2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市農(nóng)安縣高一(下)期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若zi=z+2,貝Uzz=()

A.1B.2C.4D.5

2.已知向量N=(1,—zn),b=(3m+2,-1),且五〃則m=()

A.-1或§B.3C.—D.—1

3.一個(gè)公司共有210名員工，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個(gè)容量為35的樣本.已知某部門有30

名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

4.已知隨機(jī)事件A和B互斥，/和C對(duì)立，且P(C)=0.8,P(8)=0.3,貝1JPQ4U8)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.5

5.如表記錄了上海某個(gè)月連續(xù).10天的空氣質(zhì)量指數(shù)Q4Q/)：

時(shí)間12345678910

空氣質(zhì)量指數(shù)(4Q/)20282433313536383637

則這些空氣質(zhì)量指數(shù)的70%分位數(shù)為()

A.35B.35.5C.36D.37

6.空間中有兩個(gè)不同的平面仇，夕和兩條不同的直線九，則下列說法中正確的是()

A.若al/7,m//a,幾〃S，則?n〃nB.若a±S，m//a,m//n,則n1￡

C.若。〃￡,m//a,m//n,貝切〃/?D.若戊〃/?,7nla,nip,則TH〃幾

2TT

7.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若人=等，a2=4bc,貝b譏B+s譏C=()

A.|B.苧C.|D.|

8.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，48為圓M的直徑，若點(diǎn)P為圓M上一動(dòng)點(diǎn)，則西?定+1的取值范

圍為()

A.[0,16]B,[-4,8]C.[-2,16]D.[-3,13]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知兩組數(shù)據(jù)，第一組：1,2,3,4,5,6,7：第二組2021,2022,2023,2024,2025,2026,

2027,則下列說法正確的是（）

A.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組數(shù)據(jù)的極差相同D.兩組數(shù)據(jù)的方差相同

10.如圖，該幾何體是正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底面

邊長(zhǎng)和上面正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為10cm,正四棱柱的高為5CCM,則下列

選項(xiàng)中正確的是（）

A.正四棱錐的高為

B.該幾何體的表面積為（100，！+100）cm2

C.該幾何體的體積為（500門+岑

D.一只小螞蟻從點(diǎn)E沿幾何體的表面爬行到點(diǎn)S,它所經(jīng)過的最短路程為

11.如圖，在正方體ABC。—a/iGA中，M是線段BG上的一點(diǎn)，則下列說法正確

的是（）

A.D]M1DA1

B.&M〃平面

C.異面直線與44所成的角的取值范圍是生芻

D.二面角M-ADr-C的正弦值為苧

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.把水平放置的四邊形2BCD按照斜二測(cè)畫法，得到如圖所示的直觀圖AB'C'D',其中B'C'=2A'D'=6,

A'B'=1,則四邊形ABCD的面積為.

13.“直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線”是“11a”的條件.

14.甲、乙、丙三人進(jìn)行籃球傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另

外兩個(gè)人中的任何一人，則第4次傳球傳給乙的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在△28C中，BD=^BC,E為線段4。的中點(diǎn)，且方=比而+丫荏，x,y為實(shí)數(shù)，記荏=沅,

AC=n.

(1)請(qǐng)用沅和元表示前;

(2)求3%+6y.

16.(本小題15分)

某市為了研究高三學(xué)生在全市質(zhì)檢中的語文成績(jī)的情況，從全市16000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了1600名學(xué)生的

成績(jī)作為樣本(成績(jī)均在[70,140]內(nèi))，將所得的成績(jī)分成七組：[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),

[110,120),[120,130),[130,1401,得到頻率分布直方圖如圖所示.

O28

O.

a

18

o.s.o

ol2

o.oi

n0

0.o

-8

0.0021;十一1——|——卜葉一|——1~~?

0708090100110120130140成績(jī)

(1)求a的值，并估計(jì)該市語文成績(jī)落在區(qū)間[90,110)內(nèi)的學(xué)生人數(shù);

(2)估計(jì)本次考試全市語文成績(jī)的中位數(shù)(精確到0.01)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表

).

17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC-4/16中，AArAB=AC=2,BC=平面ABB/i1平面ABC,平面

ACC^1平面力BC.

(1)求證：AA±_L平面力BC；

(2)求證：AB11BCr.

18.（本小題17分）

如圖，在梯形力BCD中，AB//CD,AB1AD,AB=2CD=4,E,尸分別為DC,CB的中點(diǎn)，且尼?前=

2,P是線段4B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求NE4F；

（2）求（而+而）?可的取值范圍.

19.（本小題17分）

某景區(qū)為了吸引游客，計(jì)劃建設(shè)一個(gè)五邊形區(qū)域4BCDE的游覽區(qū),如圖所示，其中三角形區(qū)域2BE為觀賞

區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為游樂場(chǎng)活動(dòng)區(qū)，AB,BC,CD,DE,EA,BE為游覽區(qū)的主要道路（不考慮寬度）,

100/3

5.ABAE=60°,AEBC=90°,乙BCD=120°,DE=100/3m,BC=CD=m.

3

（1）求四邊形BCDE的面積;

（2）求游覽區(qū)的主要道路的總長(zhǎng)度的最大值.

A

B

E

D

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦=a+bi,aER,bER,

左邊展開為zi=(a+bi)i=ai+bi2=ai—b,

右邊展開為：z+2=(a+2)+hi,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得方程組｛[2：a+2，因此人=a=-1，即z=-1一i,

z-z=(-1-i)(-l+i)=(-1)2-(i)2=1-(-1)=2.

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的除法法則，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橄蛄?=(1,-m),b-(3m+2,-1),且五〃3,

所以a=可，SP3m2+2m-1=0,解得m=-1或m=q.

3m+2-13

故選：A.

根據(jù)向量共線的性質(zhì)求解即可.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：樣本容量為35與總體容量為210,比值為蕓=，，

Z1U6

該部門員工數(shù)為30人，乘以抽樣比：，即30x，=5.

66

故選：X.

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)即可求解.

本題考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，由4和C對(duì)立，可得P(4)+P(C)=1,

又由P(C)=0.8,則P(4)=0.2,

又由隨機(jī)事件力和B互斥，貝UPQ4UB)=PQ4)+P(B)=0.2+0.3=0.5.

故選：D.

根據(jù)題意，由對(duì)立事件的性質(zhì)求出PQ4)=0.2,進(jìn)而由互斥事件的概率性質(zhì)分析可得答案.

本題考查互斥事件、對(duì)立事件的概率性質(zhì)，注意隨機(jī)事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：20,24,28,31,33,35,36,36,37,38,

由于10X70%=7,則其70%分位數(shù)其36+36)=36.

故選：C.

根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

本題考查百分位數(shù)的計(jì)算，注意百分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4，若a10,m./la,幾〃￡,

則ni〃n或？n與？1相交或ni與打異面，

即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a10,mlla,

則幾與0相交或nu￡或n〃0,

即8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若戊〃。，m//a,m//n,

貝伍//0或幾u(yù)6,

即C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若a//￡,m1a,nip,

則

即。正確.

故選：D.

利用線面、面面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=b2+c2+be=46c,所以(b+c)2—be=4bc,

所以(b+c)2=5bc=5x~=^a2,故b+c=fa,

44Z

由正弦定理吃=號(hào)=白，得一券7=啖，

sinAsinBsinesinB+sinCsinA

故sinB+sinC=^^-sinA=fXW=

a224

故選：B.

根據(jù)余弦定理即可求解.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖所示，MA1MC，

則-PC=(PM+Ml)-(PM+MC)

=PM2+JM-~MC+MA-PM+MA-~MC

=4+PM-(MC+MA),

由圖可知|祝+加|=J22+(2/>=4,標(biāo)+篇與兩夾角的范圍為[0,兀],

所以麗?(流+涼)=\7M\\MC+MA\cos<~PM,MC+MA>G[—8,8]，

所以?而+1G[-3,13].

故選：D.

由題意得兩?正=(PM+MAy(PM+MC),然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律和計(jì)算公式計(jì)算即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題.

9.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于4第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)五=1+2+3+4+5+6+7

2021+2022+2023+2024+2025+2026+2027

第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)==2024,故A錯(cuò)誤;

7

對(duì)于8,第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4,第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2024,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,第一組數(shù)據(jù)的極差為7-1=6,第二組數(shù)據(jù)的極差為2027-2021=6,故C正確;

對(duì)于D,第一組數(shù)據(jù)的方差￡=；[(1一4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-

4)2]=4,

第二組數(shù)據(jù)的方差為登=1[(一3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32]=4,故。正確.

故選：CD.

分別求出平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷.

本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,該幾何體底面邊長(zhǎng)和上面正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為lOczn,貝！=5，2,則正四棱錐的高S。=

VSi42-OA2=572-A正確；

對(duì)于B,該幾何體的表面積S=IO?+4x10x5宿+4x^xIO?=(I。。+3ooC)c7n2,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,該幾何體的體積U=102x5C+gx102X5逅=(500，I+*N)on3,C正確；

對(duì)于D,觀察圖形知，小螞蟻從點(diǎn)E爬行到點(diǎn)S的最短路徑為沿表面越過棱4B或力。，

由對(duì)稱性，不妨取長(zhǎng)方形EFB4及正AS/IB,將它們置于同一平面內(nèi)，連接SE,

如圖，

取EF中點(diǎn)M,連接SM,

貝USM=5<3+V100-25=10<3,而EM=5,

所以最短路程為SE=7EM2+SM2=J52+(10AA3)2=<325cm=5y[13crrfD正確.

故選：ACD.

根據(jù)題意，求出四棱錐的高判斷4求出表面積判斷B；求出體積判斷C；將長(zhǎng)方形EFB4及正AS/IB置于同

一平面，求出SE判斷。,綜合可得答案.

本題考查幾何體的體積、表面積計(jì)算，涉及幾何體的表面展開問題，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：建系如圖:

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則。(0,0,0),￡＞1(0,0,2),41(2,0,2),M(x,2,z),C(0,2,0),4(2,0,0),

所以西=(2,0,2),反標(biāo)=(x,2,z-2)，

對(duì)于力，B(2,2,0),G(0,2,2),故麗=(久一2,0,z)，

C^B=(2,0,-2).因?yàn)榍?，的共線，

所以—2(x—2)—2z=0,故—2%+4—2z—0,

故2x+2z-4=0,而西-D^M=2x+2z-4=0，

所以。1M1D4,故A正確；

對(duì)于B,而2x+2z—4=0,化簡(jiǎn)得z=—x+2,

故M(x,2,—x+2),AjM=(x-2,2,-x)，AM=(x-2,2,-x+2),

ffiJXC=(-2,2,0),ADl=(-2,0,2),

設(shè)面AC。]的法向量為元=(x,y,z),

貝懦盆"所以｛最取―

所以41M-n—x—2+2—x—0y

所以&M〃平面力CD*故8正確；

對(duì)于C,A^M=(x-2,2,-x),而=(-2,0,2),

設(shè)異面直線與4%所成的角為。，ee[0,芻，

=MM=|-2(X-2)-2X|=I-4X+4I

所以-IMI-Ol-ExJ(.)2+4+/_2叵＜市"，

當(dāng)x=1時(shí)，cos。=0,

A_1一%+l|_1

COS3=/「

而X6[0,1)U(1,2]時(shí)，令VX2-2X+4：1I(32,

1

因?yàn)椤＃?X—1)2w1,可得COS。e(0,自,

故cosee[o,1],得到eG弓,芻，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由8選項(xiàng)分析可知面AC%的法向量為元=(1,1,1),

設(shè)面AD1M的法向量沅=Q,b,c),

所以[亞%=°,故2?+2：一(一久+2)=0,取沆

[XOt-m=0(-2a+2c=0

設(shè)二面角M—ADi—C為￡,pG[O,TT],故S出0>O,

所以—闞-li+il_2=76

所以|cos〃|-師卜園-7T+ixV1+1+1—72X/3—3'

又cos?/?+sin?"=1,所以sing=等,故。正確.

故選：ABD.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷4,B,利用線線角的向量求法判斷C,利用二面

角的向量求法判斷。即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，向量法的應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】9

【解析】解：根據(jù)斜二測(cè)畫法，畫出原圖形如圖所示，

因?yàn)锳B'=1,所以原高為|AB|=2,

過點(diǎn)。作于E,而橫向長(zhǎng)度不變，且梯形4BCD是直角梯形,

故答案為：9.

利用斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出原圖形，再求直角梯形的面積.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】必要不充分

【解析】解：直線1垂直平面a內(nèi)無數(shù)條直線，可能11a或l〃a或Iua或1與a相交，故充分性不滿足;

由/la,得直線/垂直于平面a內(nèi)所有直線，故直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線，故必要性滿足.

則“直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線"是"Zia"的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系分別判斷充分性和必要性得到結(jié)果.

本題考查空間中直線與平面位置關(guān)系的應(yīng)用，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題目：甲、乙、丙三人進(jìn)行籃球傳球訓(xùn)練，

第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，

前4次傳球接球的情況有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、

乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙

乙丙乙,共內(nèi)種,

第4次傳球傳給乙的情況有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5種，

設(shè)第4次傳球傳給乙的事件為4則0缶)=得

故答案為：殺

列舉所有情況，利用古典概型概率公式求解即可.

本題考查概率的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.【答案】|m+|n；

-1.

【解析】(1)在AABC中，BD=^BC,E為線段力。的中點(diǎn)，記荏=沅，AC=n,

則而=南+而

一2一

=AB+2BC

2

=AB+^(AC-AB)

1一2一

=-^AB+寸。

1一?2-

=-m+-n；

(2)由題意可得：CE=^(CA+CD)

1一1一

=-7=：AC+-TTCB

zo

［一］一一

=-+&Q4B-4C)

=-|XC+|XB,

DO

又區(qū)=xAC+yAB,

則％=y=I，

Jo

貝歸x+6y=—2+1=-1.

(1)由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即可；

(2)由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即可.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】a=0,022,估計(jì)該市語文成績(jī)落在區(qū)間［90,110)的學(xué)生有8000人；

中位數(shù)為97.14,平均數(shù)為98.2.

【解析】(1)由題意知(0.012+0.018+0.028+a+0.010+0.008+0.002)X10=1,解得a=0.022,

所以該市語文成績(jī)落在區(qū)間［90,110)的頻率為(0.028+0.022)X10=0.5,估計(jì)該市語文成績(jī)落在區(qū)間

［90,110)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是16000x0.5=8000；

(2)由頻率分布直方圖得，分?jǐn)?shù)在區(qū)間［70,90),［70,100)的頻率分別為0.3,0.58,

因此該校語文成績(jī)的中位數(shù)加在［90,100)之間，

所以⑺-90)x0.028+0.3-0.5,解得m=釁=97,14,

語文成績(jī)的平均數(shù)為75X0.12+85X0.18+95x0.28+105x0.22+115X0.1+125X0.08+135X

0.02=98.2.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查了頻率分布直方圖，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解答；證明見解答.

【解析】證明：(1)因?yàn)?B=4C=2,BC=2<2>所以4^2所以4B1AC,

又因?yàn)槠矫鍭BB/I1平面ABC,平面4BB14C平面ABC=AB,ACu平面ABC,

所以AC1平面

又因?yàn)閡平面ABBMi，所以AC1

同理可得AB1平面2CG&,

又因?yàn)?41u平面"64，所以AB1AA1,

又因?yàn)榱C4B=4,AC,4Bu平面力BC,所以4411平面力BC；

(2)取E為BC的中點(diǎn),連接AE,由(1)知,，平面力BC,

又因?yàn)锽Cu平面ABC,所以1BC,

又aaj/cci，所以CQiBC,

所以NC/1B=乙B'BE=3,

又因?yàn)镃/i=2<2.B$=2,BE=72,

所以得S'=年?="，所以△C/iB?△B/E,所以4B[C]B=4BB]E,

又因?yàn)镹EB?+NBBiE=*所以N/GB+NEBiCi=熱所以861名￡,

因?yàn)?B=4C,所以7mBC,

又因?yàn)?平面力BC,AEu平面ABC,所以力力11AE,

又44//CC1，所以C”4E,

又BCnCQ=C,BC,CCiu平面BCQBi，所以力EJ_平面BCQB「

又Be】u平面BCC/i，所以4E1BCi，

又因?yàn)?En8]E=E,AE,B]Eu平面2EB「所以BQ_L平面AEB1，

又因?yàn)閆B】u平面AEBi，所以A218cl.

(1)由勾股定理可得AB1AC,又平面_L平面ABC,可得AC_L平面從而4C14公,同理

4B1A&,根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；

(2)取E為BC的中點(diǎn)，由力4，平面2BC得1BC,貝伊的1BC,可證得△C//?△B/E,所以

NBQB=N8B1E,進(jìn)而可得BCi18止，證得ZE1平面BCC/「所以4E18G，從而BQ上平面2網(wǎng),

進(jìn)而可得結(jié)論.

本題考查線面垂直的判斷定理和面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】J

[-2,16].

【解析】建立以4為原點(diǎn)，所在直線為%軸正半軸，4D所在直線為y軸正半軸的坐標(biāo)系,

則4(0,0),S(4,0),設(shè)D(O,yo)(y0>0)，

則E(l,y°),C(2,y0),尸(3,第,

.?.前=(2,y°),前=(2,一第;

(1)由力C-EF=2，則4一亨=2，即％=4,

又yo>0,y0=2,AAD=2,

則E(1,2),F(3,1),屈=(1,2),酢=(3,1)，

AE-AF51<2

??COSNEM=^^=7^FF

又聞F為銳角，???加F=a

(2)設(shè)P(xo,0)(04a34),

???PE=(1—x0,2),PF=(3—x0,1),

：.PE+PF=^~2x0,3),PA=(-%0,0).

(PF+PF)-P4=(4-2x0,3)?(-x0.0)=(4-2x0)-(-x0)=2瑤-4x0

2

=2[(x0-l)-1]=2(x0-1)2-2,

???0<x04,.-.(PE+PF)-PAe[-2,16].

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和兩向量的夾角公式即可求解;

(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用0<%0<4即可求解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和兩向量的夾角公式，屬于中檔題.

19.【答案】竺臀血2；

500<3.

(600+■)m.

3

【解析】（1）如圖，連接BD,

在小BCD中，由余弦定理得BO?=BC2+CD2-2BC-CDcosl20°

=(等