NPFE為二面角P-BC-D的平面角.

在△BCD中，EF=^-BC=1,貝！)PF=，P￡2+￡7/2

4

所以二面角P-BC-D的平面角的余弦值為子.

(1)根據(jù)題意利用勾股定理可得8。1CD,結(jié)合面面垂直可得CDJ_平面PBD,即可得結(jié)果;

(2)作輔助線，根據(jù)垂直關(guān)系可知NPCE為PC與平面BCD所成的角，即可得結(jié)果；

(3)作輔助線，根據(jù)垂直關(guān)系可知NPFE為二面角P-BC-D的平面角，即可得結(jié)果.

本題考查線線垂直的判定，已經(jīng)空間角的計(jì)算，屬于中檔題.

n11

【解析】解：(1)數(shù)列｛廝｝滿足廝=2"+2-Cr+2時(shí)2c廠2+…+22C2+24,數(shù)列｛4｝滿足匕=

由二項(xiàng)式定理可得斯=(l+2)n-l=3n-l,

n

貝昉n=nan=n-3—n,

設(shè)幾=1x31+2x32+3x33+-+nx3n,

貝!)3*=1x32+2X33+3X34+???+(n-1)X3n+nX3n+1,

兩式相減得：-2T=31+32+33+…+3n-71X3n+1=警-？)-nX3n+1=?3n+1-

n1—322

在l、lc(2n-l)-3n+1+31/「、

1

所以Si=-----4-------^Zn(n+1).

□i0

(2)若與<-—(-+A)n2+幾+4對任意的荏EN*怛成立,

即有"1-3n+1+'一雙等<1(n-3n-n)-1n2+n-An2+p

44ZZZ4

qH+1

整理得a<ga，

令r=”.耳狀「、nEn+1=3n+2.4r^_=3n2=M+M+M

712n+122

—4n2'、"cn~4(n+l)3-(n+1)-n+2n+l

當(dāng)九=1時(shí)，—＜1,當(dāng)九22時(shí)，維里＞1,于是q＞。2V。3V。4V。5〈…，

qcn

因此VneN*,cn>c2=g,則;IW系

所以4的取值范圍是（-8,元］.

（1）利用二項(xiàng)式定理求出廝，進(jìn)而求出勾，再利用分組法及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（2）由恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列，探討其單調(diào)性求出最小值即可.

本題考查利用分組法及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前幾項(xiàng)和，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為（x,y）,

因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)力（0,1）,截x軸所得弦長為2,

所以/+（y-I）2=|y|2+1,

整理得刀2=2y,所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程C：x2=2y.