2024-2025學(xué)年江蘇省南京市寧海中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在(久一1戶的展開式中，含一的項(xiàng)的系數(shù)是()

A.10B.5C.-5D.-10

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，則P(|X-3|=1)=()

X234

11

Pm

46

3.拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，就說試驗(yàn)成功，則在30次試驗(yàn)中成功的次數(shù)X的均值為()

A.8B.10C.5D.6

4.在平行六面體ABC。一4/16。1中，M為&G與B/i的交點(diǎn).若灰瓦=。耳瓦=瓦承=落則下列

向量中與兩相等的是()

A.——(Z+—D+cB.——(1+-D—C

C.——CL——b+cD.—ci——D+c

5.由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”一一科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)

者對話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行.現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)?/p>

三個(gè)不同的會(huì)場與學(xué)生進(jìn)行對話活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場至多派兩名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場，則不

同的派出方法有()

A.60種B.90種C.150種D.180種

6.已知點(diǎn)4(l,0,2),B(—l,l,2),C(l,l,—2),則點(diǎn)2至直線BC的距離是()

A.等B.等CgD.5

7.某校高二數(shù)學(xué)期末考試成績X近似服從正態(tài)分布N(95,M),且P(80<X<110)=0.68,已知該校高二

數(shù)學(xué)期末考試成績超過80分的人數(shù)有420人，則()

A.估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為520.

B.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為280.

C.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績介于80到95分之間的人數(shù)為170.

D.在該校高二學(xué)生中任取1人，其成績低于70分的概率大于超過120分的概率.

8.如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列:

1,334,6,5,10,…，記此數(shù)列的前幾項(xiàng)之和為立,貝小32的值為（）.

1

1

B.848C.984D.1003

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B.若江不＞0,則值㈤是銳角

C.已知向量低是，可組是空間的一個(gè)基底，則｛2方花片-可也是空間的一個(gè)基底

D.若對空間中任意一點(diǎn)。，有麗雨+；礪+,灰，則P,4B,C四點(diǎn)共面

1Z43

10.如圖，在四棱錐P—48CD中，底面4BCD為平行四邊形，^DAB=AB=2AD=2PD,PD1底面

ABCD,貝!J().

A.PA1BD

B.PB與平面ABCD所成角為I

O

C.異面直線4B與PC所成角的余弦值為g

D.二面角4-PB-C的正弦值為手

11.以石墨烯電池、量子計(jì)算、4/等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢，正在或?qū)⒅厮苁澜绻I(yè)的發(fā)展模式，

對人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大，我國某公司為了搶抓機(jī)遇，成立了2、B、C三個(gè)科研小組針對某技術(shù)

難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克技術(shù)難題的小組會(huì)受到獎(jiǎng)勵(lì).已知4、B、C三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的概率

分別為本且三個(gè)小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān).下列說法正確的（）

A.三個(gè)小組都受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是1B.只有4小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是:

oz

C.只有C小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是卷D.受到獎(jiǎng)勵(lì)的小組數(shù)的期望值是g

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量通=(l,a,-2),AC=(-3,6,b),若4B,C三點(diǎn)共線，則a-6=

13.某批麥種中，一等麥種占90%,二等麥種占10%,一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的

概率分別為0.6,0.2,則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為.

14.定義：設(shè)X,丫是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件丫=丫條件下的期望為E(X|Y=y)=

221勾?P(X=Xi\Y=y)=￡憶1%?”短7,其中{%1，%2,…,x,為X的所有可能取值集合,P(X=%,r=

—y)

y)表示事件“X=x"與事件‘，=y”都發(fā)生的概率.某日小張擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若擲出L點(diǎn)向上

兩次時(shí)即停止.設(shè)a表示第一次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，B表示第二次擲出1點(diǎn)向上時(shí)的投擲次數(shù)，則

E{A\B=4)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

76

已知(2%—3)7=a0(x—I)+的(久—I)+???+a6(x—1)+a7-

(1)求a。+的+a2+…+a?；

(2)求a。—a7.

16.(本小題15分)

袋中有大小相同的小球10個(gè)，其中黑球3個(gè)，紅球n個(gè)，白球(7個(gè)，neN*,從中任取2個(gè)球，至少有1

個(gè)紅球的概率為，

(1)任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；

(2)任取2球，取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)白球得0分，取到1個(gè)黑球得-1分，求總得分X的概率分布列及

數(shù)學(xué)期望E(X).

17.(本小題15分)

如圖，四面體4BCD中，AD1CD,AD=CD,AADB=/.BDC,E為AC的中點(diǎn).

D

\

A

(1)證明：4C1平面BDE；

(2)設(shè)DEIBE,DE=1,乙4cB=60。，點(diǎn)尸在BD上，若CF與平面4BD所成的角的正弦值為耳，求此時(shí)F

點(diǎn)的位置.

18.(本小題17分)

為豐富校園文化生活，學(xué)校舉辦了乒乓球比賽.決賽采用三局二勝制的比賽規(guī)貝U(先贏得2局的隊(duì)伍獲勝并

結(jié)束比賽).已知甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽，且根據(jù)以往比賽統(tǒng)計(jì)得知，在每局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為p(0<

p<l),乙隊(duì)獲勝的概率為1-p,每局比賽的結(jié)果互不影響.

⑴若p=|,求乙隊(duì)以2：0獲勝的概率；

(2)若p=|,比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)記為X,求X的期望；

(3)若比賽打滿3局的概率記為/(p),請直接寫出/Q)的最大值及此時(shí)p的值，并解釋此時(shí)的實(shí)際意義.

19.(本小題17分)

數(shù)軸上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，每次隨機(jī)向右或向左移動(dòng)1個(gè)單位長度，其中向右移動(dòng)的概率為

p(p>3，向左移動(dòng)的概率為1-p,記質(zhì)點(diǎn)Q移動(dòng)n次后所在的位置對應(yīng)的實(shí)數(shù)為X”.

(1)當(dāng)p=^,n=10時(shí)，質(zhì)點(diǎn)Q在哪一個(gè)位置的可能性最大，并說明理由；

(2)求證：X”的數(shù)學(xué)期望>0.

答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求解.

【詳解】(X-1)5的通項(xiàng)公式=備?迪-r.(一1尸，

令r=l,得蠟的項(xiàng)的系數(shù)是心?(一1)1=—5.

故選：C

2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)分布列概率之和為1,再根據(jù)X的取值可求得答案.

【詳解】因?yàn)閨X—3|=1,所以X=2或X=4,

112

所以P(|X-3|=1)=P(X=2或X=4)=P(X=2)+P(X=4)=爪+[=1—)=).

644

故選：D.

3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即可求解.

【詳解】一枚骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為g

則在30次試驗(yàn)中成功的次數(shù)X服從X?B(30,1),

-1

故均值為E(X)=30x3=5,

故選：C

4.【答案】B

【解析】【分析】作圖，然后根據(jù)空間向量基本定理求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，麗=兩+瓦歷=彳雷+2麗=+R而一通)=-|a+|K-c.

故選：B.

%________Cj

5.【答案】B

【解析】【分析】由排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題求解即可.

【詳解】要求每個(gè)會(huì)場至多派兩名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場，則不同的派出方法有

等=90種.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量法求解公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)四=a=(-2,1,0),BC=(2,0,-4),u=闔=

可求得五-u=(―2,1,0)?(g,0,—等)=—等,

所以d=Ja2—(a-u)2=、5—

故選：B

7.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)X近似服從正態(tài)分布N(95,—),且P(80<X<110)=0.68,得到P(X>80)=

0.84,進(jìn)而得到高二學(xué)生人數(shù)，然后逐項(xiàng)判斷.

【詳解】因?yàn)閄近似服從正態(tài)分布N(95,M),所以P(X>95)=0.5,

又因?yàn)镻(80<X<110)=0.68,則P(X>80)=0.5+0.34=0.84,

A估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為420+0.84=500,故錯(cuò)誤；

A估計(jì)該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為500x0.5=250,故錯(cuò)誤；

C.由P(80<X<95)=0.34,則成績介于80到95分之間的人數(shù)為0.34義500=170,故正確；

D因?yàn)椤毙?95,所以P(X<70)=P(X>120),故錯(cuò)誤；

故選：C

8.【答案】C

【解析】【分析】觀察楊輝三角結(jié)合其中數(shù)的來源，可得到這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)

公式，分別求奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，從而得到前九項(xiàng)和.

【詳解】設(shè)數(shù)列為{an},前32項(xiàng)里面有偶數(shù)項(xiàng)16項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)16項(xiàng)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，易知與=號，且=

3,所以。32=字=18,所以偶數(shù)項(xiàng)之和為(3+l7xl6=168,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1=望=喘，3=瑪=釐，6=讖，10=Cf=Cj,

所以Ct”=鬣+3,則&31—C31+3=C京7,

I-

所以前32項(xiàng)里面奇數(shù)項(xiàng)和為：

Cl+Cj+Cl+Cl+???+cf7=c1+c|+c|+c|+?-?+哈,

又由組合數(shù)性質(zhì)c7+c?-1=昭i，所以第+髭+釐+cj+…+哈=c1+c|+ci+cf+--?+哈=

雷8=816,

所以S32=816+168=984.

故選：C.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷力；根據(jù)港另>0,得到值即可判斷B；根

據(jù)題意得到2區(qū)石1-五不共面，即可判斷C；根據(jù)京+9+1=1即可判斷，

1Z43

【詳解】對4根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共

面，故A正確；

對B,若2i>0,則值㈤e[o,9，故8錯(cuò)誤.

對C假設(shè)2落瓦力一方共面,貝肥=421—五)=(22—〃)五+

因?yàn)橄蛄恐祷?，成組是空間的一個(gè)基底，

所以不存在實(shí)數(shù);1,4,使得加=(2%-〃)五+〃下成立，故2乙石發(fā)一五不共面，

即｛2五范1-可也是空間的一個(gè)基底，故C正確.

對D,因?yàn)榧?白雨+；礪'+|無，且白+。+號1,

1Z4o1Z43

所以P,B,4c四點(diǎn)共面，故。正確.

故選：ACD.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】連接8。，由己知結(jié)合余弦定理與勾股定理逆定理可得BD14。，于是可建立空間直角坐

標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】連接BD,因?yàn)?p設(shè)力B=2AD=2PD=2a,

由余弦定理得=AD2+AB2-2AD-AB-coszBXD,

所以B￡>2=a2+4a2_4(32=3a2,貝ijBD=/3a,

貝“BO2+4。2=幅，gpBD1AD,又PD1底面ABC。，AD,BDcjR?XBCD,

所以PDVAD.PD1BD,

如圖，以。為原點(diǎn)，分別為%,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),2(a,0,0),B(0,y[3a,0),C(—a,<3a,0),P(0,0,a)

對于4所以兩=(a,0,-a),RD=(0,-y[3a,0),則西?前=0+0+0=0,

所以P41BD,故A正確；

對于8,又麗=(0,Oa,-a),因?yàn)镻D_L底面力BCD,所以麗=(0,0,a)是平面4BCD的一個(gè)法向量，所以

COS(PB,DP)==J=4,

則PB與平面ABC。所成角的正弦值為：，即PB與平面ABC。所成角為］故B正確；

Zo

對于C,AB=(―a,0),PC={-a,—a),

則c時(shí)隔局=布=目=咨

則異面直線力B與PC所成角的余弦值為等，故C錯(cuò)誤;

對于D,設(shè)平面P4B的法向量為元=(久1，為2),則,元=°=>，axrazr0(i令

1.AB-n-0l-a%i+V3ayi=0(/=V3yl

%=1,則元=(4,1,0),

設(shè)平面PBC的法向量為沅=02，%*2)，則便.T=°=[-az2=0=卜=令

(PC?沆=0l-a%2+V3ay2-az2=0(x2=0

=1，則沅=(04,7-3),

所以cos伍，記)=瑞0+1+32/7

/7x2

令二面角A-PB-C所成角為火0<0<7r),則|cos0|=等

則平面P4B與平面P8C的夾角的余弦值為手,

所以sin。=V1-cos20=號故。正確.

故選：ABD.

11.【答案】AD

【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算后判斷選項(xiàng)ABC,求出受到獎(jiǎng)勵(lì)的小組數(shù)對應(yīng)的概率，計(jì)算出

期望值后判斷。.

【詳解】設(shè)2、B、C三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題分別為事件4、B、C,即「(4)=：,P(B)=Q(C)=|,

4B,C相互獨(dú)立，

1121

-X-X-

P(ABC)=P(4)P(B)P(C)=223-

111

XX16--

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=2-2--

12

只有丙小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是P須C)=(1一勺x(1-勺x|=aC錯(cuò);

設(shè)受到獎(jiǎng)勵(lì)的小組數(shù)為X,貝的值為0,1,2,3,

P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1xjxj=^,

111111112

XX+XX+XX-

P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=2-2-3-2-2-3-2-2-3-

111112112

XX+XX+XX-

P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(Z)P(B)P(C)=2-2-3-2-2-3-2-2-3-

1

P(X=3)=P(ABC)=g.

1515

+2X+3X-

3-6-3-

12

故選：AD.

12.【答案】—8

【解析】【分析】由條件可得荏，前共線，結(jié)合向量共線關(guān)系列方程求a,b,由此可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?B,C三點(diǎn)共線，

所以荏，前共線，即南〃前，又彳？不6,

故存在實(shí)數(shù)t使得通=tE,又荏=(l,a,—2),AC=(-3,6,b),

所以1=—33a=63—2=bt,

所以a=-2,b=6,

所以a—b=-8,

故答案為：-8.

13.【答案】0.56/g

【解析】【分析】根據(jù)已知設(shè)出事件，由已知得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式，即可

得出答案.

【詳解】分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件&,4，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件8.

由已知可得，PQ4i)=0.9,P(X2)=0.1,P(B|4)=0.6,P(B|712)=0.2,

由全概率公式可得，P(B)=P(瓦4力+P(B42)=PQ4i)P(BMi)+P(A2)P(B\A2)=0.9x0.6+0.1x0.2=

0.56.

故答案為：0.56.

14.【答案】2

【解析】【分析】由8=4可得4共有三種情況，然后根據(jù)所給的期望公式進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】由B=4可得2=1或4=2或4=3,

由題意可得=4)==Xi\B=4)=$招―渭丁)

一,PG4=1,B=4)C=2,B=4)「一PQ4=3,3=4)

P(B=4)P(B=4)P(B=4)

22

1x515yly5yl.11

X6XXX(I)X6VX6)

o--F2X6666+3x-------=2

1xx/211

6c連)llX6X6

故答案為：2

15.【答案】解：(1)令％=2,得a。+&+g+…+。7=(2X2—3)7-1.

(2)令％=1,得的=(2x1—3)7=—1,

(2.X—3)7=[2(%—1)—I]，=CLQ^X—I)’+—1)6+…+怒(％—1)+。7

(%-1)7的系數(shù)劭=第27(—1)。=128,

所以劭—即=129.

【解析】(1)根據(jù)給定的二項(xiàng)展開式，利用賦值法計(jì)算作答.

(2)利用賦值法求出劭，再求出展開式的最高次項(xiàng)的系數(shù)即可計(jì)算作答.

16.【答案】解：(1)1—f2警=7(,得M=5,

Cin，

故黑球3個(gè)，紅球5個(gè)，白球2個(gè)，

事件A：取出的3球中恰有2球同色，則

c|c|c|c|C|C|=29_

P(4)=TTcTcr-i20

(2)X=-2,—1,0,124.

C21

尸。=-2)=侵=正，尸(X=—l)=氏2

2—15

Cio13Crio13

C21C3C51

C5C22C52

P(X=2)=T^=q,P(X=4)=m=q

5Lio

X的概率分布列

X

-2-10124

121122

p

151545399

FW=_2x±+(_1)xA+lxl+2x2+4x2=g=7.

【解析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式可得n=5,即可利用超幾何分布的概率公式求解，

(2)利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，進(jìn)而由期望公式求解期望即可.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?E為4C的中點(diǎn)，所以

在回ABD和回CBD^AD=CD/ADB=ACDB,DB=DB,

所以回ABDWACBD,所以AB=CB,又E為ac的中點(diǎn)，

所以2C1BE,又u平面8DE,DECBE=E,

所以力C_L平面BDE.

(2)因?yàn)榛亓DCB。，貝lb48=CB,AD=CD,

由N4CB=60。且ZB=CB,所以團(tuán)ABC是等邊三角形，

由1CD且40=CD,E為力C的中點(diǎn)，

所以，在等腰直角團(tuán)/WC中DE=4E=EC=1,則BE=C,

i^LDE1AC,5LBE1DE5.AC1BE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則4(1,0,0),8(0,門,0),。(0,0,1),所以而=四=(-1,73,0),DB=(0,門,一1)，

設(shè)面的一個(gè)法向量為元=(%y,z),貝J一二"°——取丫=0，則元=(3,7"&3),

(n-AB=—%+V3y=0

又C(-1,0,0),CD=(1,0,1),

設(shè)而=4麗=(0,C/l,—2),Ae[0,1],

所以^^CD+DF=(1,<32,1-/1.)>

設(shè)CF與平面4BD所成的角的正弦值為。(0<0<習(xí)，

因?yàn)閟in?=|cos(n,CF)|=警，

所以|3伍,研=g=好：3*創(chuàng)=浮

同附/21xJ1+3A2+(1-A)2

所以(44—1)2=0,解得4=),

所以尸為BO的四等分點(diǎn)且靠近。點(diǎn)位置.

【解析】(1)根據(jù)已知關(guān)系有團(tuán)4BD*CBD得到力B=CB,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到垂直關(guān)系，結(jié)合線面

垂直的判定即可證明；

(2)根據(jù)已知求證DE、AC.BE兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即

可.

18.【答案】解：(1)乙隊(duì)以2:0獲勝意味著乙隊(duì)在前兩局中均獲勝.乙隊(duì)每局獲勝的概率為1-p,因此乙隊(duì)

以2:0獲勝的概率為：

P(乙隊(duì)2:0獲勝)=(1-p產(chǎn)

代入p=|，得：

P(乙隊(duì)2:0獲勝)=(1—號)=(1)=1'

(2)比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)X的可能取值為0、1或2.計(jì)算各情況的概率如下:

X=o：甲隊(duì)一局未勝，即乙隊(duì)以2:0獲勝，概率為P(X=0)=(1—p)2.

X=l：甲隊(duì)僅勝1局，乙隊(duì)勝2局，可能的情況有兩種(甲勝第1局或第2局)，概率為:

p(x=1)=2p(l-p)2.

X=2：甲隊(duì)勝2局，可能的情況有兩種(甲勝前2局或前2局勝1局)，概率為：

P(X=2)—p2+2P2(1—p)=p2(3_2p).

因此，X的期望為：

E(X)=0XP(X=0)+1xP(X=1)+2xP(X=2),

代入p=|，得：

12/1\2/2\2

E(X)=0x—+lx2x—xl—1+2x1^1x

化簡后得E(X)=g.

(3)比賽打滿3局的概率f(p)表示比賽進(jìn)行到第3局才分出勝負(fù).